平面向量的概念及线性运算思维导图

平面向量的概念及其线性运算

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

→

1．(2013·合肥检测)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA→＋OC→＝0，那么 ＋OB→＝OD→ A.AO

→＝3OD→ C.AO

( )．

→＝2OD→

B.AO→＝OD→ D．2AO

→＋OB→＋OC→＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故AO→

解析 由2OA→. ＝OD答案 A

→＝a，→＝b，→＝c，→＝d，

2．已知OAOBOCOD且四边形ABCD为平行四边形，则 ( )． A．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0

B．a－b－c＋d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0

→＝DC→，故AB→＋CD→＝0，即OB→－OA→＋OD→－OC→＝0，即有解析 依题意，得AB

→－OB→＋OC→－OD→＝0，则a－b＋c－d＝0.选A. OA答案 A

→＋2OC→

3．(2013·长安一中质量检测)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA→|

|BC→

＝3OB，则的值为

→|AB|1A.2

1

B.3

1D.6

( )．

1

C.4

→||BC→→→→→→

§5.1 平面向量的概念及线性运算

一、选择题

1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a?b|，则下面结论正确的是（ ） A.a∥b B. a⊥b C.{0,1,3} D.a+b=a?b

答案 B

2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )． A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析 若a＋b＝0，则a＝－b. ∴a∥b；

若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立． 答案 A

3．设P是△ABC所在平面内的一点，→BC＋→BA＝2→BP，则( )． A.→PA＋→PB＝0 C.→PB＋→PC＝0

B.→PC＋→PA＝0 D.→PA＋→PB＋→PC＝0

解析 如图，根据向量加法的几何意义，→BC＋→BA＝2→BP?P是AC的中点，

∴→PA＋→PC＝0.答案 B

4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，

第1节 平面向量的概念及线性运算

最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知 识 梳 理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律：a＋b＝b加法 求两个向量和的运算 求a与b的相反向量－减法 b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) ＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方数乘 求实数λ与向量a的积向与a的方向相同；当λ的运算 ＜0时，λa的方向与a

2.2.1向量加法运算及 其几何意义

新课导入1. 物理学中，两次位移 同的。 的结果和位移 是相 OA, AB OB

2. 物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合 力如何求得？ 3. 两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三 角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

向量的加法

已知向量a,b,在平面内任取一点A,作 BC b,则向量 AC 叫做a与b的和，记作a+b,即 a+b= AB BC AC

a AB ,

求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量和的方法叫做三角形法则，简记 “首尾相连，首是首，尾是尾”。

向量的加法 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作平 行四边形ABCD则以O为起点的对角线 OC 就是a与 b的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 平行四边形法则。

向量的加法

对于零向量与任一向量a,规定a+0=0+a=a

例 题 已知向量a,b,用两种方法求作向量a+b。

解：

思 考 当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加 法与数的加法有什么关系？

归

纳

两个向量的和仍

2.2.1向量加法运算及 其几何意义

新课导入1. 物理学中，两次位移 同的。 的结果和位移 是相 OA, AB OB

2. 物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合 力如何求得？ 3. 两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三 角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

向量的加法

已知向量a,b,在平面内任取一点A,作 BC b,则向量 AC 叫做a与b的和，记作a+b,即 a+b= AB BC AC

a AB ,

求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量和的方法叫做三角形法则，简记 “首尾相连，首是首，尾是尾”。

向量的加法 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作平 行四边形ABCD则以O为起点的对角线 OC 就是a与 b的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 平行四边形法则。

向量的加法

对于零向量与任一向量a,规定a+0=0+a=a

例 题 已知向量a,b,用两种方法求作向量a+b。

解：

思 考 当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加 法与数的加法有什么关系？

归

纳

两个向量的和仍

2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）

平面向量的概念及运算

一．【课标要求】

（1）平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算

①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

二．【命题走向】

本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。

预测2010年高考：

（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；

（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

三．【要点精讲】

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一轮复习讲义

平面向量的概念及线性运算

要点梳理1.向量的有关概念 名称 向量

忆一忆知识要点

定义 既有 大小 又有方向的量； 向 量的大小叫做向量的长度 (或称为模) 长度为 0 的向量； 其方向 是任意的

备注 平面向量是自由向量

零向量

记作 0

单位向量

非零向量 a 的单位向量 长度等于1个单位 的向量 a 为± |a|

要点梳理平行向量 共线向量 相等向量 相反向量

忆一忆知识要点

方向 相同 或 相反 的非 零向量 0 与任一向量 平行 或 共线 两向量只有相等或不 等，不能比较大小 0 的相反向量为 0

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 长度 相等 且方向相反 的向量

忆一忆知识要点

2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律

(1)交换律： 加法 求两个向量 和的运算平行四边形 三角形

a+b=b+a (2)结合律： (a+b)+c=a+(b+c) .

要点梳理求 a 与 b 的相 减法 反向量-b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差

忆一忆知识要点

a-b=a+(-b)

三角形 法则(1)|λa|= |λ||a| ;

(2)当 λ>0 时， 的方向 λ(μa)= λμa ; λa 求实数 λ

第四章一第一节

处世

?原文?一目之罗,不可以得鸟三 汉四刘安‘淮南子四说林训“

?微言大义?一个网眼的罗网是捕不到鸟的三比喻对贤人无礼,得不到贤者的支持,个人再能干也将一事无成三71一

第四章一平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节一平面向量的概念及其线性运算

一一完全与教材同步,主干知识精心提炼三素质和能力源于基础,基础知识是耕作 半亩方塘 的工具三视角从

?考纲点击?中切入,思维从?考点梳理?中拓展,智慧从?即时应用?中升华三科学的训练式梳理峰回路转,别有洞

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考纲点击 三年3考一高考指数:

内一容

知识要求

了解

(A)理解(B)掌握(C)

平面向量的相关概念?

平面向量的线性运算及其几何意义?

平面向量的线性运算的性质及其几何

意义?

考点梳理

1.向量的有关概念

(1)定义:既有一一一一一一又有一一一一一一的量叫做向量.

(2)表示方法:用一一一一一来表示向量.有向线段的长度表示

向量的一一一一,用箭头所指的方向表示向量的一一一一一.

用a,b,或用A B?,C D?来表示.

(3)模:向量的一一一叫做向量的模,记作|a|,|b|或|A B?|,|C D?|.

(1)判断下列命题的真假:(请在括号中填写 真 或 假 )

①向量

高中数学 必修4 同步练习 AB卷 (平面向量)

高中数学必修4同步练习(2.1-2.2平面向量的概念及线性运算)(B卷)

姓名______班级______学号______ 一.选择题(每题5分)

1.如右图四边形ABCD是平行四边形,则

BC CD BA等于( )

A.BD B.AD C.

AB D.AC

D

C

A

B

2.下列说法不正确的是( )

A,在 a b a b中,等号成立的充要条件是

a,b反

向或

aB,在 ,b中至少有a 一个为0;

b a b中,等号成立的充要条件是

a,b同向或 a,b中至少有一个为0;

C,在 a b a b中,等号成立的充要条件是

a,b中

至少有一个为D,已知向量 0;

满足

量

a,b不共线,向量ca b c 0,则向

a,b,c不一定能构成三角形.

3.已知点E在 ABC所在的平面且满足AB AC AE( 0),则点E一定落在

A.BC边的垂直平分线上

B.BC边的中线所在的直线上 C.BC边的高线所在的直线上 D.BC边所在的直线上

4.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若

2DB，CD 1 AD 3

CA CB,则 (

平面向量的概念与线性运算

知识梳理： 1. 向量的有关概念

(1).向量:既有 ,又有 的量叫向量;通常记为 ;长度为 的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.

(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 . (3).相等向量: (4).相反向量: 2.向量 加法与减法

(1).向量加法按 法则或 法则;

向量加运算律:交换律: ;结合律: (2).向量减法作法: 3.实数与向量的积

(1). 实数错误！未找到引用源。与向量a的积是一个向量,记作错误！未找到引用源。,它的长度与方向规定如下：

长度：

方向： (2)．运算律