高等数学定积分的应用

第六章 定积分的应用

习题 6-2 (A)

1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： (1)y?x2?6x?8,[0,3] (2)y?2x?x2,[0,3]

2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1.

图 6-1

3．求由下列各曲线围成的图形的面积： (1)y?ex,y?e?x与x?1;

(2)y?lnx与x?0,y?lna,y?lnb(b?a?0);

(3)y?2x?x2与y?x,y?0;

(4)y2?2x,y2??(x?1);

(5)y2?4(1?x)与y?2?x,y?0;

(6)y?x2与y?x,y?2x;

(7)y?2sinx,y?sin2x(0?x??);

8)y?x2(2,x2?y2?8（两部分都要计算）;

1

4．求由曲线y?lnx与直线y?0,x?e?1,x?e所围成的图形的面积。

5．求抛物线y??x2?4x?3及其在点(0,?3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。 6．求抛物线y2?2px及其在点(p2,p)处的法线所围成的图形的面积。 7．求曲线x?y?a与两坐标轴所围成的图形的面积。

8．求椭圆x2?y2a2b2?1所围图形的面积。

9．求由摆线x?a(t?si

高等数学(金路,童裕孙等编)(高等教育出版社)

p166

1.)µ{ 2= +2) : 1( 1, 1), 2(2,2), =

÷y¶© ∫È29. = 1[ ( 2 2)] =2

2.)µ Ô º: ( 2,5),= 2 4

=0? = 4 3, =3? = 10 +6

3ü : (2, 9)

¤¦¡È ∫∫32 =0[( 4 3) ( 4 3)] +3[( 10 +6) ( 2 4 3)] =9

43.)µ =∫1[2 ] +0∫22[2 ] =174.)µ

¤¦ 1 – Ü©¡È 4 "

31 – §¡È

= = 3 ( 3 )= 3 2 4 2

= , =0;

第五章 定积分

习题5.1

1.填空

n（1）lim?f??i??xi

??0i?1(2)介于x轴，函数f?x?的图像及两条直线x?a,x?b之间的各部分面积的代数和。 2．利用定积分的定义计算 （1）?xdx

01解：?f?x?在区间?0,1?上连续

?将?0,1?分成n等分，不妨设分点为xi??n,?i?1,2,3,?,n?

小区间?xi,xi?1?的长度为?xi?取?i?xi,?i?1,2,3,?,n? 则由定积分定义得

nniini1n,?i?1,2,3,?,n?

?f????xi?1???i?1??xi??i?1i11??2nnnn?i?11n?n?1? i?2?n2当???时n?? ??xdx?lim01n??0??i?xi?limi?1n1n?n?1?n2n??2?12

（2）

?10niiedx?limxn???f????xi?11?limn???i?12n?11?1?1?i?1nnnf???lim?e?e???e?en??n?nn????nn1????n?ne1??e??11?????1enen??lim??1?e?lim??1?e?lim11n??n??n??n???1?nnn?1?en?1?e?????n???

?e?

《高等应用数学实训教程》

第四章 定积分及其应用

一、学习要点

了解定积分的概念、几何意义及性质．

? 了解原函数存在定理，能够利用该定理求解变上限定积分的导数．

? 熟练掌握定积分的常用方法：牛顿—莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法． ? 掌握在直角坐标系下用定积分计算平面图形围成图形的面积的方法． ? 会计算绕坐标轴旋转生成的旋转体的体积，了解极坐标系中面积的求法． ? 了解无穷积分收敛的概念，能够判断和计算简单的无穷积分．

?

二、相关知识总结

1．定积分定义：定积分是一个数且与积分变量字母无关.

2．定积分的几何意义是：介于直线x?a和x?b之间，x轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和.

3．定积分的性质: （1）

??? b a[k1f(x)?k2g(x)]dx?k1 a? a b af(x)dx?k2? b ag(x)dx；

（2）

b af(x)dx??? bf(x)dx， ? af(x)dx?0；

（3）

b af(x)dx?? c af(x)dx? b? b cf(x)dx；

b（4）若f(x)≥g(x)，则

? af(x)dx≥? ag(x)dx；

（5）积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]至

习 题 五

习 题 五

1. 由定积分的几何意义计算下列定积分 （1）

2π 0 0

sinxdx；

（2

）

R π

x；

（3） 3xdx；

1（4） cosxdx.

π 0

2π

1. 解：由定积分的几何意义 （1） （2

）

2π 0 R R 0

sinxdx

sinxdx

sinxdx A ( A) 0

dx

32

R R

x

12

2 R

（3） 3xdx

1 π

（4） cosxdx

π2

cosxdx

π2

cosxdx A ( A) 0

2. 用定积分的定义，计算由曲线y x2 1与直线x 1,x 4及x轴所围成的曲边梯形的面积.

解：因为被积函数f(x) x2 1在[1，4]上是连续的，故可积，从而积分值与区间[1，4]的分割及点 i的取法无关. 为了便于计算，把区间[1，4]分成n等份，每个小区间的长度都等于

3n

，分点仍记为

1 x0 x1 x2 xn 1 xn 4

并取 i xi(i 1，2， ，n)，得积分和

n

n

n

n

i 1

f( i) xi

i 1

( i 1) xi

27n

3

n

2

i 12

(xi 1) xi 18n

2

n

2

((

i 1

3in

+1) 1)

2

3n

i

i 1

i 6

i 1

19n

3

2

n(n 1)(2n 1)

181n2

2

n(n 1) 6

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 62

第五章 定 积 分

§5—1 定积分概念

一、填空题

1． f(x)在[a,b]上可积的充分条件是 。

2． limn???k?1nk用定积分表示可表示成 。

??nn3． 由定积分的几何意义知4． 定积分

???sinxdx= ，?sinxdx= 。

???a?aa2?x2dx的几何意义是 。

二．判断题。

1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。 （ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。 （ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。 （ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 62

第五章 定 积 分

§5—1 定积分概念

一、填空题

1． f(x)在[a,b]上可积的充分条件是 。

2． limn???k?1nk用定积分表示可表示成 。

??nn3． 由定积分的几何意义知4． 定积分

???sinxdx= ，?sinxdx= 。

???a?aa2?x2dx的几何意义是 。

二．判断题。

1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。 （ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。 （ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。 （ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b

第五章 定积分及其应用

本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题.

第1节 定积分的概念与性质

1.1 定积分问题举例 1.1.1

曲边梯形的面积

曲边梯形? 设函数y?f(x)在区间?a,b?上非负、连续? 由直线x?a,x?b,y?0及曲线y?f(x)所围成的图形称为曲边梯形? 其中曲线弧y?f(x)称为曲边?

求曲边梯形的面积的近似值?

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形?每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积? 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值? 具体方法是? 在区间?a,b?中任意插入若干个分点（图5-1）

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b,

把?a,b?分成n个小区间

?x0,x1?,?x1,x2?, ?x2,x3?,?,?xn?1,xn?,

它们的长度依次为?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1.?

经过每一个分点作平行于y轴的直线段? 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形?在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i, 以?xi?1

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

一,基本内容对定积分的补充规定:(1)当a= b时,∫ f ( x )dx= 0;a b

(2)当 a> b时,∫ f ( x )dx=∫ f ( x )dx .a b

b

a

说明在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小.

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结束

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

性质1证

∫a[ f ( x )± g ( x )]dx=∫a f ( x )dx±∫a g ( x )dx .b

b

b

b

∫a[ f ( x )± g( x )]dx n= lim∑[ f (ξ i )± g (ξ i )]xiλ→0= lim∑ f (ξ i )xi± lim∑ g (ξ i )xiλ→ 0 i=1b i=1 n n

λ→ 0 i=1

=∫a f ( x )dx±∫a g ( x )dx .b

(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)首页上页返回下页结束

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

性质2证b

∫a kf ( x )dx= k∫a f ( x )

第四章 不定积分

一、不定积分的概念、性质与基本积分公式 内容提要

1、原函数与不定积分的定义 （1）原函数的定义

如果对任意x?I都有F?(x)?f(x)，或dF(x)?f(x)dx，则称函数F(x)是f(x)在区间I上的原函数。

任何一个在区间I上连续的函数都存在原函数。

若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则对任意常数C，F(x)?C也是f(x)在区间I上的一个原函数，并且f(x)在区间I上的任何原函数均可表示成F(x)?C的形式。 （2）不定积分的定义

设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)在I上的原函数的一般表达式

F(x)?C称为f(x)在区间I上的不定积分，记作?f(x)dx，即

?f(x)dx?F(x)?C

其中C为任意常数；f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；? 称为积分符号；x称为积分变量。

一个函数的不定积分不是一个数，也不单指某个具体的函数，而是一个函数族。 2、不定积分的性质

（1）(?f(x)dx)??f(x) 或 d?f(x)dx?f(x)dx。 （2）?F'(x)dx?F(x)?C 或

?dF(x)?F(x)?C。

（3）?kf(x)dx?k?f(x)dx（