高中数学两条直线的平行与垂直教学视频

两条直线的平行与垂直（2）

教学目标

（1）掌握两条直线垂直的判定方法，并会根据直线方程判断两条直线是否垂直；

（2）理解两条直线垂直条件的推导过程，注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力．

教学重点、难点

掌握两条直线垂直的判定方法及分类讨论．

教学过程

一、问题情境

1．复习：两条直线平行的判断方法：（可结合作业对斜截式方程和一般式方程进行归纳）

2．问题：两条直线平行的位置关系可用斜率来刻画，那么能否用它来刻画两条直线垂直的位置关系呢？

二、建构数学

1．两条直线垂直的判断方法：

若12l l ⊥（12,l l 都不与x 轴垂直）

轴），设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则 12,ST PQ k k PS QR -==， 由于Rt PST Rt PQR ??，∴

ST QR PS PQ = ∴121k k =-，即121k k ?=-，反过来，若121k k ?=-2．结论：（1）当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们的斜率的乘积等于1-，反之，如果它们的斜率的乘积等于1-，那么它们互相垂直，即： 12l l ⊥?121k k ?=-（12,k k 均存在）

（2）若两条直线12,l l 中的一条

9.2 两条直线的位置关系

一、填空题

1．已知直线l1经过两点(－2,3)，(－2，－1)，直线l2经过两点(2,1)， (a，－5)，且l1∥l2，则a＝________.

解析 由题意知直线l1的倾斜角为90°，而l1∥l2，所以直线l2的倾斜角也为90°，又直线l2经过两点(2,1)，(a，－5)，所以a＝2. 答案 2

2．若三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能围成三角形，则实数m的取值最多有________个．

解析 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一1

点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－l2∥l3，则m的值不存在；若

62

三条直线相交于同一点，则m＝－1或，故实数m的取值最多有4个．

3答案 4

3．若三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a满足的条件是________．

1

解析 当三条直线交于一点时，a＝；当x＋y＋1＝0与ax＋3y－5＝0平行时，

3

a＝3；当2x－y＋8＝0与ax＋3y－5＝0平行时，a＝－6. 1

故a满足的条件是a≠a≠－6且a≠3.

31

答案 a≠且a≠－6且a≠3

3

4．若

2019-2020学年高一数学必修二

第二节:两条直线的位置关系

1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：

①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. (2)两条直线垂直：

①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2?k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2．两条直线的交点的求法

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组

?A1x＋B1y＋C1＝0，??的解． ??A2x＋B2y＋C2＝0

3．三种距离公式

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离 |P1P2|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2 |Ax0＋By0＋C|d＝ A2＋B2d＝|C1－C2| A2＋B2点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1

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3.1

直线的倾斜角与斜率

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

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问题提出

1 5730 p= 2

t

1.直线的倾斜角和斜率的含义分别 1.直线的倾斜角和斜率的含义分别 是什么？ 是什么？经过两点的直线的斜率公 式是什么？ 式是什么？ 轴正向与直线l向上方向之间所成的 x轴正向与直线 向上方向之间所成的 叫做直线l的倾斜角 角α叫做直线 的倾斜角 叫做直线 的倾斜角. 直线的倾斜角α的正切值叫做这条直 直线的倾斜角 的正切值叫做这条直 线的斜率. 线的斜率 y2 y1k= x2 x1 (x1 ≠ x2 )

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1 5730 p= 2

t

2.在平面直角坐标系中， 2.在平面直角坐标系中，平行与垂 在平面直角坐标系中 直是两条不同直线的两种特殊位置 关系， 关系，我们设想通过直线的斜率来 判定这两种位置关系. 判定这两种位置关系.

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知识探究( 知识探究(一):两条直线平行的判定

思考1:在平面直角坐标系中， 思考1:在平面直角坐

如果两条直线平行

教学目标

（一）教学知识点

1．平行线的性质定理的证明． 2．证明的一般步骤． （二）能力训练要求

1．经历探索平行线的性质定理的证明．培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力．

2．结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论．并能总结归纳出证明的一般步骤．

（三）情感与价值观要求

通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式．进而激发学生学习的积极主动性．

教学重点

证明的步骤和格式． 教学难点

理解命题、分清其条件和结论．正确对照命题画出图形．写出已知、求证．

教学方法

尝试指导、引导发现与讨论相结合． 教具准备 投影片六张

第一张：议一议（记作投影片§6．4 A） 第二张：想一想（记作投影片§6．4 B） 第三张：符号语言（记作投影片§6．4 C） 第四张：命题（记作投影片§6．4 D）

第五张：证明的一般步骤（记作投影片§6．4 E） 第六张：练习（记作投影片§6．4 F） 教学过程

Ⅰ．巧设现实情境，引入新课

［师］上节课我们通过推理得证了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小关系．其结论是两直线平行．如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后得到的命题是真命题吗？

这节课

空间中两条直线的位置关系

二、重难点提示

重点：异面直线的概念、异面直线所成的角及其求法，公理4的运用。

难点：异面直线概念的理解与求法。

考点一：空间中两条直线的位置关系

【要点诠释】

1. 若无特别说明，本书中的两条直线均指不重合的两条直线。

2. 异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指“不可能找到一个平面能同时包含这两条直线”，也可理解为“这两条直线不能确定一个平面”不可误解为“分别在两个平面内的两条直线”。

3. 异面直线的判定方法：

①定义法：不同在任何一个平面内的两条直线。

②定理法：“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”。

符号表示：若l?α，A?α，B∈α，B?l，则直线AB与l是异面直线。

③排除法：其核心思想是反证法。

4. 异面直线所成角

（1）定义：已知两条异面直线a，b经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我

1

2 们把直线a ′和b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a ，b 所成的角。

（2）异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°。

（3）若两条异面直线a ，b 所成角是直角，就称异面直线a ，b 互相垂直，记作a ⊥b 。

5. 异面直线的画法：以辅助平面衬托不共面的特征。可画成下列情况：

考点二

1.2.2空间两条直线的位置关系（2）

教学目标：

1．深化对异面直线定义的理解；

2．理解异面直线所成角的定义和范围，能通过平移的方法将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角；

3．进一步体会空间问题平面化的解题策略．

教材分析及教材内容的定位：

两条直线异面是空间两条直线重要一种位置关系．异面直线所成的角反映了两条异面直线的相互倾斜程度．通过平移，我们将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角，公理4为平移前后两条直线保持位置上的平行提供保证，等角定理则为平移后保持角的大小不变提供理论基础．异面直线所成的角的定义不仅体现了空间问题平面化的解题策略，也给出了探求异面直线所成角的具体方法．另外，异面直线所成的角是空间角的重要一种，它的平面化的探求过程也为后面学习线面所成的角以及二面角提供了思想基础．

教学重点：

异面直线所成角的定义．

教学难点：

将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角．

教学方法：

合作探究法．

教学过程：

一、问题情境

1．操场上旗杆所在的直线和一条跑道所在的直线有何关系？是否存在一个平面同时经过这两条直线？

2．不同的异面直线间的相互倾斜程度也不同，怎样来刻画这种不同呢？

3．如图在正方体中和对角线C1A异面的棱有哪几条？

二、学生活动

1．回忆

新授课

3.3.1两条直线的交点坐标

1. 知识与技能

会求利用二元一次方程组的解的情况来判断直线和直线是否相交，并能熟练地求出交点.

2. 过程和方法

1）经历两直线交点坐标的求法，会初步判断两直线位置关系：相交或平行.

2）学会用代数方程的解来研究平面中两条直线的位置关系. 3. 情感、态度和价值观

感受用代数方法研究几何问题的方便,增强学习解析几何学的信心.

教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标 教学难点：两直线相交与二元一次方程的关系

教学 数形结合——讲解两直线的交点与方程组解得关系——讲解例题

设计： 教 一．情境设置，导入新课

学 给出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置过 关系。

程：

课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ 二．讲授新课

1． 分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系 已知两直线 L1：A1x+B1y +C1=0,L2：A2x+B2y+C2=0 如何判断这两条直线的关系？

教师引导学生先从点与直线的位置关系

1.2.2空间中的平行关系（线线平行）

一、课标导航：

1.认识和理解空间平行线的传递性； 2.会证明和应用空间等角定理 3.初步了解空间四边形及其画法 二、重点、难点：

重点：理解空间平行线的传递性、等角定理 难点：等角定理的证明 三、教学过程：

1、情境导入：请同学们观察我手中的三棱柱或教室的墙角线，思考一下空间中两条直线的位置关系有哪些？能否举例说明？ 2、初中知识回顾： （1）平行线的定义：

能否说空间中无公共点的两条直线是平行直线？ （2）平行公理： 3、形成新知：

【问题1】在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两 条直线的位置关系如何？这一性质能推广到空间中吗？试举例说明 （1）基本性质4：

小试牛刀：

①在长方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F 分别为B1D1 和D1B 的中点，长方体的各棱中与EF 平行的直线的条 数有_ _条。

②判断正误：空间四条直线，如果a∥b，c∥d， 且 a∥d，那么b∥c．

A D B F C a b c A1 D1 E B1 C1 【问题2】在同一个平面内,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角的大小关系如何？你还记得如何证明

高中数学立体几何平行与垂直练习题

立体几何-平行与垂直练习题

1. 空间四边形SABC中，SO 平面ABC，O为 ABC的垂心， 求证：（1）AB 平面SOC（2）平面SOC 平面SAB

A

C

2. 如图所示，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，E，M分别为BB1，A1C的中点，求证： （1） EM 平面A A1C1C; （2）平面A1EC 平面AA1C1C；

A

C

M

B

E

A1

B1

C1

3. 如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,BE=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,G为

AC与BD的交点.(1)求证:AE⊥平面BCE.(2)求证:AE∥平面BFD.

4. 设P,Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D,面A1B1C1D1的中心,如图, （1）证明PQ∥平面AA1B1B

；（2）求线段PQ的长.

高中数学立体几何平行与垂直练习题

5. 如图,在四棱锥P-ABCD中，AB//DC，AB AD，BC 5，DC 3，PD 面ABCD，

（Ⅰ）当主视图方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥AD 4， PAD 60．

P ABCD的三视图.(要求标出尺寸);（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM//面PBC．

6. 已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠