二次函数动轴动区间例题

二次函数的动态问题（动点）

1.如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(?4，0)，B(?2，0)，E(0，8)． （1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式； （2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形

MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位

的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

[解] （1）点A(?40，)，点B(?20，)，点E(08，)关于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，

F(0，?8)．

设抛物线C2的解析式是

y?ax2?bx?c(a?0)，

?16a?4b?c?0，?则?4a?2b?c?0， ?c??8．?，?a??1?解得?b?6，

?c??8．?所以所求抛物线的解析式是y??x?6x?8．

二次函数与圆综合动 点问题 1．在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD． （1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；

y

y＝x＋b

D M 4 C

3 2 1

A B

x ?1 O 1

2．如图，射线OA⊥射线OB，半径r＝2cm的动圆M与OB相切于点Q（圆M与OA?没有公共点），P是OA上的动点，且PM＝3cm，设OP＝xcm，OQ＝ycm． （1）求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围． （2）当△MOP为等腰三角形时，求相应的x的值． B

M Q

O P A

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)，⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心． （1）求抛物线的解析式； （2）求阴影部分的面积；

（3）在x轴的正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ＝k，△CP

闭区间上二次函数的最值

朱义华

二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。

一. 定二次函数在定区间上的最值

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1. 函数y??x2?4x?2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数y??x2?4x?2??(x?2)2?2是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x?2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为f(2)?2，最小值为f(0)??2。

图1

2例2. 已知2x?3x，求函数f(x)?x?x?1的最值。 2解：由已知2x?3x，可得0?x?233??，即函数f(x)是定义在区间?0，?上的二22??211?3?次函数。将二次函数配方得f(x)??x???，其对称轴方程x??，顶点坐标

?22?43??13????，?，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间?0，

函数解题思路方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

动点问题题型方法归纳总结

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、 抛物线上动点

5、（湖北十堰市

题型：选择题 难度：中等 详细信息 如图①，在矩形ABCD中，点P从点B出发沿BC、CD、DA运动至点A停止，设P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②，则梯形ORMN的面积为（ ） A．65 B．60 C．40 D．20 根据图②中y与x的变化关系得出梯形的高，以及梯形的上底和下底，进而求出面积即可． 【解析】 设P运动的路程为x，△ABP的面积为y， 当x=3时，y取到最大，当x=8时，y开始减小，则CD=5， 故AB=5，BC=3， 则S△ABC=×3×5=即R，M的纵坐标为：∵EO=3，则TN=3， ∴NO=11，RM=8-3=5， ∴梯形ORMN的面积为：（5+11）×故选：B． 题型：填空题 难度：中等 详细信息 =60． ， ， 已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图乙，若AB=6cm，试回答下列问题： （1）图甲中BC的长度是 ． （2）图乙中A所表示的数是 ． （3）图甲中的图形面积是 ． （4）图乙中B所表示的数是 ． 题型：解答题 难度：困难 详细信息

《二次函数的图象》教案

一、教学目标

(一)知识目标

2y ax bx c的图象； 1．使学生会用描点法画出二次函数

2．使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴(对于不升学的学生，只要求会用公式确定抛物线的顶点和对称轴)；

3．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念；

4．使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．

(二)能力目标

1．培养学生分析问题、解决问题的能力；

2．向学生进行配方法和待定系数法的渗透，使学生能初步掌握；

(三)情感目标

1．向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育．

2．通过二次函数的进一步研究，让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美．

二、教学方法

教师采用比较法、观察法、归纳总结法

本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方，确定抛物线的顶点、对称轴等特征，进而画出这条抛物线，在学习中，学生不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练画出抛物线草图，结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系．

三、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上2y

学术论坛

ＳＣ畦ＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ

区间上的二次函数～●－次方程和＝次不等式

高立群邵亚茹

（陕西省富平县立诚中学

７１１７１

１）

摘要：本文着重讨论在指定区间内二次函数的最值问题，二次方程根的分布问题，二次不等式的判解问题的一些结论及其应用。关键词：区间二次函数二次方程二次不等式中图分类号：Ｇ６３３．６２文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—３７９ｌ（２００７）１２（ａ）一０２０７—０２二次函数是重要的初等函数之一，很多问题都转化为二次函数来处理，二次函数、一元二次方程、二次不等式，它们之间相互联系，互为工具，而在指定区间内研究其局部性质是三者深化的主要内容，并且随着各类考试、竞赛的深入不断深化。

例２：设ｆ（ｘ）是定义在区间（一＊，十＊）上的以２为周期的函数，对ｋ∈ｚ用Ｉｋ表示区间（２ｋ一１，２ｋ＋１），已知ｘ∈Ｉ．时，ｆ（ｘ）＝ｘ２。

Ｉ、求ｆ（ｘ）在Ｉｋ上的解析式Ⅱ、对自然数ｋ求集合Ｍｋ＝｛ｏ【｝使方程ｆ（ｘ）＝ａｘ在Ｉｋ上有两个不相等的实数根｝

解：

髂ｍ忙：墨学

ｆ（ｘ）＞Ｏ在【ｍ，ｎ］上有解Ｃ＞ｆ（ｍ）＞Ｏ或ｆ

（ｎ）＞０

１二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ‘＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠Ｏ）在【ｍ，ｎＪ内的最值。ａ＞０时

例３：１９９９年高中联赛一试（三）

题目：已知当ｘ∈

二次函数最值问题 专题 第 4 讲

一、兴趣导入（Topic-in）: 二、学前测试(Testing):

重点梳理： 1、二次函数一般形式为：y?ax2?bx?c (a?0) 顶点式为： 。 2、结合二次函数y?ax2?bx?c (a?0)的图像可知： 当x满足 时，y随着x的增大而增大； 当x满足 时，y随着x的增大而减小。

3、数形结合讨论最值问题， 1）在X取任意实数时有： ?当a?0时，图像开口 ，函数在x?处取得最小值为，无最大值；

?当a?0时，图像开口 ，函数在x?处取得最大值为，无最小值．

2）函数中m?x?n时有： ?当a?0时，数形结合分类讨论函数的最值问题： 1）当m??

最大值为 。 2）当?

最大值为 。 3）当n??

最大值为