初三证明圆的切线专题

中考数学专题突破：证明圆的切线

方法一：等角代换（☆☆☆☆☆） 方法二：利用平行线的性质（☆☆） 方法三：证明三角形全等或相似（☆） 方法四：算出角度 方法五：勾股定理

方法一：等角代换（找到与90度相等的角）

【2017山东潍坊22】如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）求证：EF为半圆O的切线；

【解析】（1）证明：连接OD， ∵D为

的中点，∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO， ∴∠CAD=∠ADO， ∵DE⊥AC，∴∠E=90°，

∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°， ∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；

【2017山东德州20】如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC

为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；

【解析】（1）证明：

连接OE、EC，

∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°， ∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2， ∵OE=OC，∴∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB， ∵∠ACB=90°，∴∠OED=90

切线证明法

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30o．求证：DC是⊙O的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．

【例4】 如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？

A D A O B C D A O 图1 C B D C B O 图3 【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．

【例6】 如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．

【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交B

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第1页（共32页）

2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷

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一．解答题（共17小题）

1．（2014?辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=

，求BC和BF的长．

2．（2014?吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆

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2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷

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一．解答题（共17小题）

1．（2014?辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=

，求BC和BF的长．

2．（2014?吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆

切线的证法

1. 直线与圆只有唯一公共点，则直线是圆的切线

2. 圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线是圆的切线 3. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 一. 角平分线证相切：（作弦心距，利用勾股定理）

例：.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若

AC3AF

=,求的值。 AB5DF

练习2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F。 （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若sin∠ABC=

4

,CF=1,求⊙O的半径及EF的长。 5

3. 如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

F(2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长.

B

4.已知如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B、M两点的⊙O交BC

于点G，交AB于点F,FB恰为⊙O的直径. （1） 求证：AE与⊙O相切； （2）

2014.12.26圆的切线证明

1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.

（2011中考）2.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB为⊙O的切线；（2）若tan∠ABE=

3 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA与⊙O相切.

1

E4 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：DM与⊙O相切.

D

5 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线

CP

1,求sin∠E. 2OB

6 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线.

7 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.

求证：CE与△CFG的外接圆相切.

A8. （2006北京中考）已知：如图，△ABC

第1篇：证明切线的方法

证明切线的方法

证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进行分析。

（1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半

径，证垂直（比较常用）。

（2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂

直，证半径。

例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O

在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。DE是圆O的切线吗？

分析：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。

DE是切线。

证明：连接OD。

∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，

∴∠B＝∠C。

又∵OB＝OD，

∴∠B＝∠1。

∴∠1＝∠C。

而DE⊥AC，

∴∠C＋∠2＝90°。

∴∠1＋∠2＝90°。

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。

∴DE是圆O的切线。

AB

第2篇：证明圆的切线方法

证明圆的切线方法

我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延

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学习资料

切线的证明方法和归纳：

1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.

(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：

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学习资料无交点,作垂直,证半径.

如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。

求证：⊙O与AC相切。

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有交点，连半径,证垂直.

例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

学习资料

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已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线．

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相关题型

如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边交于点D，连接C

圆的切线判定复习说课稿

《圆的切线的判定复习》说课稿

尊敬的各位评委、老师们：大家好！

我现任教初三数学学科，非常荣幸也倍感珍惜能有样一个与大家交流、学习的机会。今天我说课的题目是：《圆的切线判定的复习》，本课内容选自人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册第24章《圆》，下面我从六个方面分别说明我对本这节课的教学设想． 一、教学背景分析： 1、考试说明的具体要求是： A B C 了解直线和圆的位 能判定直线和圆的位置关 能解决与置关系，了解切线的概系；会根据切线长的知识解决简切线有关的问直线和圆念，理解切线与过切点单的问题；能利用直线与圆的位题 的位置关的半径的关系；会过圆置关系解决简单的问题 系 上一点画圆的切线；了解切线长的概念 2、教学内容的分析与选择：

圆的切线判定是在学习了直线与圆的三种位置关系的基础上，进一步探究直线和圆相切的条件，并为探究切线长定理而做准备。切线题目中常常蕴含着转化、方程等数学思想，同时与圆的其它定义和性质、及解直线型问题紧密相关，为此本节课我重点选择了切线的判定证明题的复习。 3、学情分析：

（1）学生已有的知识经验：学生已经复习了解直线型问题，掌握了解直线型问题的方法，特别是复习了圆

2016中考数学圆的证明与计算 专题

1．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，AE为⊙O的切线，过点B作BD⊥AE于D． （1）求证：∠DBA=∠ABC；

1

（2）如果BD=1，tan∠BAD=，求⊙O的半径．

2

E

C

2．如图，AB是⊙O的直径．半径OD垂直弦AC于点E．F是BA延长线上一点， CDB BFD．

（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明； （2）若AB=10，AC=8，求DF的长．

3．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

4

（2）若sinC ，AC=6，求⊙O的直径．

5

C

4．如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥AB于点E，点D在OC的延长线上，且∠B=∠D=30°. （1）求证：AD是⊙O的切线；（2

）若AB 求⊙O的半径．

5．如图，⊙O是△ABC 的外接圆，AB= AC ，BD是⊙O的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，

连接AD． （1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若

BC=4 ，求AD的长．

6．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交⊙O于点G，在CD的延长线上取