常见基本函数的极限

一元函数极限的基本求法

一元函数极限的基本求法

摘 要：函数的极限及其求法是微积分的基础。本文主要探讨、总结了求极限的基本方法，对每种方法的特点及注意事项作了说明，并加以实例进行讲解。

关键词：极限；积分；级数；洛必达法则。

1 引言

本文介绍了一些求极限的方法有：利用定义求极限，函数连续性求极限、四则运算、两个重要极限、等价无穷小量代替求极限、洛必达法则、泰勒展开式求极限、微分中值定理等等。在求极限的过程中，会发现一道题可以运用多种方法解答，因此给我们的启示是每种方法之间都有一定的联系。在求极限时，可以根据不同的形式选择不同的计算方法，合理利用各种计算方法，亦可进行适当的结合，使得求极限的方法更明了，算法更简单。 2 相关的定义和性质 2.1一元函数极限的概念

x趋于?时的函数极限：设函数f(x)为定义在?a,???的函数，A是一个定数，若对

使得当x?M时有f(x)?A??则称函数f(x)当x趋于??时以A为极???0，?正数M，限，记为limf(x)?A。

x???x趋于x0时的函数极限：设函数f(x)在点x0的某个空心邻域U0(x0,?)内有定义，A为定数，若对???0，存在正数?，使得当0?x?x0??时有f(x)

常见物质的爆炸极限

浓度单位为空气的体积百分比。

Class IA 液体 (闪点低于 73°F (22.8°C);沸点低于 100°F (37.8°C) 是为NFPA 704 燃烧速度 4

Classes IB (闪点低于 73°F (22.8°C); 沸点大于等于 100°F (37.8°C)) 与 IC液体 (闪点大于等于 73°F (22.8°C) , 但小于 100°F (37.8°C)) 是为NFPA 704 燃烧速度 3

Classes II (闪点大于等于 100°F (37.8°C), 但小于 140°F)与 IIIA 液体 (闪点大于等于140°F (60°C), 但小于200°F (93.3°C)) 是为NFPA 704 燃烧速度 2

Class IIIB液体 (闪点大于等于 200°F (93.3°C) 是为NFPA 704 燃烧速度1[1-2]

爆炸下限 (L物质 FL/LEL) %体积百分比 乙醛 乙酸(冰醋酸) 醋酸酐 丙酮 乙腈 一氯乙烷 4.0 4 2.6 - 3 7.3 爆炸上限 (UFL/UEL) %体积百分比 57.0 19.9 12.8 - 13 19 IA II II IB IB IB

常见气体的爆炸极限

气体名称 化学分子式/在空气中的爆炸极限 (体积分数) / %

下限(V/V) 上限(V/V) 乙烷 C2H6 乙醇 C2H5OH 乙烯 C2H4 氢气 H2 硫化氢 H2S 甲烷 CH4 甲醇 CH3OH 丙烷 C3H8 甲苯 C6H5CH3 二甲苯 C6H5(CH3)2 乙炔 C2H2 氨气 NH3 苯 C6H6 丁烷 C4H10 一氧化碳 CO 丙烯 C3H6 丙酮 CH3COCH3

常见物质的爆炸极限

浓度单位为空气的体积百分比。

Class IA 液体 (闪点低于 73°F (22.8°C);沸点低于 100°F (37.8°C) 是为NFPA 704 燃烧速度 4

Classes IB (闪点低于 73°F (22.8°C); 沸点大于等于 100°F (37.8°C)) 与 IC液体 (闪点大于等于 73°F (22.8°C) , 但小于 100°F (37.8°C)) 是为NFPA 704 燃烧速度 3

Classes II (闪点大于等于 100°F (37.8°C), 但小于 140°F)与 IIIA 液体 (闪点大于等于140°F (60°C), 但小于200°F (93.3°C)) 是为NFPA 704 燃烧速度 2

Class IIIB液体 (闪点大于等于 200°F (93.3°C) 是为NFPA 704 燃烧速度1[1-2]

爆炸下限 (L物质 FL/LEL) %体积百分比 乙醛 乙酸(冰醋酸) 醋酸酐 丙酮 乙腈 一氯乙烷 4.0 4 2.6 - 3 7.3 爆炸上限 (UFL/UEL) %体积百分比 57.0 19.9 12.8 - 13 19 IA II II IB IB IB

常见气体的爆炸极限

气体名称 化学分子式/在空气中的爆炸极限 (体积分数) / %

下限(V/V) 上限(V/V) 乙烷 C2H6 乙醇 C2H5OH 乙烯 C2H4 氢气 H2 硫化氢 H2S 甲烷 CH4 甲醇 CH3OH 丙烷 C3H8 甲苯 C6H5CH3 二甲苯 C6H5(CH3)2 乙炔 C2H2 氨气 NH3 苯 C6H6 丁烷 C4H10 一氧化碳 CO 丙烯 C3H6 丙酮 CH3COCH3

渤海大学本科毕业论文（设计）

函数极限求解方法的研究

The Subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis)

of Study on the method of function limit

学 院（系）： 数理学院 专 业： 数学与应用数学（师范） 学 号： 学 生 姓 名： 入 学 年 度： 2011年 指 导 教 师： 完 成 日 期： 2015年4月19日

渤海大学

Bohai University

函数极限求解方法的研究

摘要

函数极限是高等数学的重要构成部分，是探究微积分的基础，因此对求解函数极限方法的探究就成了我们研究高等数学必经之路.求解函数极限方法的方法众多，例如: 利用函数极限的

渤海大学本科毕业论文（设计）

函数极限求解方法的研究

The Subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis)

of Study on the method of function limit

学 院（系）： 数理学院 专 业： 数学与应用数学（师范） 学 号： 学 生 姓 名： 入 学 年 度： 2011年 指 导 教 师： 完 成 日 期： 2015年4月19日

渤海大学

Bohai University

函数极限求解方法的研究

摘要

函数极限是高等数学的重要构成部分，是探究微积分的基础，因此对求解函数极限方法的探究就成了我们研究高等数学必经之路.求解函数极限方法的方法众多，例如: 利用函数极限的

常见气体的爆炸极限 气体名化学分子式 下限(V/V) (体积分上限(V/V) (体积分称 乙烷 乙醇 乙烯 氢气 硫化氢 甲烷 甲醇 丙烷 甲苯 二甲苯 乙炔 氨气 苯 丁烷 丙烯 丙酮 苯乙烯 C2H6 C2H5OH C2H4 H2 H2S CH4 CH3OH C3H8 C6H5CH3 C2H2 NH3 C6H6 C4H10 C3H6 CH3COCH3 C6H5CHCH2 数) / % 3.0 3.4 2.8 4.0 4.3 5.0 5.5 2.2 1.2 1.5 15 1.2 1.9 12.5 2.4 2.3 1.1 数) / % 15.5 19 32 75 45 15 44 9.5 7 7.6 100 30.2 8 8.5 74 10.3 13 8.0 C6H5(CH3)2 1.0 一氧化碳 CO 爆炸极限计算方法：比较认可的计算方法有两种： 莱·夏特尔定律

对于两种或多种可燃蒸气混合物，如果已知每种可燃气的爆炸极限，那么根据莱·夏特尔定律，可以算出与空气相混合的气体的爆炸极限。用Pn表示一种可燃气在混合物中的体积分数，则：

LEL=（P1+P2+P3）/（P1/LEL1+P2/LEL2+P3/LEL3） （V%）

常见气体的爆炸极限 气体名化学分子式 下限(V/V) (体积分上限(V/V) (体积分称 乙烷 乙醇 乙烯 氢气 硫化氢 甲烷 甲醇 丙烷 甲苯 二甲苯 乙炔 氨气 苯 丁烷 丙烯 丙酮 苯乙烯 C2H6 C2H5OH C2H4 H2 H2S CH4 CH3OH C3H8 C6H5CH3 C2H2 NH3 C6H6 C4H10 C3H6 CH3COCH3 C6H5CHCH2 数) / % 3.0 3.4 2.8 4.0 4.3 5.0 5.5 2.2 1.2 1.5 15 1.2 1.9 12.5 2.4 2.3 1.1 数) / % 15.5 19 32 75 45 15 44 9.5 7 7.6 100 30.2 8 8.5 74 10.3 13 8.0 C6H5(CH3)2 1.0 一氧化碳 CO 爆炸极限计算方法：比较认可的计算方法有两种： 莱·夏特尔定律

对于两种或多种可燃蒸气混合物，如果已知每种可燃气的爆炸极限，那么根据莱·夏特尔定律，可以算出与空气相混合的气体的爆炸极限。用Pn表示一种可燃气在混合物中的体积分数，则：

LEL=（P1+P2+P3）/（P1/LEL1+P2/LEL2+P3/LEL3） （V%）

函数与极限资料二 2011-10-21

分类讨论求极限

例 已知数列?an?、?bn?都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q，其中p?q，且p?1，q?1，设cn?an?bn，Sn为数列?Cn?的前n项和，求limSn.

n??S?1na1pn?1b1qn?1解： Sn? ?p?1q?1????Sna1?q?1?pn?1?b1?p?1?qn?1. ?n?1n?1Sn?1a1?q?1?p?1?b1?p?1?q?1????????分两种情况讨论； （1）当p?1时，∵ p?q?0，故0?q?1， p∴limSn n??Sn?1???qn?1?1???n?p?a1?q?1???1?pn???b1?p?1???pn?pn??????????? lim?n?1?????q?1?1??pn?1?a1?q?1????????1??bp?1?n?1n?1???pn?1?1?p???????p????p?a1?q?1??1?0??b1?p?1??0 a1?q?1??1?0??b1?p?1??0a1?q?1??p a1?q?1??p?（2）当p?1时，∵ 0?q?p?1， ∴ limSn

n??Sn?1a1?q?1?pn