高考数学抛物线常用结论

与抛物线有结论

抛物线中有一些常见、常?y?k(x?p?)用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题2??y2?2px?时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

p2结论一：若AB是抛物线y?2px(p?0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：x1x2?，

42y1y2??p2。

证明：因为焦点坐标为F(

22pp,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： y?k(x?)， 222y12y22p4p2由得: ky?2py?kp?0 ∴y1y2??p，x1x2?。 ???2p2p4p24当AB⊥x轴时，直线AB方程为x?p2x1x2?。

4p，则y1?p，y2??p，∴y1y2??p2，同上也有：2例：已知直线AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F，求证：

11?AFBF为定值。

pp，BF?x2?，又22证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的定义知：AF?x1?p2。 AF+BF=AB，所以x1+x2=AB-p，且由结论一知：x1x2?4则：1?1?AF?BF?AFBFAF?BFABABAB2 =?（常数） ?222ppppp

[很全]抛物线焦点弦的有关结论

知识点1：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则

p2（1）x1x2?；（2）y1y2??p2

4证明：如图，

（1）若AB的斜率不存在时，

p2p依题意x1?x2?,?x1x2?

24A y x o B F p??若AB的斜率存在时，设为k,则AB:y?k?x??，与y2?2px联立，得

2??p?k2p22?222k?x???2px?kx?k?2px??0

24??2??p2p2?x1x2?. 综上：x1x2?.

44yy（2）?x1?1,x2?2，?y12y22?p4?y1y2??p2,

2p2p但y1y2?0,?y1y2??p2 （2）另证：设AB:x?my?p与y2?2px联立，得y2?2pmy?p2?0,?y1y2??p2 222知识点2：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则（1）AB?x1?x2?p;（2）设直线AB的倾斜角为?，则AB?证明：（1）由抛物线的定义知

ppAF?x1?,BF?x2?,

222p。 sin2?A y ?AB?AF?BF?x1?x2?p （2）若??900

[很全]抛物线焦点弦的有关结论

知识点1：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则

p2（1）x1x2?；（2）y1y2??p2

4证明：如图，

（1）若AB的斜率不存在时，

p2p依题意x1?x2?,?x1x2?

24A y x o B F p??若AB的斜率存在时，设为k,则AB:y?k?x??，与y2?2px联立，得

2??p?k2p22?222k?x???2px?kx?k?2px??0

24??2??p2p2?x1x2?. 综上：x1x2?.

44yy（2）?x1?1,x2?2，?y12y22?p4?y1y2??p2,

2p2p但y1y2?0,?y1y2??p2 （2）另证：设AB:x?my?p与y2?2px联立，得y2?2pmy?p2?0,?y1y2??p2 222知识点2：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则（1）AB?x1?x2?p;（2）设直线AB的倾斜角为?，则AB?证明：（1）由抛物线的定义知

ppAF?x1?,BF?x2?,

222p。 sin2?A y ?AB?AF?BF?x1?x2?p （2）若??900

抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一：若AB是抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：

p2

x1x2 ，y1y2 p2。

4

例：已知直线AB是过抛物线

y2 2px(p 0)焦点F，求证：

11为定值。 AFBF

结论二：（1）若AB是抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则

AB

2P（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）

2sin

最短。

例：已知过抛物线

y2 9x的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为 。AB倾斜角为

2 或。 33

结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

例：已知AB是抛物线相切。

(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB

（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线y2 2px(p 0)的过焦点F的弦，求证：

结论四：若抛物线方程为y2 2px(p 0)，过（2p，0）的直线与之交于A

1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：

①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK?p

③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：OF?OK?p。 2M2PC⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、

N准线是公切线。

KoF⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样

M1Q的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。

3抛物线标准方程的四种形式：

y2?2px，y2??2px，x2?2py，x2??2py。4抛物线y2?2px的图像和性质：

yM2?p?①焦点坐标是：?，0?，

?2?②准线方程是：x??Pp。 2KM1oFQx③焦半径公式：若点P(x0,y0)是抛物线y2?2px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：PF?x0?p， 2pp?x2??x1?x2?p 222④焦点弦长公式：过焦点弦长PQ?x1?2y22

江夏一中2013届文科数学一轮复习专题讲座

抛物线焦点弦问题

抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一.弦长问题：

2

例1 斜率为1的直线经过抛物线y 4x的焦点，与抛物线相交AB两点，求线段AB的长。

二.通径最短问题：

2

例2：已知抛物线的标准方程为y 2px，直线l过焦点，和抛物线交与A.B两点，求AB的最小值并

求直线方程。

三．两个定值问题：

2

例3：过抛物线y 2px的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为x1、x2、y1、y2，

p22

求证：x1y1 ，y1y2 p。

4

四．一个特殊直角问题：

2

例4：过抛物线y 2px(P 0)的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点，若点A、B在抛物线的准

线上的射影分别是A1，B1求证： A1FB1 90。

五．线段AB为定长中点到y轴的最小距离问题

2

例5：定长为3的线段AB的两端点在抛物线y x上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y 轴

的最小距离。

六．一条特殊的平行线

例6：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。

七．一个特殊圆

例7：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

八．

附录 高考数学常用结论

1.德摩根公式 CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB. 2.A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA?A?CUB?? ?CUA?B?R

3.card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)

card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)

?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).

4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0);

2② 顶点式 f(x;?)a(?x?)h(?k③a0零)点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0).

5.设x1?x2??a,b?,x1?x2那么

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)x1?x2f(x1)?f(x2)x1?x2?0?f(x)在?a,b?上是增函

数；

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0??0?f(x)在?a,b?上是减函

数.

设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.

6.函数y?f(x)的图象的对称性:①函

篇一：抛物线定义及标准方程

一、 复习预习

复习双曲线的基本性质，标准方程以及方程的求法、应用

二、知识讲解

(一)导出课题

我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．

请大家思考两个问题：

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．

引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．

(二)抛物线的定义

1．回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用

高考抛物线专题做题技巧与方法总结

知识点梳理：

1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (p?0)： 标准方程 图形 y2?2px ▲y2??2px ▲x2?2py ▲x2??2py ▲yyyyxOxOxOxO 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率

2.抛物线的焦半径、焦点弦

F(p,0) 2p 2 F(?p 2 F(0,p) 2 F(0,?p 2p,0) 2p) 2x??x?y??p 2y?x?0,y?R x?0,y?R x?R,y?0 x?R,y?0 x轴 y轴 （0，0） e?1 ①y2?2px(p?0)的焦半径PF?x?P;x2?2py(p?0)的焦半径PF?y?P；

22② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.

p2③ AB为抛物线y?2px的焦点弦，则xAxB? ，yAyB??p2，

42|AB|=xA?xB?p

?x?2pt2?x?2pt3. y?2px的参数方程为?（t为参数），x2?2py的参数方程为?（t2y?2pty?2pt??2为参数）. 重难点突破

重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能

通过方程研究抛物线的几

第二章 圆锥曲线与方程

2.4.1 抛物线及其标准方程

生活中存在着各种形式的抛物线

我们对抛物线已有了哪些认识？

二次函数是开口向上或向下的抛物线。y

o

x

问题探究： 当|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么？

探 究 ？

H

M

·

C

·F

l

e=1

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是 曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

抛物线的定义:在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,H

d M

·

C焦 点

·F

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

e=1

d 为 M 到 l 的距离

想一想

如果点F在直线l上，满足条件的点的 轨迹是抛物线吗？

注：若F L,则满足到定点F和定直线L的距离相等的点的 轨迹是过点F且垂直于直线L的一条直线.

1.抛物线的定义 距离相等的 平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)_________ 焦点 ，直线l叫做 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_____ 准线 . 抛物线的_____ 试一试：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”,点的 轨迹还