整数规划的最优解是先求相应的线性规划

第35卷第1期2005年1月

数学的实践与认识

Vol.35　No.1　

Jan.,2005　

确定线性规划全部最优解的方法

薛声家,　左小德

(暨南大学管理学院,广东广州　510632)

摘要:　使用凸多面体的表示定理,导出了标准型线性规划最优解的一般表达式,并基于单纯形法,给出最

优解唯一性条件以及当唯一性条件不满足时求出全部最优解的计算步骤,同时附有数值例子.

关键词:　线性规划;凸多面体;最优解;单纯形法

一般说来,实际上的经济管理问题所形成的线性规划的最优解给出了该实际问题的最佳实施方案.当线性规划有不止一个最优解时,便存在无穷多个最优解,求出线性规划的多个最优解是件很有意义的工作,因为它可以提供更多的最优方案供决策者选择.目前虽有不少文献对线性规划无穷多个最优解的情况进行了讨论,但有些存在错误和缺陷[1,2],另一些则讨论得不够完整、深入,缺乏详细有效的求解方法.本文使用凸多面体的表示(分解)定理,导出了标准型线性规划最优解的一般表达式,给出确定全部最优解的计算步骤,并附有数值例子.

1　线性规划最优解的一般表达式

考虑标准型线性规划问题:

Maxz=cTx

(SLP)s.t.Ax=b

xE0

　　其中,A为m×n阶矩阵,c和x为n维列向量,b为m维列

天大,考研,运筹学,管理科学与工程

例1 求解下列整数规划的最优解：

maxZ 4x1 5x2 6x3

3x1 4x2 5x3≤10s..t xj≥0 j 1,2,3 ,xj为整数.

解 （1）建立动态规划模型：

阶段变量：将给每一个变量xj赋值看成一个阶段，划分为3个阶段，且阶段变量k=1,2,3. 设状态变量sk表示从第k阶段到第3阶段约束右端最大值，则sj 10. 设决策变量xk表示第k阶段赋给变量xk的值(k 1,2,3). 状态转移方程：s2 s1 3x1,s3 s2 4x2.

阶段指标：u1(s1,x1) 4x1,u2(s2,x2) 5x2,u3(s3,x3) 6x3. 基本方程；

fk(sk) max uk sk,xk fk 1 sk 1 sk k 3,2,1 0≤x3≤

ak

f(s) 0. 44

其中a1 3,a2 4,a3 5. （1） 用逆序法求解： 当k 3时，

f3 s3 max 6x3 f4 s4 maxs

s

3 0≤x3

5

3

0≤x3≤

5

6x3 ,

而s3 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 . x 表示不超过x的最大整数。因此，当s3 0,1,2,3,

第一章 线性规划

§1 线性规划

在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？

上述问题的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2乙机床时总利润最大，则x1,x2

应满足

（目标函数）maxz=4x1+3x2

第一章 线性规划

§1 线性规划

在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？

上述问题的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2乙机床时总利润最大，则x1,x2

应满足

（目标函数）maxz=4x1+3x2

第一章 线性规划

§1 线性规划

在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？

上述问题的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2乙机床时总利润最大，则x1,x2

应满足

（目标函数）maxz=4x1+3x2

管理运筹学 西北大学 经济管理学院 茹老师课件

运 筹 学西北大学经济管理学院 茹少峰 rsf00@http://www.77cn.com.cn

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第8章整数线性规划

本章要求理解整数规划的含义；掌握两个变量的纯整数线性规划模型的图解法；掌握分枝定界 法的思想和方法；了解割平面法的原理；能够正 确引入0—1变量建立0-1线性规划模型；掌握指派 问题的求解算法；正确使用计算机软件求解整数 规划问题。

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8.1 整数线性规划问题的提出在前面讨论的线性规划问题中，最优解可能是分数或小数，但对于某些 具体问题常要求最优解是整数。我们称这样的线性规划问题为整数线性规划 问题(Integer Linear Programming 简记为 ILP) 。 在整数规划中如果所有的变量都限制为整数，就称为纯整数规划(Pure ILP),如果仅一部分变量限制为整数，就称为混合整数规划(Mixed ILP), 整数规划的一个特例就是 0—1 规划，它的变量仅取 0 或 1。 例 8-1 投资决策问题 某部门在今后五年中可用于投资的资金总额为

运筹学EXCEL操作介绍

使用Excel解线性规 划问题2010年10月15日

参考书目：

《Excel数据建模与应用》,第4章，清华大学出版社 《数据、模型与决策》第二章附录，机械工业出版社

运筹学EXCEL操作介绍

一个简单的例子某工厂计划生产两种产品，利润分别为2和3,已知生产单 位产品所需的设备台时和A、B两种原材料的消耗，如表

设备 原材料A 原材料B

产品1 1 4 0

产品2 2 0 4

8台时 16KG 12KG

目标是不超过资源限制的情况下，确定两产品产量，得 到最大利润。

运筹学EXCEL操作介绍

建立数学公式(步骤一)在工作表的顶部输入数据 确定每个决策变量所对应 的单元格位置 选择单元格输入公式，找 到目标函数的值 确定约束单元格输入公式， 计算每个约束条件左边的 值 确定约束单元格输入公式， 可采用 ‘复制粘贴’ 或 ‘直 计算每个约束条件右边的 接输入’ 的方式导入数据。 值

运筹学EXCEL操作介绍

建立数学公式(步骤二)在工作表的顶部输入数据 确定每个决策变量所对应 的单元格位置 选择单元格输入公式，找 到目标函数的值 选择一个单元格输入公式， 计算每个约束条件左边的 值 选择一个单元格输入公式， 计算每个约束条件右边的 值

图中，规定B1

第四章 线性规划的对偶理论

一、填空题

1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求最小值/极小值的

线性规划问题与之对应，反之亦然。

2．在一对对偶问题中，原问题的约束条件的右端常数是对偶问题的目标函数系数。 3．如果原问题的某个变量无约束，则对偶问题中对应的约束条件应为等式_。 4．对偶问题的对偶问题是原问题_。

5．若原问题可行，但目标函数无界，则对偶问题不可行。

6．若某种资源的影子价格等于k。在其他条件不变的情况下(假设原问题的最佳基不变)，当该种资源增加3个单位时。相应的目标函数值将增加3k 。

﹡－

7．线性规划问题的最优基为B，基变量的目标系数为CB，则其对偶问题的最优解Y= CBB1。

﹡﹡﹡﹡

8．若X和Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX= Yb。 9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX≤Yb。

﹡﹡﹡

10．若X和Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX=Y*b。

11．设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为min=Yb YA≥c Y≥0_。 12．影子价格实际上是与原问题各约束条

第四章 线性规划的对偶理论

一、填空题

1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求最小值/极小值的

线性规划问题与之对应，反之亦然。

2．在一对对偶问题中，原问题的约束条件的右端常数是对偶问题的目标函数系数。 3．如果原问题的某个变量无约束，则对偶问题中对应的约束条件应为等式_。 4．对偶问题的对偶问题是原问题_。

5．若原问题可行，但目标函数无界，则对偶问题不可行。

6．若某种资源的影子价格等于k。在其他条件不变的情况下(假设原问题的最佳基不变)，当该种资源增加3个单位时。相应的目标函数值将增加3k 。

﹡－

7．线性规划问题的最优基为B，基变量的目标系数为CB，则其对偶问题的最优解Y= CBB1。

﹡﹡﹡﹡

8．若X和Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX= Yb。 9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX≤Yb。

﹡﹡﹡

10．若X和Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX=Y*b。

11．设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为min=Yb YA≥c Y≥0_。 12．影子价格实际上是与原问题各约束条

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禁忌搜索算法应用于解整数线性规划问题的实践

作者：陈 伟

来源：《海峡科学》2009年第03期

[摘要] 禁忌搜索算法的技术问题预处理，关系到算法计算结果的优劣。该文探讨禁忌搜索算法应用于解整数线性规划问题及其技术处理，得到最优解。 [关键词] 禁忌搜索算法 整数线性规划问题 技术处理 1 算法的技术问题

禁忌搜索算法的技术问题主要有：可行解的形式、解邻域的定义、禁忌的对象、禁忌的长度、局部最优解候选集、计算终止条件等等。对于这些技术问题的预处理，关系到算法计算结果的优劣。这些技术问题没有固定的模式生搬硬套，可以因问题而异，因人对问题的认识理解而异，从而产生的算法结果也有差异。 2 整数线性规划问题及其技术处理

整数线性规划问题的数学模型为：求解 维向量 ，使之满足： ,； ，

设 ， ， ，则整数线性规划问题可以表示为： ， ， ，

整数线性规划问题从计算复杂性划分，它属