九年级数学二次函数的图象和性质

《二次函数y=ax2的图象和性质》教学

设计

一、教学目标

1．了解二次函数的图象是一条抛物线；会画二次函数y =ax 2的图象． 2．掌握二次函数y =ax 2的性质，并会灵活应用．

二、教学重点及难点

重点：

1．探索二次函数2

ax y =的性质；

2．能运用二次函数2ax y =的图象和性质解决简单的实际问题． 难点：

1．用描点法画出二次函数y =ax 2的图象；

2．探索二次函数y =ax 2的性质． 三、教学用具

多媒体课件，三角板或直尺。

四、相关资源

《一次函数图象与性质研究过程》动画，《函数y =x 2的图象画法》动画，《函数y =0.5x 2，y =2x 2的图象》图片，《函数222122

y x y x y x =-=-=-，，的图象》图片。 五、教学过程

【温故知新】

1．同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？

师生活动：教师用多媒体出示问题，学生集体回答．

小结：先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质．

2．我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？

师生活动：学生独立思考，回答问题．教师重点关注：学生能否联想到研究一次函数性质的方法——从特殊到一般的，分类的思想．

小结：可以用研究一

2+bx+c 二次函数y=ax

的图象和性质

二次函数

y 4( x 2) 12

图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.它是由y=-4x2怎样平移得到的？ 我们知道,像二次函数y=a(x-h)2+k的图象, 顶点坐标为 ,通过平移抛物线y=ax2可以得 (h,k) 到。 二次函数y=3x2-6x+5也能化成这种形式吗？

例1、怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h)2+k的形式?

配方:

老师提示:

y 3x 2 6 x 5 5 2 3 x 2 x 3 5 2 3 x 2 x 1 1 3 2 2 3 x 1 3

提取二次项系数

配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号

配方后的表达 式通常称为顶 点式

3 x 1 2.2

函数y=3x2-6x+5的图象有何特征2.根据(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点 坐标. 2

y 3 x 1 2.

∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).

直接画函数y=ax²+

1，（2011山东滨州，7，3分）抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）

A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 【答案】B

【思路分析】y＝(x＋2)2－3的顶点为(－2，－3)，抛物线y＝x2的顶点为(0，0)，所以平移的过程是先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．

【方法规律】确定抛物线的顶点，顶点平移的方向和距离就是抛物线平移的方向和距离．口诀：“左加右减，上加下减”．

【易错点分析】易于平移的规律混淆出现错误． 【关键词】抛物线的平移 【推荐指数】★☆☆☆☆ 【题型】常规题，易错题

2．（2011山东济宁，8，3分）已知二次函数y?ax2?bx?c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：

x y …… …… 0 4 1 1 2 0 3 1 4 4 …… …… 点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1?x1?2，3?x2?4时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）

A．y1?y2 B．y1?y2

§6.2 二次函数的图象和性质（6）----[ 教案]

备课时间: 主备人:

教学目标：

1．能根据实际问题列出函数关系式、

2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。

3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。

重点难点：

根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是教学的重点又是难点。

教学过程：

一、复习旧知

1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

22

(1)y＝6x＋12x； (2)y＝－4x＋8x－10

2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少? 二、范例

有了前面所学的知识，现在我们就可以应用二次函数的知识去解决两个实际问题； 例1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?

例2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的

§6.2 二次函数的图象和性质（6）----[ 教案]

备课时间: 主备人:

教学目标：

1．能根据实际问题列出函数关系式、

2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。

3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。

重点难点：

根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是教学的重点又是难点。

教学过程：

一、复习旧知

1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

22

(1)y＝6x＋12x； (2)y＝－4x＋8x－10

2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少? 二、范例

有了前面所学的知识，现在我们就可以应用二次函数的知识去解决两个实际问题； 例1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?

例2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的

§6.2 二次函数的图象和性质（1）教案

备课时间: 主备人:

教学目标:

经历探索二次函数y=x的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．掌握利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．能够作为二次函数y=－x的图象，并比较它与y=x图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系． 教学重点:

利用描点法作出y=x的图象过程中，理解掌握二次函数y=x的性质，这是掌握二次函数y=ax＋bx＋c（a≠0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始．要注意图象的特点． 教学难点:

函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质． 教学过程:

一、作二次函数y=x2的图象。 二、议一议：

1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。

2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？ 3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？ 4.当x取什么值时，y的值最小？

5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。 三、y=x的图象的性质：

22

2

2

2

2

2

三、例题：

【例1】求出函数y=x＋2与函数y=x的图象的交

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

第二十六章 二次函数

[本章知识要点]

1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．

2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．

6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决

简单的实际问题．

26．1 二次函数

[本课知识要点]

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM及创新思维]

（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？

（2）矩形的长是4厘米，宽

第10讲 二次函数及其图象和性质（二） 适用学科 适用区域 知识点 初中数学 全国 适用年级 初中三年级 课时时长（分钟） 120分钟 1.二次函数一般式中a，b，c和图像之间的关系 2.二次函数解析式的确定 3.二次函数求最值 教学目标 1.了解各系数分别与二次函数图像的关系 2.会用“待定系数法”确定二次函数的解析式 3.掌握y?a?x?h??k2的图像和性质，能够利用配方法的求顶点式和最值 4.通过对比探究锻炼孩子的总结归纳能力,提升学习方法,不断的找到学习函数的规律和技巧 教学重点 1.各系数之间的多次利用 2.会用“待定系数法”确定二次函数的解析式 教学难点 1.多种图像的混合判断 2.根据题意进行相应形式的解设，进而用最恰当的方法确定二次函数的解析式 教学过程

一、复习预习

2上节课我们学习了二次函数y?ax?bx?c的定义及性质，我们先一块来复习一下：

?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??，?．

2a4a2a??当x??bbb时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当x??2a2a2a4ac?b2时，y有最小值．

4a?b4ac?b2?b

九下学案

§6.2二次函数的图象和性质 （2）

备课时间: 主备人:

教学目标:

1．经历探索二次函数y=ax和y=ax＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．

2．会作出y=ax和y=ax＋c的图象，并能比较它们与y=x的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．

3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．

教学重点:

二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2

＋bx＋c的图象和性质的基础．我们在教学时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析． 教学难点:

由函数图象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性质．根据函数图象联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置． 教学方法:

类比教学法。 教学过程: 一、复习：

二次函数y=x2 与y=-x2的性质：

你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？ 刹车距离与什么因素有关？

有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式： 晴天时：s

九年级上学期数学课时练习题 21.2二次函数y＝ax+bx+c的图象和性质

一、精心选一选

1﹒如果k＜0（k为常数），那么二次函数y＝kx2﹣2x+k2的图象大致是（ ）

2

A． B． C． D．

2﹒下列函数：①y＝﹣3x2；②y＝2x2﹣1；③y＝(x－2)2；④y＝﹣x2+2x+3.当x＜0时，其中y随x的增大而增大的函数有（ ） A．4个

B． 3个 C．2个

D．1个

3﹒在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）

A. B. C. D.

4﹒已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（－2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ） A.只能是x＝－1 B.可能是y轴

C.在y轴右侧且在直线x＝2的左侧 D.在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧

来源:%中教网&]5﹒将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A.y＝(x﹣4)2﹣6

C.y＝(x﹣2)2﹣2

B.y＝(x﹣4)2﹣2 D.y＝(x﹣1)2﹣3

6﹒如果一种变换是