选修4-4坐标系与参数方程知识点

涉县第一中学高二1级部数学理科 选修4-4知识点总结 总结人：李军波 魏军燕 张利梅

坐标系与参数方程 知识点

(一)坐标系

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

?x???x设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换?:??y???y(??0)的作用下,点P(x,y)(??0)对应到点P?(x?,y?),称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标

系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为?;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角?xOM叫做点M的极角,记为?.有序数对(?,?)叫做点M的极坐标,记作M(?,?).

一般

直角坐标系

教学目的：

知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 过程与方法：体会坐标系的作用

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用

教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习引入：

情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安

全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。

情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看

台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。

问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？

二、学生活动 学生回顾

刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系

1、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系

在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y

4-4坐标系与参数方程（复习）

知识回顾

一、坐标系

1.极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）

设M是平面上的任一点， 表示OM的长度， 表示以射线OX为始边，射线OM

为终边所成的角。那么有序数对( , )称为点M的极坐标。其中 约定：极点的极坐标是 =0， 可以取任意角。 2．直角坐标与极坐标的互化

以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为（x，y）和( , )，则 x

y tan

2

二、曲线的极坐标方程

1．直线的极坐标方程：若直线过点M( 0, 0)，且极轴到此直线的角为 ，则它的方程为： 几个特殊位置的直线的极坐标方程

（1）直线过极点 （2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过M(b,)且平行于极轴

2

图： 方程：

2．圆的极坐标方程： 若圆心为M( 0, 0)，半径为r的圆方程为：几个特殊位置的圆的极坐标方程

（1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于M(r,0) （3）当圆心位

4-4坐标系与参数方程（复习）

知识回顾

一、坐标系

1.极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）

设M是平面上的任一点， 表示OM的长度， 表示以射线OX为始边，射线OM

为终边所成的角。那么有序数对( , )称为点M的极坐标。其中 约定：极点的极坐标是 =0， 可以取任意角。 2．直角坐标与极坐标的互化

以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为（x，y）和( , )，则 x

y tan

2

二、曲线的极坐标方程

1．直线的极坐标方程：若直线过点M( 0, 0)，且极轴到此直线的角为 ，则它的方程为： 几个特殊位置的直线的极坐标方程

（1）直线过极点 （2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过M(b,)且平行于极轴

2

图： 方程：

2．圆的极坐标方程： 若圆心为M( 0, 0)，半径为r的圆方程为：几个特殊位置的圆的极坐标方程

（1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于M(r,0) （3）当圆心位

选修4-4 坐标系与参数方程

A组(供高考题型为选择、填空题的省份使用)

1．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－3)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________． 5π

解析 依题意知，ρ＝23，θ＝－6. 5π??

23，－?答案 6???

?x＝sin α，

2．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是?(α为参数)，

y＝cos α＋1?若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________． 解析 依题意知，曲线C：x2＋(y－1)2＝1， 即x2＋y2－2y＝0，

所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0. 化简得ρ＝2sin θ. 答案 ρ＝2sin θ

π???π?3．在极坐标系中，点P?2，－6?到直线l：ρsin?θ－6?＝1的距离是________．

????解析 依题意知，点P(3，－1)，直线l为：x－3y＋2＝0，则点P到直线l的距离为3＋1. 答案

3＋1

π??π??

3，4，???4．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为，则△AOB(其3?，?6???中O为极点)的面积为________．

1π?ππ?1

解析 由题意得S△AOB＝2×

提能专训(二十) 坐标系与参数方程(选修4－4)

1. (2013·福建省毕业班质检)如图，在极坐标系中，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径为1.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标π?x＝－1＋tcos ?6，系．已知直线l的参数方程为?π

??y＝tsin 6断直线l与圆C的位置关系．

(t为参数)，试判

命题立意：本题主要考查参数方程、极坐标方程等知识，考查考生的运算求解能力，考查数形结合思想．

解析：(1)如图，设M(ρ，θ)为圆C上除点O，B外的任意一点，连接OM，BM，

在Rt△OBM中，|OM|＝|OB|cos ∠BOM，

所以ρ＝2cos θ.

π??

可以验证点O?0，2?，B(2,0)也满足ρ＝2cos θ，

??故ρ＝2cos θ为所求圆的极坐标方程． π?x＝－1＋tcos ?6，(2)由?π

??y＝tsin 63

＝3(x＋1)，

即直线l的普通方程为x－3y＋1＝0.

由ρ＝2cos θ，得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1. |1×1－3×0＋1|

因为圆心C到直线l的距离d＝＝1， 2所以直线l与圆C相切．

??x＝1＋tcos α，2．(2013·郑州第二

【高考解码】2015届高三数学二轮复习(新课标) - 坐标系与参数方程(选修4-4)]

第20讲 理 第18讲 文

坐标系与参数方程(选修4－4)

x＝－1＋cos θ，

1．(2014·北京高考)曲线 (θ为参数)的对称中心( )

y＝2＋sin θ

A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上

【解析】 因为(1，－2)为圆的对称中点，所以在直线y＝－2x上，故选B. 【答案】 B 2．(2014·广东高考)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________．

【解析】 ∵2ρcos2θ＝sin θ， ∴2ρ2cos2 θ＝ρsin θ即2x2＝y， ∵ρcos θ＝1，∴x＝1， 2 2x＝y， x＝1，y＝2，∴交点坐标为(1,2)． x＝1

【答案】 (1,2)

ππ

θ－＝1的距离等于________． 3．(2014·陕西高考)在极坐标系中，点(2，到直线ρsin 66

【解析】 将点的极坐标、直线

极坐标系与参数方程

编稿：侯彬 审稿：安东明 责编：辛文升 一、基础知识回顾 1．极坐标系

（1）建系：如图所示，在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的 正方向（通常取逆时针方向）合称为一个极坐标系。O点称为极点，Ox称为极轴。

平面上任意点M的位置可以由线段OM的长度度来刻画，这两个数组 成的有序数对下，我们用弧度制度 量。

称为点M的极坐标。

（

≥0）和从Ox到OM的角

称为极径，称为极角。多数情况

注意：平面上的点与其极坐标之间不具有一一对应关系，因为若点M的一组极坐标为

，则

（k∈Z）也是点M的极坐标。若限定

，则除原点

外，点其极坐标一

一对应。

（2）极坐标系与直角坐标系的互化

在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以的射线作y轴的

正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系。 设M为平面上的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为

。画图可知：

，或。

（3）曲线的极坐标方程的概念

在给定的平面上的极坐标系下，

知识改变命运 教育开创未来

高二数学选修4-4《极坐标与参数方程》测试题

（时间：120分钟，总分：150分） 姓名： 学号:

一．选择题（每小题5分，共50分）

1.曲线的极坐标方程??4sin?化为直角坐标为（ ）。

A.x2?(y?2)2?4 B. x2?(y?2)2?4 C. (x?2)2?y2?4 D. (x?2)2?y2?4 2.已知点P的极坐标是（1，?），则过点P且垂直极轴的直线方程是（ ）。 A.??1 B. ??cos? C. ???3.直线y?2x?1的参数方程是（ ）。

x?sin??x?2t?1?x?t?1?x?t2A.? B. ? C. ? D. ? ?2y?4t?1y?2t?1y?2sin??1????y?2t?11??x?t?4.方程?t?y?2?1cos? D. ??1cos?

表示的曲线是（ ）。

A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分

?x?

高二数学选修4-4《极坐标与参数方程》测试题

（时间：120分钟，总分：150分） 姓名： 学号:

一．选择题（每小题5分，共50分）

1.曲线的极坐标方程??4sin?化为直角坐标为（ ）。

A.x2?(y?2)2?4 B. x2?(y?2)2?4 C. (x?2)2?y2?4 D. (x?2)2?y2?4 2.已知点P的极坐标是（1，?），则过点P且垂直极轴的直线方程是（ ）。 A.??1 B. ??cos? C. ???3.直线y?2x?1的参数方程是（ ）。

2??x?2t?1?x?t?1A.?x?t B. ? C. ? D.

2?y?4t?1?y?2t?1?y?2t?111 D. ?? cos?cos??x?sin?

??y?2sin??11?x?t?表示的曲线是（ ）。 4.方程??t??y?2A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分

?x?2?sin2?5.参数方程?（?为参数）化为普通方程是（ ）。

?y??1?cos2?A.2x?y?4?