数学建模动态规划问题求最短路径

求最短路径的新算法

　CN4321258/TP　ISSN10072130X

　　　　计算机工程与科学

COMPUTERENGINEERING&SCIENCE

2006年第28卷第2期　

　Vol128,No12,2006　

文章编号:10072130X(2006)0220083203

求最短路径的新算法

3

TheNewAlgorithmforFindingtheShortestPaths

徐凤生

XUFeng2sheng

(德州学院计算机系,山东(DepartmentofComputerScienceandTechnology摘　要:,并用。实验表明,该算法能高效Abstract:Anewtheshortestpathshasbeenputforwardinthispaper.Alltheshortestpathsfromonenodetoalltheothernodescanbederivedquicklybyusingthealgorithm.ThealgorithmisverifiedandimplementedbyarelevantCprogram.

关键词:最短路径;Dijkstra算法;邻接矩阵

Keywords:shortestpath;Dijk

#include \#include #include #include

using namespace std;

const int N = 5; const int M = 1000; ifstream fin(\

template

void Dijkstra(int n,int v,Type dist[],int prev[],Type c[][N+1]);

void Traceback(int v,int i,int prev[]);//输出最短路径 v源点，i终点

int main() {

int v = 1;//源点为1

int dist[N+1],prev[N+1],c[N+1][N+1];

cout<<\有向图权的矩阵为：\ for(int i=1; i<=N; i++) {

for(int j=1; j<=N; j++) {

fin>>c[i][j]; cout<

cout<

Dijkstra(N,v,dist,prev,c);

for(int i=2; i<=N; i++) {

cout<<\源点1到点\的最短路径长度为:\，其路径为\ Traceback(1,i,prev); cout<

return 0; }

template

void

最短路径问题作图练习

1.已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？ 作法：

2.已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？ 作法：

3. 如图，直角坐标系中有两点A、B,在坐标轴上找两点C、D,使得四边形ABCD的周长最小。

.A . B 作法：

4. 如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？

作法：

CM

AB N O

5. 如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，

AP+PQ+QB的长最短？

作业：

6.．．

.已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M． （1）如图1，在l上求作一点M，使得｜ AM－BM ｜最小； 作法：

图1

（2）如图2，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大； 作法：

图2

图论最短路径问题 在消防选址中的应用

【摘 要】 最短路径问题是图论解决的典型实际问题之一，可用来解决管路铺设、线路

安装、厂区布局和设备更新等实际问题。介绍了图论最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法，解决城市消防站的选址问题。

【关键词】 最短路径；Floyd算法；消防

1 引言

图论是运筹学的一个重要分支，旨在解决离散型的优化问题，近年来发展十分迅速。在人们的社会实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、生物技术以及经济、军事等领域中许多问题的有力工具之一。图论中的“图”，并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，也不是工程设计图中的“图”，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的对象，以及这些对象之间具有或不具有某种特定关系的一个数学系统。也就是说，几何图形是表述 物体的形状和结构，图论中的“图”则描述一些特定的事物和这些事物之间的联系。它是数学中经常采用的抽象直观思维方法的典型代表。

2 图论基本概念

2.1 图的定义

有序三元组G?(V,E,?)称为一个图，其中：

(1)V?(V1,V2,?,Vn)是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点； (2)E称为边集，其元素叫做图的边；

(3)?是从边集E

初中数学：最短路径问题专题学习

【基本问题】

【问题1】 AlB作法 图形 原理 连AB，与l交点即为P． 两点之间线段最短． PA+PB最小值为AB． 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 【问题2】“将军饮马” ABl作法 作B关于l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P． 图形 原理 两点之间线段最短． PA+PB最小值为A B＇． 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 【问题3】 l1作法 图形 原理 Pl2分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N． 两点之间线段最短． PM+MN+PN的最小值为 线段P＇P＇＇的长． 在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN的周长最小． 【问题4】 l1QPl2作法 分别作点Q 、P关于直线l1、l2的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N． 图形 原理 两点之间线段最短． 四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长． 在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小． 【问题5】“造桥选址”

AMNBmn作法 将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交n于点N

最短路径问题（刁老师数学）

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结

点之间的最短路径．算法具体的形式包括：

①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．

②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 【十二个基本问题】 【问题1】 AlB作法 A图形 原理 连AB，与l交点即为P． PBl两点之间线段最短． PA+PB最小值为AB． 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 【问题2】“将军饮马” ABl作法 A作B关于l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P． 图形 原理

10.2 最短路径与选址问题

第2节 最短路径与选址问题

最短路径问题

选址问题

10.2 最短路径与选址问题

对于许多地理问题，当它们被抽 象为图论意义下的网络图时，问题的核 心就变成了网络图上的优化计算问题。 其中，最为常见的是关于路径和顶点的 优选计算问题。 在路径的优选计算问题中，最常见 的是最短路径问题；而在顶点的优选计 算问题中，最为常见的是中心点和中位 点选址问题。

10.2 最短路径与选址问题

一、最短路径问题(一)最短路径的含义

“纯距离”意义上的最短路径 例如，需要运送一批物资从一个城市到另 一个城市，选择什么样的运输路线距离最短？ “经济距离”意义上的最短路径 例如，某公司在10大港口C1,C2,…, C10设有货栈，从Ci到Cj之间的直接航运价格， 是由市场动态决定的。如果两个港口之间无直 接通航路线，则通过第三个港口转运。那么， 各个港口之间最廉价的货运线路是什么？

10.2 最短路径与选址问题

“时间”意义上的最短路径 例如，某家经营公司有一批货物急需从一个 城市运往另一个城市，那么，在由公路、铁路、 河流航运、航空运输等4种运输方式和各个运输线 路所构成的交通网络中，究竟选择怎样的运输路 线最节省时间？ 以上3类问题，都可以抽

交巡警服务平台的设置与调度

摘要

本论文主要是关于图论中的“最短路径问题”和“最优搜索问题”。问题所述的模型已经很自然地用图表示出来，所以我们运用图的性质和算法来求解问题。

图论中求最短路径通常采用dijkstra算法，但本题涉及的交巡警平台数量较多，即求多个源点到其它所有顶点的距离，所以采用floyd算法求解比较简单，其基本思想是通过程序得到每个节点到其他节点的最优距离。

针对问题一，用floyd算法算出每个交巡警平台3分钟内所能到达的全部节点，这些节点就是平台的管辖范围，但仍有3分钟内不能到达的节点，这些节点处就应该增设交巡警服务平台。在快速封锁13条交通要道时，要遵循封锁时间最短、每个平台的警力最多封锁一个路口的原则，运用LINGO程序解答。最后分析得到出警时间至少大于3分钟的节点，及工作量最大的平台，在这些节点处需要增加3个服务平台。

针对问题二，需要对发案率进行降序排列，筛选出发案率较高，但是未设置交巡警服务平台的节点。根据六个城区的基本数据，得到每个平台管辖的面积和人口，比较各平台的工作量，从而找出不合理的理由。在搜捕犯罪嫌疑人时要遵循两个原则：搜捕时间最短和围堵区域最小。根据逃犯的位置和逃跑的可能路径建立关于时间T的目标函数和初

中考专题复习——路径最短问题

课题：中考中的最短路径问题

教学目标：1、利用“垂线段最短”原理确定最短路径

2、利用“两点之间，线段最短”原理确定最短路径 3、让学生学会把立体图形展开平面图形确定最短路径 4、让学生熟悉构建“对称模型”确定最短路径

二教学重点与难点

重点：1、利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”原理确定最短路径

2、 把立体图形转化平面图形之后确定最短路径 3、构建“对称模型”确定最短路径

难点：把立体图形转化平面图形及利用对称性确定最短路径

三、教学过程

知识回顾：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等。

利用“垂线段最短”原理确定最短路径 1、平面图形

例题1： 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为_____________ 2、立体图形（展开成平面图形）

例题2：如图，圆锥的底面半径为1，母线长为6，一只蚂蚁要从底面圆周上

1

最短路径问题

练习

一．选择题（共4小题）

1．（2016秋房山区期末）如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点

M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12

2．（2015秋通州区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，BC=6，CD 是△ABC 的一条高线．若E ，F 分别是CD 和BC 上的动点，则BE+EF 的最小值是（ ）

A ．6

B ．3

C ．3

D ．3

3．（2014秋昌平区期末）如图，等边△ABC 的边长为6，E 是AC 边上一点，AD 是BC 边上的中线，P 是AD 上的动点．若AE=2，则EP+CP 的最小值为（ ）

A．2 B．C．4 D．

4．（2011秋东城区期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB 内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

二．填空题（共5小题）

5．（2016秋门头沟期末）如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分