2.2.3向量数乘运算及其几何意义教案

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

复习回顾:1.向量加法三角形法则特点：首尾相接C

a bA

b

2.向量加法平行四边形 法则 特点:共起点 a C B a b b

b

a

B

O

a

A

a b

3.向量减法三角形法则

b

B

O

a

A

BA a b

特点：共起点，连终点，方向指向被减向量

实际背景向量a , 那么在同方向上3秒的位移对应的向量用3a 表示，试画出该向量,看看它们有何关系？

一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应

a

3a

( a) ( a) ( a) , 你能说明它们的几何意义吗？

思考：已知非零向量 a , 作出 a a a a a a a

和

记作 3 a O C B A OC OA AB BC a a a

记作 -3a P Q M N PN PQ QM MN ( a )( a )( a )

a

a a

一.向量数乘的

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

复习回顾:1.向量加法三角形法则特点：首尾相接C

a bA

b

2.向量加法平行四边形 法则 特点:共起点 a C B a b b

b

a

B

O

a

A

a b

3.向量减法三角形法则

b

B

O

a

A

BA a b

特点：共起点，连终点，方向指向被减向量

实际背景向量a , 那么在同方向上3秒的位移对应的向量用3a 表示，试画出该向量,看看它们有何关系？

一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应

a

3a

( a) ( a) ( a) , 你能说明它们的几何意义吗？

思考：已知非零向量 a , 作出 a a a a a a a

和

记作 3 a O C B A OC OA AB BC a a a

记作 -3a P Q M N PN PQ QM MN ( a )( a )( a )

a

a a

一.向量数乘的

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

课时目标 1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．

1．向量数乘运算

实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝__________.

当 时，与a方向相同

(2)λa (a≠0)的方向 ；

当 时，与a方向相反

特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________. 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝________.

(2)(λ＋μ)a＝____________. (3)λ(a＋b)＝____________.

特别地，有(－λ)a＝____________＝________； λ(a－b)＝____________. 3．共线向量定理

向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________． 4．向量的线性运算

向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝________

《向量数乘运算及其几何意义》教学反思

向量数乘运算与向量的加法、向量的减法都属于向量的线性运算，所以是向量运算的基础。因而，本节课内容看着简单，但是其重要性不容忽视。因此，对于“向量数乘运算及其几何意义”这节课的教学内容，进行了以下安排：

本节课由三个问题展开相应的探究，借助不同的思考问题，通过发挥学生的小组合作性，进而突破本节课的教学重点和教学难点：

问题1：已知非零向量a，作出图形：①a+a+a；②-a+(-a)+(-a). 小组讨论下列思考题：

思考1：通过作出的图形，能否说出它们的几何意义？ 思考2：实数与向量能否进行加减运算？实数与向量相乘结果是实数还是向量？

思考3：λa与向量a的大小和方向有什么关系？ 思考4：λa=0的条件是什么？

问题2：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 问题思考：实数运算中去括号、移项、合并同类项、提公因式等变形手段在数与向量的乘积中仍适用吗？

问题3：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？

小组讨论下列思考题：

思考5：在向量共线的条件中，若向量a=向量0，则该定理

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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

学习目标

1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；

2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；

3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

重点、难点

重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

自主学习

1．向量的数乘

(1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.

(2)规定：|λa|＝|λ||a|.当λ>0时，λa的方向与a的方向________；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝________.

(3)几何意义：λa可以看作是把向量a沿着a的方向(λ>0时)或a的反方向(λ<0时)扩大或缩小|λ|倍得到． 2．向量数乘的运算律

向量的数乘运算满足下列运算律： 设λ，μ为实数，则

(1)(λ＋μ)a＝__________；(2)λ(μa)＝(________)a；(3)λ(a＋b)＝_____

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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

学习目标

1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；

2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；

3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

重点、难点

重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

自主学习

1．向量的数乘

(1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.

(2)规定：|λa|＝|λ||a|.当λ>0时，λa的方向与a的方向________；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝________.

(3)几何意义：λa可以看作是把向量a沿着a的方向(λ>0时)或a的反方向(λ<0时)扩大或缩小|λ|倍得到． 2．向量数乘的运算律

向量的数乘运算满足下列运算律： 设λ，μ为实数，则

(1)(λ＋μ)a＝__________；(2)λ(μa)＝(________)a；(3)λ(a＋b)＝_____

。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(重点) 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(重点)

3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(难点)

4.理解实数相乘与向量数乘的区别.(易混点)

[基础·初探]

教材整理1 向量的数乘运算

阅读教材P87～P88例5以上内容，完成下列问题.

1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.

2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

3.运算律：

设λ，μ为实数，则 (1)λ(μa)＝λμa； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，我们有

(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.

设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________. ①a与－λa的方向相反； ②|－λa|≥|a|；

1

③a与λa方向相同； ④|－2λa|＝2|λ|·|a|.

【解析】 由向量数乘的几

《向量的加法运算及其几何意义》教学反思

向量的加法是学习向量其他运算的基础，它在实际生活、生产中有广泛的应用，而且学生在高一物理中已学过矢量的合成（物理学中的矢量相当于数学中的向量），这为学生学习向量知识提供了实际背景。

本节课在教学设计充分体现了 “教师为主导,学生为主体”的教学原则,在教学过程中力求体现三个特色:(1)以问题为教学线索;问题是数学的心脏,本课教学如终以问题的解决为线索,在老师的引导下,使学生的思维从问题开始由问题深化.(2)以学生为课堂主体,重视学生的自主参与能力,重视学生探究能力和创新能力的培养,激励学生积极思维,大胆思考,动手实践;(3)以类比为教学方法,在学生原有的知识体系上,通过类比一步步引导学生从物理学中矢量的合成向向量加法运算过程发现两者之间的内在联系,并通过数的加法运算律类比猜想向量加法的运算律。

数学教学不只是关心学习者“知道了什么”，而应是更多地关注学习者“怎么样知道的”。因此，在教学中注意引导学生主动参与，自主探究问题，并加强合作交流。在实际课堂中，学生的学习热情和潜能被极大地激发起来，充满生机的课堂交流，围绕数学问题的思维碰撞，无不是学生学习主动性、能动性和创造性的表现，让我看到了在教育教学活动中，真

2．2.2 向量减法运算及其几何意义

1.相反向量

2．向量的减法

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的差仍是一个向量．(

)

(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )

(3)

向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．( )

(4)相反向量是共线向量．( )

答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√

2．做一做

(1)非零向量m 与n 是相反向量，下列不正确的是( )

A ．m ＝n

B ．m ＝－n

C ．|m |＝|n |

D ．方向相反

答案 A

解析 相反向量是模相等、方向相反的向量，故B ，C ，D 都正确．

(2)(教材改编P 87T 2)OB →－OA →＋BA →

＝________.

答案 0

解析 OB →－OA →＋BA →＝AB →＋BA →

＝0.

(3)四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →

|＝________. 答案 2

解析 AB →－AD →＝DB →

，

∵|AB →|＝|AD →|＝1，∴|BD →|＝2，

∴|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 2.

探究1 向量的减法运算

例1 化简：(1)(AB →－CD →)－(AC →－BD →

)；

(2)(AC →＋

2．2.2 向量减法运算及其几何意义

1.相反向量

2．向量的减法

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的差仍是一个向量．(

)

(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )

(3)

向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．( )

(4)相反向量是共线向量．( )

答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√

2．做一做

(1)非零向量m 与n 是相反向量，下列不正确的是( )

A ．m ＝n

B ．m ＝－n

C ．|m |＝|n |

D ．方向相反

答案 A

解析 相反向量是模相等、方向相反的向量，故B ，C ，D 都正确．

(2)(教材改编P 87T 2)OB →－OA →＋BA →

＝________.

答案 0

解析 OB →－OA →＋BA →＝AB →＋BA →

＝0.

(3)四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →

|＝________. 答案 2

解析 AB →－AD →＝DB →

，

∵|AB →|＝|AD →|＝1，∴|BD →|＝2，

∴|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 2.

探究1 向量的减法运算

例1 化简：(1)(AB →－CD →)－(AC →－BD →

)；

(2)(AC →＋