结合函数方程的函数乐乐课堂

函数与函数方程竞赛讲座一

函数的迭代

(1)(2)1.定义: 设f?x?是定义在D上且取值在D上的函数，记f(x)?f(x)，f(x)?

(n)(n?1)(x)?f[f(1)(x)]，?，f(n)(x)?f??f?，则称f(x)是函数f(x)在D上的迭代，称n为f(n)(x)的迭代次数.

2.求n次迭代的方法: ①归纳法；②递推法；③桥函数相似法.

先看一个有趣的问题：李政道博士1979年4月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题：

五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说．夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了．第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了．第三、第四、第五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5份．问这堆桃子最少是多少个？

设桃子的总数为x个．第i只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为xi个，则

4xi?(xi?1?1)，i?1,2,3,4,5

544且x0?x．设f(x)?(x?1)?(x?4)?4．于是

554x1?f(x)?(x?4)?4

54x2?f(f(x))?()2

幂函数、函数与方程、方程与零点

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幂函数、函数与方程、方程与零点

教学设计方案XueDa PPTS Learning Center

定 义 域 值域 奇偶性 单调性 定点 归纳： 归纳：当 α > 0 是，幂函数 y = x α 图象过点 (1,1), ( 0 , 0 ) ,且在第一象限随 x 的增大而上升,函 数在区间 [0,+∞ ) 上是单调增函数 y = x 1 y = x 2 y = x 3-

y= x

1 2

y= x

-

1 3

图 象 定 义 域 值域 奇偶 性 单 调 性 定点 归纳： 归纳： α < 0 时幂函数 y = x α 的图象过点 (1,1) ,且在第一象限随 x 的增大而下降，函数在

区间 (0,+∞) 上是单调减函数，且向右无限接近 X 轴，向上无限接近 Y 轴。 汇总：幂函数性质归纳. 汇总：幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都过点(1,1) )所有的幂函数在( , ∞ 都有定义，并且图象都过点( , ) ; 幂函数的图象通过原点， 上是增函数. (2) α > 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 [0,+∞) 上是增函数. ) 特别地， 幂函数的图象下凸；

对数函数、函数与方程复习教案

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对数函数、函数与方程复习教案

中小学 1 对 1 课外辅导专家

a>1 图 像

0<a<1

(1)定义域： 性 (2)过定点： (3)奇偶性： 质 (4)单调性： (5)当 x>0 时，y>1;当 x<0 时，0<y<1 练习：1 求下列函数的定义域。 (1)y=log5(1-x)

值域:

(4)单调性： (5)

(2)y=log7

1 1 3x

(3)y= log0.5 (4x 3)

(4)y= log 2 (1 3 x )

(5)y=logx+1(16-4x)

(6) y=

x2 4 lg( x 2 2 x 3)

对数函数、函数与方程复习教案

中小学 1 对 1 课外辅导专家

2、比较下列各值的大小 (1)log1.51.6,log1.51.4 (3) log0.30.7 和 log2.12.9 (2) log1.12.3 和 log1.22.2 (4) log1 2.7和 log1 2.82 2

3、已知集合 A={2 x },定义在集合 A 上的函数 y=logax 的最大值比最小值大 1,求 a 值

1 4、求 y (log 1

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第三节 函数、方程及其应用 第一部分 六年高考荟萃

2010年高考题

一、选择题

1.（2010上海文）17.若x0是方程式 lgx?x?2的解，则x0属于区间 （ ） （A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2） 答案 D

【解析】构造函数f(x)?lgx?x?2,由f(1.75)?f()?lg4774?14?0

f(2)?lg2?0知x0属于区间（1.75，2）

2.（2010湖南文）3. 某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是

A. y??10x?200 B. y?10x?200 C. y??10x?200 D. y?10x?200 答案 A

3.（2010陕西文）10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数．．6．

^^^^x之间的函数关系用

等式、方程与函数的关系

一．教学目标

1.知识与技能目标：通过让学生对等式、方程、函数知识点的认识，使学生了解三者之间的联系。

2.过程与方法目标：通过学生的动手操作和实践，教师引导的过程中，等式、方程、函数三者之间的意义。

3.情感态度与价值观目标：培养学生热爱数学，用数学的知识解决实际生活中的问题，养成善于观察的好习惯。 二．教学重难点

重点：弄清等式、方程、函数三者之间的关系。

难点：能够运用等式、方程、函数的知识解决实际生活的问题。 三．教学过程

同学们，在前面我们学习过两个数相乘，比如：5×6=30 这样的式子是简单的乘法口算。如果我把其中的一个因数6换成一个用字母Χ来表示 即：5Χ=30 要求这个因数Χ字母计算呢？或者我把其中的30用Y来代替 即Y=5Χ 再假设在后面加上1，就变成了Y=5Χ+1, 那么这是一个什么代数式呢，应该用什么样的数学语言来表达呢？那么今天我们就来一起学习等式、方程、函数三者之间的关系。 1.等式

6+6+6+6+6=30(5个6相加) 5×6=30 因数×因数=积 2.方程（一元一次方程）

定义：含有未知数的等式叫做方程

例如 5Χ=30 （乘号省略，数

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第 三章

§3.4 隐函数和参数方程求导3. 4. 1 隐函数的导数 3. 4. 2 由参数方程确定的函数的导数 3. 4. 3 相关变化率问题 3. 4. 4 高阶导数机动 目录 上页 下页 返回 结束

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3. 4.1隐函数的微分法1.隐函数的概念

F x, y x 0, x I 成立, 则称 F x, y 0 确定了区间 I 里的一个隐函数 ；称形如 y f x 表示的函数为显函数 。若从方程 F x, y 0 中能求解出函数： y y x 或 x x y 则称该隐函数可以被显化。3 y 1 x ; 就确定了一个显函数 方程 x y 1 0 例如：

设方程 F x, y 0, 若存在函数 y y x , x I 使得

3

但要提请注意的是：并非隐函数均可被显化。 再如：5 7 方程. y 2 y x 3x 0 也确定 y 是 x 的函数 ，

但此隐函数不能被显化 。机动 目录 上页 下页 返回 结束

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2. 隐函数的求导法则 设方程 F x,

中南大学,高等数学,微积分,课件

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一、隐函数的导数定义:由方程所确定的函数 y y( x )称为隐函数 .y f ( x ) 形式称为显函数F ( x, y) 0 y f (x)

.

隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

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例1 求由方程y 的导数

xy e ex

y

0 所确定的隐函数

dy dx

,

dy dxx 0

.

解

方程两边对

x 求导 ,x

y x

dy dx

ee

e yy

y

dy dx

0

解得 dy dx

dy dx

x

x eex

,

由原方程知

x 0, y 0,

x 0

yy x 0 y 0

x e

1.

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例2 设曲线 C 的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过 C 上3 3 点 ( , )的切线方程 2 2 线通过原点 .x 求导 ,3 x 3 y y 3 y 3 xy 2 2

, 并证明曲线

C 在该点的法

解

方程两边对

y

3 3 ( , ) 2 2

y x2

2

y x

(

3 3 , ) 2 2

1.

所求切线方程为 y 法线

求解微分方程可求出系统的输出响应，但如果方程阶次较高，则计算非常繁琐，因此对系统的设计分析不便，所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算，可使问题分析大大简化。

一、传递函数的概念及意义

（1）传递函数的定义：

线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。

线性定常系统微分方程的一般表达式:

其中x c为系统输出量，x r为系统输入量

在初始情况为零时，两端取拉氏变换：

移项后得：

上式中Xc(s)输出量的拉氏变换；Xr(s)输入量的拉氏变换；W(s) 为系统或环节的传递系数。

（2）传递函数的两种表达形式

a.传递函数的零极点表示形式

b.传递函数的时间常数表示形式

（3）关于传递函数的几点说明

a.传递函数的概念只适应于线性定常系统。

b.传递函数只与系统本身的特性参数有关，而与输入量变化无关。

c.传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。

d.传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式的阶次。

二、典型环节的传递函数及其暂态特性

无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。

利用函数性质判定方程解的存在 学案

班级_______ 姓名________ 教师评价_______ 审核人_________

学习目标：1.理解函数的零点与方程根的关系. 2.会判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 3会判定方程在给定区间上解的个数.

学习重点：了解函数与方程之间的内在联系

学习难点：掌握函数零点的判定定理，会判定方程解的个数 学习方法：1.阅读本节内容时，同学们注意你是否有＂问题－作图－观察－猜想－讨论－归纳＂的探究过程． 2. 认真体会＂连续曲线＂的涵义．

3. 阅读本节内容时，同学们要认真体会数形结合的数学思想方法. 学习过程：预习指导：自主学习 1.阅读课本P115?116页

2.回答问题： 3.完成课本P116页练习

（1）如何判断函数零点的存在性？ （2）怎样求函数的零点？ 思考引导:

问题1. 如何判定一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图像与X轴交点的个数，它们之间有什么关系? 问题2.函数的零点是什么？

问题3.如何判断函数零点的存在性？ 完成教材例2、例3；

变式练习：1.若函数y?f(x)在区间?a,b?

2012高考真题分类汇编：函数与方程

一、选择题

1.【2012高考真题重庆理7】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的

（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件 （C）必要而不充分的条件 （D）充要条件

【答案】D

【解析】因为f(x)为偶函数，所以当f(x)在[0,1]上是增函数，则f(x)在[?1,0]上则为减函数，又函数f(x)的周期是4，所以在区间[3,4]也为减函数.若f(x)在区间[3,4]为减函数，根据函数的周期可知f(x)在[?1,0]上则为减函数，又函数f(x)为偶函数，根据对称性可知，f(x)在[0,1]上是增函数，综上可知，“f(x)在[0,1]上是增函数”是“f(x)为区间[3,4]上的减函数”成立的充要条件，选D.

2.【2012高考真题北京理8】某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为（ ）

A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】C

【解析】由图可知