矩阵的定义

矩阵的Jordan标准形有两个局限，其一、是只有方阵才能求其Jordan标准形；其二、Jordan标准形毕竟不如对角矩阵来得方便。本节讨论的矩阵奇异值分解，将克服这些局限性。 定理1如果A为n阶复矩阵，则有：

1）矩阵AA，AA的特征值都是非负实数； 2）矩阵AA与AA的非零特征值都相同。

n证：1）设??C为AA的特征值?所对应的特征向量，则AA是Hermite矩阵，所以?HHHHHH是实数；并且0??A?,A???因为??0，所以??0。

??,AHA????,???????,??，

?同理可证，AA的特征值也是非负实数。

3）将AA的特征值按顺序记为：?1??2????r??r?1??r?2????n?0， 设?i?CHHHn?i?1,2,?,r?为AHA的非零特征值?i?i?1,2,?,r?所对应的特征向量，

?i?i?1,2,?,r?，有(AAH)A?i=?iA?i?i?1,2,?,r?，

则由AA?i=?i因为A?i是非零向量，所以?i也是AAH的非零特征值；

HH同理可证，AA的非零特征值也是AA的非零特征值。

以下证明AA与AA的非零特征值完全相同，这只要证明AA与AA的非零特征值的代数重数相同即可。

设y1,y2,?,yp为

理解矩阵（一）

2006-04-02 00:30 54984人阅读 评论(145) 收藏 举报

前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。

可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用

0 前 言.......................................................................................................................... 1 1 欧式空间和正交矩阵................................................................................................ 2

1.1 欧式空间.......................................................................................................... 2 1.2 正交矩阵的定义和性质.................................................................................. 2

1.2.1 正交矩阵的定义和判定....................................

矩阵的基本运算

（摘自：华东师范大学数学系；http://math.ecnu.edu.cn/）

§3.1 加和减 §3.2矩阵乘法

§3.2.1 矩阵的普通乘法 §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 §3.3 矩阵除法 §3.4矩阵乘方 §3.5 矩阵的超越函数 §3.6数组运算

§3.6.1数组的加和减 §3.6.2数组的乘和除 §3.6.3 数组乘方 §3.7 矩阵函数 §3.7.1三角分解 §3.7.2正交变换 §3.7.3奇异值分解 §3.7.4 特征值分解 §3.7.5秩

§3.1 加和减

如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如： A= B=

1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回：

矩阵的内涵

如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，这就带来了教学上的困难。

* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？

* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？

* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为

对几类特殊矩阵的逆矩阵问题进行了研究,讨论了它们可逆的条件,分析了这些矩阵与其逆矩阵之间的关系,并给出了其逆矩阵的特征或求逆矩阵的公式.

第 2卷第 1期 9 220 0 8年 1 2月

通化师范学院学报J OUR NAL OF T NGHUA T AC O E HER L EG S CO L E

V0 . 9№ l 12 2

De c.2 8 00

几类特殊矩阵的可逆性及其逆矩阵邵选民(苏州市职业大学教育与人文科学系，江苏苏州 2 50 ) 1 14

摘

要：对几类特殊矩阵的逆矩阵问题进行了研究，讨论了它们可逆的条件，分析了这些矩阵与其逆矩阵之间的关系，并给出

了其逆矩阵的特征或求逆矩阵的公式.关键词：矩阵；逆幂零矩阵；数矩阵整

中图分类号： 5 .1文献标志码：文章编号：0 8- 94 20 ) 2— 0 5— 3 O1 12 A 10 7 7 (0 8 1 0 0 0收稿日期：0 8— 3— l 2 0 0 2

作者简介：邵逸民(9 3一)安徽安庆人， 17,苏州市职业大学教育与人文科学系讲师.

1预备知识矩阵的逆问题是矩阵论的重要问题，逆矩阵求

用同样的方法可证明 ( ) 2.

定理 2设 1阶矩阵的各行各列中有且只有 1 .一

在矩阵理论中占有重要地

第二章§2 矩阵的运算

一、矩阵的加法定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij),B = (bij) ,那么矩阵 A 与 B 的和记作 A+B,规定为 a11 b11 a21 b21 A B am 1 bm 1 a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2 a1n b1n a2 n b2 n amn bmn

说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.

矩阵加法的运算规律：A B B A 交换律 ( A B) C A ( B C )

结合律

二、数与矩阵相乘定义：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ,规定为 l a11 l a21 l A Al l am 1

la 12 l a22

l am 1

la n 1 la n 2 l amn

数乘矩阵的运算规律：(l ) A l( A )

结合律 分配律

(l ) A l A A

l ( A B

对几类特殊矩阵的逆矩阵问题进行了研究,讨论了它们可逆的条件,分析了这些矩阵与其逆矩阵之间的关系,并给出了其逆矩阵的特征或求逆矩阵的公式.

第 2卷第 1期 9 220 0 8年 1 2月

通化师范学院学报J OUR NAL OF T NGHUA T AC O E HER L EG S CO L E

V0 . 9№ l 12 2

De c.2 8 00

几类特殊矩阵的可逆性及其逆矩阵邵选民(苏州市职业大学教育与人文科学系，江苏苏州 2 50 ) 1 14

摘

要：对几类特殊矩阵的逆矩阵问题进行了研究，讨论了它们可逆的条件，分析了这些矩阵与其逆矩阵之间的关系，并给出

了其逆矩阵的特征或求逆矩阵的公式.关键词：矩阵；逆幂零矩阵；数矩阵整

中图分类号： 5 .1文献标志码：文章编号：0 8- 94 20 ) 2— 0 5— 3 O1 12 A 10 7 7 (0 8 1 0 0 0收稿日期：0 8— 3— l 2 0 0 2

作者简介：邵逸民(9 3一)安徽安庆人， 17,苏州市职业大学教育与人文科学系讲师.

1预备知识矩阵的逆问题是矩阵论的重要问题，逆矩阵求

用同样的方法可证明 ( ) 2.

定理 2设 1阶矩阵的各行各列中有且只有 1 .一

在矩阵理论中占有重要地

广义的讲，音乐就是任何一种艺术的、令人愉快的、神圣的或其他什么方式排列起来的声音。所谓的音乐的定义仍存在着激烈的争议，但通常可以解释为一系列对于有声、无声具有时间性的组织，并含有不同音阶的节奏、旋律及和声。 音乐可以通过几种途径来体验，最传统的一种是到现场听音乐家的表演。现场音乐也能够由无线电和电视来播放，这种方式接近于听录音带或看音乐录像。有些时候现场表演也会混合一些事先做好的录音，如DJ用唱片做出的摩擦声。当然，也可以制作自己的音乐，通过歌唱，玩乐器或不太严密的作曲。 甚至耳聋的人也能够通过感觉自己身体的震动来体验音乐，最著名聋音乐家的例子便是贝多芬，其绝大部分著名的作品都是在他完全丧失听力后创作的。 人们想学习音乐的时候会去上音乐课。音乐学是一个历史的科学的研究音乐的广阔领域，其中包括音乐理论和音乐史。 音乐作为一门古老的艺术，各文化也都有其独特的音乐系统，民族音乐学是一门以该领域为讨论对象的学科。

音乐是情感的艺术，任何一首歌曲或乐曲都是艺术家的情感产物，它通过音乐特有的方式来表现或活泼或婉转或庄严或凄凉的情感，使人们从中受到美的熏陶和情操的冶炼。“乐由情起”这是说音乐由情感而起，也正是这种“情”牵动着听者的那颗心

篇一：POP的制作基本要点

POP的制作基本要点

一、POP的定义

在国际贸易中POP的意思是:产品证明 Proof of Product 也就是货物证明 ＰＯＰ(Point Of Purchase)本来是指商业销售中的一种店头促销工具，其型式不拘，但以摆设在店头的展示物为主，如吊牌、海报、小贴纸、大招牌、实物模型、旗帜等等，都是林立在ＰＯＰ的范围内。ＰＯＰ的中文名字又名「店头陈设」。

二、POP手绘海报的兴起

近年来，由于日本引进店头展示的行销观，店家们开始重视门面的包装，而店面上出现大量以纸张绘图告知消费者讯息的海报出现，也许是大量印刷的或是手工绘制的，形成一波流行的潮流。而之中最令人侧目的是手绘POP的兴起。

早期由十分简单，不重视美观仅在乎告知讯息的文字POP，到最近演变出的一波手绘POP文化，大量的图案及素材活泼地呈现在海报纸上，色彩丰富吸引人的目光，手绘POP是近年来的一项艺术。而除了在商业上应用之外，校园内也逐潮流行起海报绘制的工作，举凡社团活动、学会宣传、校际活动周知，无不利用最简单的工具来绘制出五花十色的海报。而手绘海报也由最初的「大字报」时期变型成为文图并茂的「图文看板」。

三、POP手绘海报常使用的工具

绘制一张精美的POP海报，可以利