群的直积的自同构群

群的直积（Direct Product of Group）

群的直积是群论中的重要概念，也是研究群的重要手段之一，利用群的直积可以从已知的群构出新的群，可以用小群构造大群，也可以将一个群用它的子群来表示，这一节介绍子群的直积及其基本性质。

定义1 设G1,G2是群，G?{(a1,a2)|a1?G1,a2?G2)为集合G1与G2为的卡氏积（Cartesian product）,在G中定义乘法运算

(a1,a2)?(b1,b2)?(a1b1,a2b2),(a1,a2),(b1,b2)?G。

则G关于上述定义的乘法构成群，称为群G1与G2的外直积（external direct product），记作G?G1?G2，G1、G2称为G的直积因子(factor of the direct product)。

当G1、G2是加群时，G1与G2的外直积也可记作G1?G2。 定理1 设G?G1?G2是群G1与G2的外直积，则 （1）

G是有限群的充分必要条件是G1与G2都是有限群，并且，当G是有限群时，??有|G|?|G1||G2|；

（2） （3） （4）

G是交换群的充分必要条件是G1与G2都是交换群。 G1?G2?G2?G1；

若令A1?{(a1,e2

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QQ群怎样拉人，加群方法,不被T出群的技巧

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1如何加群

很多人对于加群并不陌生，但这里我还是要简单讲一下过程和要注意的细节。第一步登录QQ以后点击“查找”按钮。

点击以后进入所搜页面，选择查找群选项，在搜索框里输入你想加入群的群号或者群的关键词，我是做淘客的，所以我在搜索框里输入了“淘宝客”然后点击搜索按钮。

这时就会出现很多带有关键词“淘宝客”的群，所以这也间接告诉我们，建立一个群也是需要关键词的，下面我会慢慢讲到。回到刚才话题，你会看到很多群，这时我建议你设置筛选要求为“按人数”和“按人气”，因为这样的群活跃度必定很高，更适合以后你在群里发一些信息，进而提高成功率。

好的，加群时通过率并不是很高，所以你得多加一些，并且在输入验证信息时尽量真诚，还有就是每个ip加群数量是有限制的，目前没有太好的解决限制的办法，但你可以多注册几个qq，建议3个为宜，注意加群时不能在短时间内大量加，这样不仅通

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篇一：激励话术(群里发消息用)

激励话术

? 人活着的姿态就应像彩虹，不单调乏味，去美丽多彩；不畏惧困难，而面对风雨；不骄

傲自大，而躬弯谦虚；做事有条，条条分明。愿你有彩虹般的姿态，让大家都去喜欢你。 ? 人生路漫漫，上下而求索，用你的才智，勤奋，热情去点燃你生命里的那盏灯吧，用你

的信心，决心和勇气去面对命运中的挑战和挫折吧，请相信：前方的道路是曲折的，但前途是光明的，让你我共勉。

? 成功的秘诀是什么？冰箱说：容量要大。冷气机说：永远保持冷静。火说：有扫荡黑暗

带来光明的本事。我把它们都送给你，祝你早日取得成功！

? 你不能在你已经获得足够多的成功时，还对自己的能力保持怀疑，露出自信的微笑，走

出自信的步伐，做一个自信的人！

? 消极的人受情绪控制，看天，天不蓝，看水，水不清，积极的人却能控制情绪，挫折只

是试金石，困难就是垫脚石，努力才是成功的梯。

? 茫茫人海里,如果找不到自己的坐标位置,就好像一艘迷失方向的航母,不知去向何方,很

难找到停泊的港口!所以我们当前要做的是,为自己树立个目标,为自己将规划出一个宏伟蓝图!祝君早日成功!

? 插上梦想的翅膀，打开心灵的密码，释放沉睡已久的激情，为了梦，让我们共同努力吧！ ? 坚毅磨练你的意志，果敢陶冶你的性格，自信

矢量的直积——并矢

矢量的直积是矢量之间最简单的一种乘法运算，其结果是张量，所以也叫做矢量的张量积，俗称并矢。举例说明如下：

设三维白线性空间中的任意两个矢量的线性表出分别为

与

则两个矢量的直积就是一个并矢，属于二阶张量的一种，可记为

注意：并矢的先后次序一般不可交换。即

并矢既不是点积，也不是叉积，而是矢量的直积或直乘。因为其结果已经超出了原来的矢量空间，所以属于外积的一种。所谓直积运算就是一个矢量的所有线性组合项遍乘另一个矢量的所有线性组合项，类似于多项式乘法。如上例即

可见三维空间中的一个二阶张量共有9个分量。本例的基矢都是自然基矢（协变基矢），分量都是逆变分量，所以这个张量属于一个二阶逆变张量。

如果用爱因斯坦求和约定，上述并矢（二阶张量）还可以简洁地表示为

注意：两对哑标相乘时必须区别开。

其中基矢的并矢 叫做基张量，本例中的基张量是两个基矢的并矢，所以属于二阶基张

叫做张量的分量。对于两个n维矢量的并矢，有时也用完整

量。基张量对应的线性组合系数的一组

个分量表示其运算结果（一个二阶张量），即

矢量的直积运算还可以采用分量矩阵形式表示。如上例可表示为

一组9个基张量也可以用矩阵表示为

矢量的直积运算可以推广到多个矢量的并矢，即高阶张

实验三 尼群地平的合成

尼群地平（Nitrendipine），别名：硝苯乙吡啶，化学名称：2,6-二甲基-4（3-硝基苯基）1,4-二氢-3,5-吡啶二甲酸甲乙酯。本品为钙通道阻滞药，1985年于德国首次上市，为第二代二氢吡啶类钙拮抗剂。用于治疗高血压、充血性心力衰竭，可用于伴有心绞痛的高血压。本实验以间硝基苯甲醛为原料合成尼群地平。 【反应式】 【主要试剂】

3-硝基苯甲醛（9g，0.06mol），乙酰乙酸乙酯（17mL，0.13mol），浓硫酸，无水乙醇，β-氨基巴豆酸甲酯（3g，0.03mol） 【实验步骤】

1. 3-硝基亚苄基乙酰乙酸乙酯（Ⅰ）的制备

将17mL乙酰乙酸乙酯加入250mL三口烧瓶中，搅拌下冷却至0℃，慢慢滴加2mL浓硫[1][2]酸，滴毕，分数次加入9g 3-硝基苯甲醛，加毕，于低温5～8℃（温度不超过10℃）反应4h，冷冻过夜，滤出结晶，水洗，乙醇重结晶，干燥得白色晶体，测熔点。 2. 尼群地平（Ⅱ）的合成

往装有搅拌器、回流冷凝管的250mL三口烧瓶中，依次加入30mL无水乙醇、5g 3-硝基

[3]

亚苄基乙酰乙酸乙酯和3gβ-氨基巴豆酸甲酯，搅拌，回流反应6h左右，冷凝到50℃，

[4]

减压回收乙醇，冷冻过

家族：

───────────────────────────────────────────────────────────────皇族：

∞ ══════════ 苏氏══════════ ∞

┠-他们神秘。这一秒他们可能出现在马路对面。下一秒他们便会消失的无影无踪。-

-他们邪魅。勾引人是他们的专长。他们可以让你沉迷的无可自拔-

-他们残忍。黑道只手遮天的他们。杀人手法狠毒。招招致命。警方永远查不到怎么犯案的

-他们也是服装设计师。不过是业余的。但是虽然说是业余。可是他们设计出来的服装在全球一发售很快便会被一抢而空。

-他们的情报网遍布与世界各地。每一个地点都有他们的线人。并且与其它皇族有着友好的交情

-他们同时在政治界。商业界等等地方有着强大地位。事先声明。他们是黑白两道之首。

-他们有气质。苏氏皇族世世代代都是全世界最有气质的最漂亮的。 -他们还从事珠宝行业。他们设计的珠宝销售量全国第一、无人超越。 -据说，他们设计的一条名为“殇”的项链市场销售价达90000亿美元。┨

─────────────────────继承人【大小姐】 大小姐【苏凌潇】 二小姐

第一章 群的基本知识

二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein）发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等等。从七十年代起，又开展了超对称性的研究。群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。

1.1 群

定义 1.1 设G是一些元素的集合，G?{?,g,?}?{g}.在G中定义了乘法运算。如果G对这种运算满足下面四个条件：

（1） 封闭性。即对任意f,g?G，若fg?h，必有h?G。 （2） 结合律。对任意f,g,h?G，都有?fg?h?f(gh).

（3） 有唯一的单位元素。有e?G，对任意f?G，都有ef?fe?f （4） 有逆元素。对任意f?G，有唯一的f则称G为一个群。e称为群G的单位元素，f例1 空间反演群。

设E和I对三维实空间R中向量r的作用为

3?1?G，使f?1f?ff?1?e

?1称为f的逆元素。

?Er?r,Ir??r

即E是保

绝唱那些绝望

欲望迷惑沵旳心丶

// 轻描淡写丶

册刂除の记忆

天使吻过那片海╮

夏天的味道∝

情深、必定伤

感情窝囊废

国民逗比i

滚开我不用

我素坏银i

加勒比海带

考试催人老

风强吻我^

?太阳女神

作死主义者

?放声浪叫

萌你一脸血

逗比闪闪亮

学渣逆袭啦i

披萨心肠 ^

不帅你报警啊

猛少女战士!

为你　我努力 | 为你　我等待

笑着、说再见 | 哭着、说后悔

我要上线了、 | 我要下线了。

曲ヽ已终、|人ヽ未散、

уè灬先生╮|уè灬太太╮

华美如钻石、|心深似豪门、

，u0014m 沦陷|，u0014h 深陷

（借口而已∞|∞假装而已）

╯狱冥 。 | ╯狱妖 。

牵手·看日落 | 拉手·看日出

___、祈求 | ____、奢望

〃　悲、？ | 　〃　伤。？

你、只属于硪 | 硪、专属于你

.﹎↘腄觉_/ | .﹎↘枕头_/

①。段情、 | ①。颗心

血丶 未来 | 写丶 未来

me.珍惜 | me.抛弃

遥不可及的你|唾手可得的他

︶ㄣ 小绿|︶ㄣu0007 小红

大红花°| 小红花°

╯狱冥 。| ╯狱妖 。

始终卜够乀|始终是戏乀

ヽ 陌路人-_, | ヽ 过路人-_,

喜欢看着你∕ | 喜欢对你笑∕

何必向不值得的人证明什么

我喜欢海@

半脸控。

洁癖@

别残废

别拿我当逗比使！

我最珍贵@

耿坚强i

我是我爱人i

抠脚女神@

信我

第一章 群的基本知识

二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein）发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等等。从七十年代起，又开展了超对称性的研究。群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。

1.1 群

定义 1.1 设G是一些元素的集合，G?{?,g,?}?{g}.在G中定义了乘法运算。如果G对这种运算满足下面四个条件：

（1） 封闭性。即对任意f,g?G，若fg?h，必有h?G。 （2） 结合律。对任意f,g,h?G，都有?fg?h?f(gh).

（3） 有唯一的单位元素。有e?G，对任意f?G，都有ef?fe?f （4） 有逆元素。对任意f?G，有唯一的f则称G为一个群。e称为群G的单位元素，f例1 空间反演群。

设E和I对三维实空间R中向量r的作用为

3?1?G，使f?1f?ff?1?e

?1称为f的逆元素。

?Er?r,Ir??r

即E是保