概论论与数理统计第三版

K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标

习题一：

1.1 写出下列随机试验的样本空间：

(1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;

解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；

(2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;

解：；

(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；

(4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;

解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：

(5)检查两件产品是否合格;

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；

(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);

解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：；

(7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;

解：；

(8)在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.

解：；

1.2

(1)A 与B 都发生, 但C 不发生; ；

(2)A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;；

(3)A,B,C 中至少有一个发生; ；

(4)A,B,C 中恰有一个

习题一：

1.1 写出下列随机试验的样本空间：

(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故 1 5,6,7, ； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解： 2 2,3,4, 11,12 ； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以 3 0,1,2, (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： 4 i,j i j 5 ; (5) 检查两件产品是否合格;

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则 5 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 ；

(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： 6 x,y 1 x y T2

；

；

(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解： 7 x0 x 2 ；

(8

习题一：

1.1 写出下列随机试验的样本空间：

(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故?1??5,6,7,??； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：?2??2,3,4,?11,12?； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以?3??0,1,2,?(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ?4??i,j?1?i?j?5?; (5) 检查两件产品是否合格;

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则?5???0,0?,?0,1?,?1,0?,?1,1??；

(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ?6??x,y?T1?x?y?T2?；

???；

(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;

第一章 事件与概率

1．写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。

（6）实测某种型号灯泡的寿命。

??{ini?0,1,?,100n}, 解 （1）人数。

其中n为班级

（2）??{3,4,?,18}。 （3）??{10,11,?}。

（4）??{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。 （5）??{(x,y)? 0

2．设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件，。

1

（1）A发生，B与C不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C中至少

第二章 随机变量

2.1 X 2 P 1/36

3 1/18

4 1/12

5 1/9

6 5/36

7 1/6

k

8 5/36

9 1/9

10 1/12

11 1/18

12 1/36

2.2解：根据 P(X

k 0

k) 1，得 ae

k 0

ae 1

1。 1，即

1 e 1

故 a e 1

2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同

P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=

020211112020

0.70.3 0.40.6 0.70.3 0.40.6 0.70.3 0.40.6 0.3124C2C2C2C2C2C2

1

1

2

2

(2)甲比乙投中的次数多

P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=

110220022011

C20.70.3 C20.40.6 C20.70.3 C20.40.6 C20.70.3 C20.40.6 0.56281

2

2

1

2.4解:（1）P{1≤X≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=(2) P{0.5

《概率论与数理统计》作业

第1章 概率论的基本概念

§1 .1 随机试验及随机事件

1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；

(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ；

B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= .

§1 .2 随机事件的运算

1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：

(1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设S?{x:0

第一章 事件与概率

1．写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。

i??{i?0,1,?,100n},n 解 （1）其中n为班级人数。

（2）??{3,4,?,18}。 （3）??{10,11,?}。

（4）??{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。 （5）??{(x,y)? 0

（6）??{ t? t ? 0}。

2．设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件，。

（1）A发生，B与C不发生。

（2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C中至少有一个发生。 （4）A，B，C都发生。 （5）A，B，C都

三、（18分）1、设随机变量X，Y相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布.

（1） 写出 (X, Y)的联合密度f (x, y).

（2） 试求t的方程 t2?Xt?Y?0 有实根的概率. （3） 计算?1?

P?max(X,Y)??.2??2、设随机向量 (X, Y ) 具有如下的概率分布：

P(X?n,Y?m)?0.5en?1m!(n?m)!,m?0,1,2,?,n；n?0,1,2,?.

（1） 分别求出X，Y的概率分布. （2） 判断X，Y是否相互独立，说明理由. 解：1、 （1）

?1, 0?x?1,0?y?1,

f(x,y)???0, 其他.（2）方程 t2?Xt?Y?0 有实根，则判别式 ?=X2?4Y?0.

P(X21??4Y?0)?P?Y?X4?2?????110dx?4x201dy??1101

xdx?.4122（3）1?1??1?1 ??由X,Y相互独立，P?max(X,Y)???P?X??P?Y???.2?2??2?4??2、

（1）P(X?n)??0.5en!?n?1nnn?m?0P(X?n,Y?m)?n!0.5en!?n?1?m?0n0.5en?1

?1m!(n?m)!C

《概率论与数理统计》课程论文

浅谈概率论的思想发展及应用

能源科学与工程学院

于晓滢 1130240415

哈尔滨工业大学

摘 要

概率论是一门历史悠久的学科，关于它的起源众说纷纭，不过大家都承认的是，概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论,它拥有着自己独立的研究问题和有代表性的思想方法，并在现代生活的多个方面发挥着作用，拥有着不可替代的地位。本文将总结概率论中所应用的几种典型思想方法及演变，并陈述概率论在当代生活中的几种必要应用，让我们对这一学科有一个更深刻的了解。

I

目 录

摘 要 ................................................................................................................................................. I 第1章 概率论的诞生 ..................................................................................................................... 1

Chapter 3. Random Variables and Probability Distribution

1. Concept of a Random Variable

Example: three electronic components are tested sample space (N: non defective, D: defective)

S =｛NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD｝ allocate a numerical description of each outcome concerned with the number of defectives

each point in the sample space will be assigned a numerical value of 0, 1, 2, or 3. random variable X: the number of defective items, a random quantity

random variable Definition 3.1

A random varia