一阶常微分方程的初等解法

二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法

一 公式解法

目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:

y''?ay'?by?f(x)通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。

设二阶常系数线性非齐次方程为

y''?ay'?by?f(x) (1) 这里a、b都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程

k2?ak?b?0 (2)

对特征方程的根分三种情况来讨论。

1 若特征方程有两个相异实根k1、k2。则方程(1) 可以写成 y''?(k1?k2)y'?k1k2y?f(x)

常微分方程的初等解法

1．常微分方程的基本概况

1.1.定义：

自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。

1.2.研究对象：

常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。

1.3.特点：

常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜

第八章

常微分方程数值解法

摘要：对显式Euler方法来说,当解二阶连续可导时,其局部...(3.10)有解但解不唯一.不论如何选择这八个参数,不可能...算法8.1 经典Runge-Kutta方法本算法用经典Runge-... 关键词：导,论,算法 类别：专题技术

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常微分方程数值解法

教学目的 1. 掌握解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法；2. 掌握解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；3. 了解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步法的稳定性。

教学重点及难点 重点是解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；难点是理

辽宁工程技术大学

数 学 建 模 课 程 成 绩 评 定 表

赵常新 魏文楷 潘洋 一阶常微分方程模型—人口模型与预测

数学建模

一阶常微分方程模型—人口模型与预测

一．摘要：

二．模型的背景问题描述

三．模型假设

四.分析与建立模型

下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t 0），

N0 101654万人，Nm 200000万人。

要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（2）建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（3）利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。

赵常新 魏文楷 潘洋 一阶常微分方程模型—人口模型与预测

（4）利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。

模型一：指数增长模型（马尔萨斯（Malthus）模型）

假设：人口净增长率r是一常数

符号：x(t) t时刻时的人口，可微函数x0 t 0时的人口 则r

x(t t) x(t)

x(t) t

dx

于是x（t）满足如下微分方程： dt rx

x(0) x0解为：x(t) x0ert 模型二：Lo

第六章 常微分方程的数值解法

§6.0 引言

§6.1 算法构造的主要途径 §6.2 Runge-Kutta Method算法 §6.3 线性多步法

§6.4 线性多步法的一般形式 §6.5 算法的稳定性、收敛性

§6.0 引 言

1． 主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解:

?dy?dx?f?x,y????y?x0??y0??

微分方程的解就是求一个函数y=y(x)，使得该函数满足微分方程并且符合初值条件。 2. 例如微分方程:

xy'-2y=4x ；初始条件: y(1)=-3。

于是可得一阶常微分方程的初始问题

???y??2y??x4?y(1)??3。

显然函数y(x)=x2-4x满足以上条件,因而是该初始问题 的微分方程的解。

3. 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能

够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。 4． 微分方程的数值解：设微分方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x0=a，将[a,b]进行划分得一系列节点x0 , x1 ,...,xn，其中a= x0< x1<…< xn =b。

y(x)的解析表达式不容易得到或根本无

关于数值分析的

常微分方程的数值解法

一、题目 2x y y 求解初值问题 y

y 0 1 0 x 1 ，10等分区间，求节点处的近似值，并对所求结

果与分析解的结果进行比较。

二、方法

欧拉法

三、程序

function E=euler(f,a,b,y0,N)

x=zeros(1,N+1);

y=zeros(1,N+1);

x(1)=a;

y(1)=y0;

h=(b-a)/N;

for n=1:N

x(n+1)=x(n)+h;

y(n+1)=y(n)+h*feval(f,x(n),y(n));

end

T=[x',y']

四、结果

>> format compact

>> euler(inline('y-2*x/y'),0,1,1,10)

T =

0 1.0000

0.1000 1.1000

0.2000 1.1918

0.3000 1.2774

0.4000 1.3582

0.5000 1.4351

0.6000 1.5090

0.7000 1.5803

0.8000 1.6498

0.9000 1.7178

1.0000 1.7848

>> y=[1.0000 1.1000 1.1918 1.2774

常微分方程的初等解法

1．常微分方程的基本概况

1.1.定义：

自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。

1.2.研究对象：

常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。

1.3.特点：

常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜

第九章 常微分方程的数值解法主要内容§1、引言

§2、初值问题的数值解法--单步法§3、龙格-库塔方法

§4、收敛性与稳定性§5、初值问题的数值解法―多步法 §6、方程组和刚性方程 §7、习题和总结

§1、 引

言

主要内容

研究的问题 数值解法的意义

1.什么是微分方程 ? 现实世界中大多数事物 内部联系非常复杂

其状态随着 时间、地点、条件 的不同而不同 找出其状态和状态变化规律之间的相互联系， 也即一个或一些函数与他们的导数之间的关系

此种关系的数学表达就为

微分方程

2.数值求解微分方程的意义如何建立数学模型已在建模课程中得到讨论， 各类微分方程本身和他们的解所具有的特性 已在常微分方程及数学物理方程中得以解释， 本章专门 讨论

如何利用数值方法求解微分方程(组)的问题。

3.什么是微分方程 (组)的解析解?

3.什么是微分方 程(组)的解析解?

一个具有所要求阶连续导数的解析函数，将 它代入微分方程，恰使其所有条件都得到满 足的解称为解析解(或古典解),称为真解或解。 寻找解析解的过程称为求解微分方程。 y f ( x , y ), y ( x 0 ) y0

第七章 常微分方程数值解法

常微分方程中只有一些典型方程能求出初等解(用初等函数表示的解)，大部分的方程是求不出初等解的。另外，有些初值问题虽然有初等解，但由于形式太复杂不便于应用。因此，有必要探讨常微分方程初值问题的数值解法。本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的欧拉法、龙格-库塔法、阿达姆斯方法，在此基础上推出一阶微分方程组与高阶方程初值问题的 数值解法；此外，还将简要介绍求解二阶常微分方程值问题的差分方法、试射法。

第一节 欧拉法

求解常微分方程初值问题

?dy??f(x,y) ?dx??y(x0)?y0 （1）

的数值解，就是寻求准确解y(x)在一系列离散节点x0?x1?x2???xn?? 上的近似值 y0,y1,y2,?,yn,?

?yn?称为问题的数值解，数值解所满足的离散方程统称为差分格式，hi称为步长，实用中常取定步长。

?xi?xi?1显然，只有当初值问题(1)的解存在且唯一时，使用数值解法才有意义，这一前提条件由下 面定理保证。

定理 设函数f?x,y?在区域D:a?x?b,???y???

上连续，且在区域D内

淮北师范大学 2013届学士学位论文

常微分方程数值解法的误差分析

学院、专业 数学科学学院 数学与应用数学 研 究 方 向 计算数学 学 生 姓 名 李 娜 学 号 20091101070 指导教师姓名 陈 昊 指导教师职称 讲 师

年 月 日

常微分方程数值解法的误差分析

李 娜

（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）

摘 要

自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微

分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler法、后退Euler法、梯形方法、Runge