角平分线的几种辅助线作法与三种模型

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角平分线的几种辅助线作法与三种模型

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一、角平分线的三种“模型”

模型一:角平分线+平行线→等腰三角形

如图1,过∠AOB平分线OC上的一点P,作PE∥O B,交OA于点E,则EO=EP.

A A A

E P C E C

D F

E P

O B B C O F B

图1 图2 图3

例1如图2,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E.求证:BD+EC=DE.

模型二:角平分线+垂线→等腰三角形

如图3,过∠AOB平分线OC上的一点P,作EF⊥OC,交OA于点

E,交OB于点F,则OE=OF,PE=PF.

例2如图4,BD是∠ABC的平分线,AD⊥BD,垂足为D,

求证:∠BAD=∠DAC+∠C.

模型三:角平分线+翻折→全等三角形

在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.

由角平分线想到的辅助线

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由角平分线想到的辅助线

角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线;

②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。

通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线 (一)、截取构全等

几何的证明在于猜想与尝试,但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的,希望同学们能掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地去猜想,按一定的规

图1-1

B

律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。

如图1-1,∠AOC=∠BOC,如取OE=OF,并连接DE、DF,则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1.

如图1-2,AB//CD,BE平分∠BCD,CE

D

平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。

分析:此题中就涉及到角平分线,可以利用角平分线来构造全等三角形,即利用解平分线来构造轴对称图形,同时此题也是证明线段的和差倍分问题,在

证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明,延长短的线段或在长的线段

由角平分线想到的辅助线

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由角平分线想到的辅助线

角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线;

②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。

通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线 (一)、截取构全等

几何的证明在于猜想与尝试,但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的,希望同学们能掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地去猜想,按一定的规

图1-1

B

律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。

如图1-1,∠AOC=∠BOC,如取OE=OF,并连接DE、DF,则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1.

如图1-2,AB//CD,BE平分∠BCD,CE

D

平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。

分析:此题中就涉及到角平分线,可以利用角平分线来构造全等三角形,即利用解平分线来构造轴对称图形,同时此题也是证明线段的和差倍分问题,在

证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明,延长短的线段或在长的线段

6与角平分线有关的辅助线

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与角平分线有关的辅助线

初三数学 2007年秋季

姓名 时间

一.在角两边取相等的线段,构造全等三角形.

例1.已知:如图,AD是 ABC的中线,DE、DF分别平分∠ADB,

∠ADC,连结EF,求证:EF﹤BE+CF.

类题1.已知:四边形ABCD中,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BC=AB

+CD.

E

D

4 二.过角平分线上一点向角两边作垂线段,利用角平分线上的点到角两边距离相等去作题.

例2.如图在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC.求证: A C 180 .

A

C

与角平分线有关的辅助线

初三数学 2007年秋季

类题2.已知:如图,在 ABC中,∠A=90°,AB=AC,∠1=∠2,

求证:BC=AB+AD.

三.有和角平分线垂直的线段时,把它延长可得到中点或相等的

线段,从而与三角形中位线或三角形全等建立起联系.

例3.已知:如图,∠1=∠2,AB﹥AC,CD⊥AD于D,H是BC中点,求证:

1DH=(AB-AC).

2

类题3.已知:如图,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=

有关角平分线的辅助线做法-含例题与分析

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【MeiWei_81重点借鉴文档】

由角平分线想到的辅助线

角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线;

②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。 通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线

(一)、截取构全等

如图1-1,∠AOC=∠BOC,如取OE=OF,并连接DE、DF,则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1. 如图1-2,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。

分析:此题中就涉及到角平分线,可以利用角平分线来构造全等三角形,即利用解平分

BAEAOFDC图1-1EBDFC图1-2线来构造轴对称图形,同时此题也是证明线段的和差倍分问题,在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明,延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等,延长要证明延长后的线段与某条线段相等,截取要证

与角平分线有关的常用结论、辅助线总结与练习(有答案)

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与角平分线有关的常用结论、辅助线总结

角平分线是我们常见的几何条件,合理的把角平分线和其它条件相结合可以形成新的结论。

一、总结

下面我们来看一下常见的和角平分线有关结论或辅助线。

1、如图1,OP平分∠AOB,点D在OA上,DE∥OB交OE于点E

A∵OP平分∠AOB ∴∠DOE=∠EOB

D∵DE∥OB E∴∠BOE=∠DEO ∴∠DOE=∠DEO

OB∴OD=DE

图1

由此可知,当角平分线和与角的一边平行的直线相交后可以形成等腰三角形。

例题:(2016·四川南充)如图2,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后∠DAG的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.75°

分析:由题意可得:∠1=∠2,AN=MN,∠MGA=90°,则NG=2AM,故AN=NG,则∠2=∠4,∵EF∥AB,

1

1

图2

∴∠4=∠3,∴∠1=∠2=∠3=3×90°=30°,∴∠DAG=60°.故选:C.

2、角平分线遇到垂线:

如图3,OP平分∠AOB,点D在OA上,DP⊥OP于点P。遇到这种情况,我们可以

A作辅助线:

D延长DP

垂直平分线与角平分线典型题

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线段的垂直平分线与角平分线

1.如图1,在△ABC中,BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长等于( ) A.6cm B.8cm

2.如图3,在△ABC中,∠C=90,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB。其中正确的有

3.已知1)如图,AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果△EBC的周长是24cm,那么BC=

2) 如图,AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果BC=8cm,那么△EBC的周长 是

3) 如图,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果∠A=28度,那么∠EBC是

B

4. 在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°,△ABC的底角∠B的大小为_______________。

5.已知线段AB外两点P、Q,且PA=PB,QA=QB,则直线PQ与线段AB的关系是_________. 6.∠AOB的平分

角平分线的性质与判定

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已知:∠AOB 求作:∠AOB的平分线 做法: (1)以O为圆心,适当长为半径作弧,交 OA于M,交OB于N。 (2)分别以M、N为圆心,大于1/2MN 的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交 于点C。 (3)作射线OC。射线OC即为所求。 M 0

A

C B

仔 细 观 察 步 骤.

A

MC

B

N

O

折一折A A D P O O C

E B 将AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边), 然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论? 可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形 成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这 两个距离相等.

B

画一画按照做一做的顺序画∠AOB 的折痕OC ,过点P的垂线段PD、 PE ,并度量所画PD、PE是否 等长?

同学甲、乙谁的画法是正确的?

议一议:由折一折和画一画你可得到什 么猜想?

角平分线上的点到角的两边的 距离相等.

于是我们得角的平分线的性质: 角的平 分线上的点到角的两边的距离相等.能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角 的两边的距离相等”这句话.请填下表:

OC平分 ∠AOB, PD⊥OA, PE⊥OB, D、E为 垂足.

PD=PE

角平分线的性质定理:定理

角平分线教学反思

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篇一:角平分线教学反思

“角的平分线性质”的教学反思

一 教学目标

1 知识与技能

能应用角的平分线的性质定理解决一些实际问题

2 过程与方法

经历探索角的平分线性质的应用过程,领会几何分析的内涵,掌握综合法的表达思想。 3 情感态度与价值观

使学生在比较中获取知识,感悟几何的简练思维

二 教材分析

1 重点:应用角的平分线的性质定理。

2 难点:应用综合法进行表达。

3 关键:抓住问题的因果关系进行推理。

三 教学片段

1 回顾旧知识

师:请同学们在草稿纸上任意画一个∠AOB,并且画出∠AOB的角平分线。

(让学生回忆角平分线的尺规作图,为今天所学作铺垫)

2 活动一

让学生在白纸上任意画一个∠AOB,并且用剪刀剪下∠AOB,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠的三条折痕。

(教师边叙述边操作,学生操作并把平面图画在草稿纸上,教师巡逻,指出其中有差错的地方)

师:第一次折叠有什么作用?

生1:把角平均分成两份。

生2:折痕实际就是这个角的平分线。

师:很好。第二次折叠形成的两条折痕与角的边有什么位置关系?

生:垂直。

师:我们可以换一种说法吗?

(学生思考片刻)

生1:垂线段

生2:距离

生3:点到直线的距离。

师:点在哪里?

生4:第一条折痕

与角平分线有关的问题

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与角平分线有关的问题

因角平分线本身已具备全等的三个条件中的两个(角等和公共边等),故在处理角平分线问题时,常作出全等的第三个条件:截两边相等(SAS)或向两边作垂线(AAS)构造全等三角形。

(一)利用角平分线条件直接找全等三角形。

例1、如图,△ABC中,CD⊥AB于点D,AO平分∠BAC,交CD于O,E为AB

上一点,且AE=AC,求证:OE∥BC。

CO

AB DE练习1、如图所示,BD是∠ABC的角平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N。求证:PM=PN

A

MP

D

NB

C

(二)利用“角平分线+垂直”构造全等三角形

例2、如图,△AOB中,OA=OB,∠AOB=90°,BD平分∠ABO交OA于D,AE⊥

BD于E,求证:BD=2AE

ADBEO练习2、已知:如图,?B??C?90,M是BC的中点,DM平分?ADC.

(1)若连接AM,则AM是否平分?BAD?请你证明你的结论.

D C (2)线段DM与AM有怎样的位置关系?请说明理由.

2 1

M

3 4 A

B (三)、利用角平分线在角两边截取两条相等的线段构造全等三角形。 例3、如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BC