第七章参数估计实验

七、参数估计

这一部分，“数学一”和“数学三”的考试大纲、考试内容和要求完全一致．“数学二”不考概率论与数理统计，而“数学四”只考概率论不考数理统计．

Ⅰ、 考试大纲要求

㈠ 考试内容

考试大纲规定的考试内容为：

点估计的概念 估计量和估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体均值的区间估计 单个正态总体方差和标准差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计

㈡ 考试要求

(1) 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念，了解评选估计量的基本标准——无偏性、有效性（最小方差性）与相合性（一致性）的概念，并会证明估计量的无偏性；会比较两个无偏估计量的方差；会利用大数定律证明估计量的相合性．

(2) 掌握求估计量的方法——矩估计法和最大似然估计法；矩估计法一般只涉及一阶和二阶矩．

(3) 掌握建立未知参数的（单侧或双侧）置信区间的一般方法，掌握正态总体的均值、方差、标准差和矩，以及与其相联系的特征的置信区间的求法．

(4) 掌握建立两个正态总体的均值差和方差比，以及与其相联系的特征的置信区间的一般求法．

Ⅱ、考试内容提要

统计推断，就是由样本推断总体，是统计学的核心内容，其两个基本问

七、参数估计

这一部分，“数学一”和“数学三”的考试大纲、考试内容和要求完全一致．“数学二”不考概率论与数理统计，而“数学四”只考概率论不考数理统计．

Ⅰ、 考试大纲要求

㈠ 考试内容

考试大纲规定的考试内容为：

点估计的概念 估计量和估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体均值的区间估计 单个正态总体方差和标准差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计

㈡ 考试要求

(1) 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念，了解评选估计量的基本标准——无偏性、有效性（最小方差性）与相合性（一致性）的概念，并会证明估计量的无偏性；会比较两个无偏估计量的方差；会利用大数定律证明估计量的相合性．

(2) 掌握求估计量的方法——矩估计法和最大似然估计法；矩估计法一般只涉及一阶和二阶矩．

(3) 掌握建立未知参数的（单侧或双侧）置信区间的一般方法，掌握正态总体的均值、方差、标准差和矩，以及与其相联系的特征的置信区间的求法．

(4) 掌握建立两个正态总体的均值差和方差比，以及与其相联系的特征的置信区间的一般求法．

Ⅱ、考试内容提要

统计推断，就是由样本推断总体，是统计学的核心内容，其两个基本问

第七章 参数估计例 制衣厂为了合理的确定服装各种尺码的生产比 例，需要调查人们身长的分布。现从男性成人人群 中随机选取100人,得到他们的身长数据为: ... (1)若已知X服从正态分布N( , 2), 试估计参数的 , 2值

7.1 点估计一、参数估计的概念定义(p176) 设X1, … , Xn是总体X的一个样本，其分布函数为F(x; ), 。其中 为未知参数, 为 参数空间, 若统计量g(X1, … , Xn)可作为 的一个

, 估计,则称其为 的一个估计量，记为 g( X , , X ). 即 1 n

若x1, … , xn是样本的一个观测值。 g( x , , x )称为 的估计值 , 1 n2

由于g(x1, … , xn) 是实数域上的一个 点，现用它来估计 , 故称这种估计为点 估计。

点估计的经典方法是矩估计法与极大 似然估计法。

二、矩估计法(简称“矩法”) (p177) 关键点：1.用样本矩作为总体同阶矩的估计，即 n 1 若 k E ( X k ), 则 k X ik . n i 1 k k 1 n 若 k E X E X , 则 k

第7章 参数估计2011.6-2011.10

参数：反映总体某方面特征的量例：设浙江大学大一学生某学年的《微积分I》成绩X 服从正态分布，当X 90时为优秀，则优秀率 p P X 90 1 ( 90

)

也是一个参数，它是 和 2的函数。

当总体的参数未知时，需利用样本资料对其 给出估计——参数估计。

两类参数估计方法：点估计和区间估计

点估计 直接用来估计未知参数 的统计量 ( x1 , ... , xn )

称为参数 的点估计量，简称点估计。 常见的点估计法：矩法和极大似然法。

(一)矩估计法替换原理： 以样本矩替换总体矩(原点矩或中心矩) 以样本矩的函数替换总体矩的函数 E( X ) x ( X ) s 2 1 ( x x )2 D n n i 1 i注：也可以用 s 2 估计 D( X )n

基本步骤(1)求总体前k阶矩关于k 个参数的函数

i E ( X i ) hi ( 1 , , k ),

i 1, , k

(2)求各参数关于k阶矩的反函数

i gi ( 1 , , k ),

i 1, , k

(3)以样本各阶矩A1 , ,

第7章 参数估计2011.6-2011.10

参数：反映总体某方面特征的量例：设浙江大学大一学生某学年的《微积分I》成绩X 服从正态分布，当X 90时为优秀，则优秀率 p P X 90 1 ( 90

)

也是一个参数，它是 和 2的函数。

当总体的参数未知时，需利用样本资料对其 给出估计——参数估计。

两类参数估计方法：点估计和区间估计

点估计 直接用来估计未知参数 的统计量 ( x1 , ... , xn )

称为参数 的点估计量，简称点估计。 常见的点估计法：矩法和极大似然法。

(一)矩估计法替换原理： 以样本矩替换总体矩(原点矩或中心矩) 以样本矩的函数替换总体矩的函数 E( X ) x ( X ) s 2 1 ( x x )2 D n n i 1 i注：也可以用 s 2 估计 D( X )n

基本步骤(1)求总体前k阶矩关于k 个参数的函数

i E ( X i ) hi ( 1 , , k ),

i 1, , k

(2)求各参数关于k阶矩的反函数

i gi ( 1 , , k ),

i 1, , k

(3)以样本各阶矩A1 , ,

第7章 参数估计2011.6-2011.10

参数：反映总体某方面特征的量例：设浙江大学大一学生某学年的《微积分I》成绩X 服从正态分布，当X 90时为优秀，则优秀率 p P X 90 1 ( 90

)

也是一个参数，它是 和 2的函数。

当总体的参数未知时，需利用样本资料对其 给出估计——参数估计。

两类参数估计方法：点估计和区间估计

点估计 直接用来估计未知参数 的统计量 ( x1 , ... , xn )

称为参数 的点估计量，简称点估计。 常见的点估计法：矩法和极大似然法。

(一)矩估计法替换原理： 以样本矩替换总体矩(原点矩或中心矩) 以样本矩的函数替换总体矩的函数 E( X ) x ( X ) s 2 1 ( x x )2 D n n i 1 i注：也可以用 s 2 估计 D( X )n

基本步骤(1)求总体前k阶矩关于k 个参数的函数

i E ( X i ) hi ( 1 , , k ),

i 1, , k

(2)求各参数关于k阶矩的反函数

i gi ( 1 , , k ),

i 1, , k

(3)以样本各阶矩A1 , ,

第5章 参数估计练习题

一．选择题

1.估计量的含义是指（ ）

A.用来估计总体参数的统计量的名称 B.用来估计总体参数的统计量的具体数值 C．总体参数的名称

D．总体参数的具体取值

2．一个95%的置信区间是指（ ） A.总体参数有95%的概率落在这一区间内 B.总体参数有5%的概率未落在这一区间内

C. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数。 D.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数。

3.95%的置信水平是指（ ）

A.总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是95%

B．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为95% C．总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是5%

D．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为5%

4.根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（ ） A．以95%的概率包含总体均值 B．有5%的可能性包含总体均值 C.一定包含总体均值

D．要么包含总体均值，要么不包含总体均值

5. 当样本量一定时，置信区间的宽度（ ）

A.随着置信水平的增大而减小

第六章

参数估计基础

中山大学医学统计与流行病学系张晋昕 2008.09.232013-11-21 1

第一节 抽样分布与抽样误差抽样研究的目的就是要用样本信息来推断相应总体 的特征，这一过程称为统计推断。 统计推断包括两方面的内容：参数估计和假设检验

抽样误差：样本统计量与总体参数之差；抽样误差也 表现为样本统计量之间的不同。

1.系统误差：由于受试对象、研究者、仪器设备、研 究方法、非实验因素影响等确定性原因造成，有一定

倾向性或规律性的误差。可以避免。2.随机误差：由于多种无法控制的偶然因素引起，对

同一样品多次测量数据的不一致。无倾向性，不可避免。

3.抽样误差：产生的根本原因是个体变异、产生的直接原因是抽样。

一、样本均数的抽样分布与抽样误差均数的抽样误差：由个体变异产生的、由于抽样而造成的样

本均数与样本均数及样本均数与总体均数之间的差异称为均数的抽样误差。

抽样实验：(a)

样本均数的分布特点：1. 各样本均数未必等于总体均数； 2. 样本均数之间存在差异；

3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体均数，中间多，两边少，左右基本对称，也 服从正态分布。

标准误的概念

用于表示均数抽样误差的指标叫样本

均数的标准差，根据其实际意义，常称作样本均数的标准误(st

参数估计习题

一、 填空题 1、设总体X若?2已知，总体均值?的置信度为1??的置信区间为：N(?,?2)，

????x??,x????，则?? ；

nn??2、设由来自正态总体XN(?,0.92)的样本容量为9的简单随机样本，得样本均

值x?5，则未知参数?的置信度0.95的置信区间为 ； 3、设X1,X2为来自总体XN(?,?2)的样本，若CX1?1X2为?的一个无偏1999估计，则C? ； 4、设X1,X2,,Xn为来自正态总体N(?,?2)的样本，a,b为常数，且0?a?b，

?n(Xi??)2n(Xi??)2?则随机区间??,??的长度L的数学期望

bai?1?i?1?为 ；

5、设??是未知参数?的估计量，若称??为?的无偏估计量，则

?)? ； E(??,??为总体未知参数?的两个无偏估计量，若称??比??更有效， 6、 设?1212?) D(??)； 则D(?11????，对?，且?7、设?为总体的未知参数，若由样本确定的两个统计量??1和?122??????}

参数估计基础

抽样研究的目的是用样本信息推断总体特征，即用样本资料计算的统计指标推断总体参数 常用的统计推断方法有参数估计（总体均数和总体概率的估计）和假设检验

内容复习

第6章 总体均数估计

抽样分布与抽样误差 ｔ分布 总体均数及总体概率的估计 案例讨论

掌握：均数和率抽样误差的概念；均数和率标准误的意义和计算；总体均数和总体率区间估计的意义、计算及其适用条件。

熟悉：总体均数的点估计；t 0.05,(ν)的概念，标准误和标准差的区别；置信区间与医学参考值范围的区别。 复习一些概念

参数(parameter)与统计量(statistics)

参数获取的途径对总体进行研究抽样研究 抽样误差（sampling error）

1.抽样误差的概念：由个体变异产生的，随机抽样引起的样本统计量与总体参数间的差异。 （抽样误差=总

体参数－样本统计量） 2.抽样误差产生的原因：

3.抽样误差的特点：随机，不可避免，有规律可循。

4.在大量重复抽样的情况下，可以展示其规律性

第一节 抽样分布与抽样误差 一、 均数的抽样分布与抽样误差 二、 频率的抽样分布与抽样误差

(一) 样本均数的抽样分布

1. 抽样模拟实验

假定总体：某