九年级数学抛物线解题技巧

九年级数学《结识抛物线》导学案

班级：_______ 姓名:_________组名_________审核人________

【学习目标】1．能够利用描点法作出函数y＝x2的图象．并理解二次函数y＝x2的性质．

2．猜想并能作出y＝－x2的图象，能比较它与y?x2的图象的异同．

【重难点预测】理解二次函数y?x2与y??x2的图象与性质。 【知识链接】1.什么叫做二次函数？

2.一次函数的图象是什么？正比例函数呢？反比例函数呢？

预习自学

【学法指导】请同学们认真阅读课本41-43页的文本，认真完成导学案中的问题，用红笔做好疑难标记。

合作探究

【学法指导】在课堂上根据自己独学的情况，小组合作、讨论交流导学案内容；数学学科长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。 1.作二次函数y?x2的图象。

（1）．在课本P41完成列表。（温馨提示：注意自变量x的取值）

（2）．在图2-1中描点、连线，作出函数y?x2的图象。（温馨提示：要用光滑的曲线连接） 2.认真观察二次函数y?x2的图象，完成下面二次函数y?x2的性质填空。 (1).二次函数y?x2的图象是一条 ，它的开口向 。 (2).图象与x轴有 个交点，

专题十六 椭圆、双曲线、抛物线

xy

1．已知双曲线－2＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到

4b其渐近线的距离等于( )．

A.5 B．4 2 C．3 D．5

x2y2

答案： A [易求得抛物线y＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－2＝1的右焦点为(3,0)，

4b

2

2

2

即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，

5

∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为

25.]

2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4 3，则C的实轴长为( )．

A.2 B．2 2 C．4 D．8

答案：C [抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2 3)在等轴双曲线C；x2－y2＝a2(a＞0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.]

x2y23

3．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C

ab2有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )．

x2y2

A.＋＝1 82x2y2

C.＋＝1 164

x2y2

江夏区第一初级中学教学资料

抛物线与存在性-1

一、解答题（共30小题）

1、已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．

（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；

（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点． ①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围； ②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由． 2、（2000?甘肃）已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M，N两点（点N在点M的右

2侧），并且M和N两点的横坐标分别是方程x﹣2x﹣3=0的两根，点K是抛物线与y轴的交点，∠MKN不小于90度．

（1）求点M和N的坐标； （2）求系数a的取值范围；

（3）当y取得最大值时，抛物线上是否存在点P，使得有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

？若存在，请求出所

3、（2000?内江）如图，在直角坐标系xoy中，以原点为圆心的

江夏区第一初级中学教学资料

抛物线与存在性-1

一、解答题（共30小题）

1、已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．

（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；

（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点． ①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围； ②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由． 2、（2000?甘肃）已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M，N两点（点N在点M的右

2侧），并且M和N两点的横坐标分别是方程x﹣2x﹣3=0的两根，点K是抛物线与y轴的交点，∠MKN不小于90度．

（1）求点M和N的坐标； （2）求系数a的取值范围；

（3）当y取得最大值时，抛物线上是否存在点P，使得有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

？若存在，请求出所

3、（2000?内江）如图，在直角坐标系xoy中，以原点为圆心的

七年级数学核心题目解题技巧精选

有理数及其运算篇

有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方.

1111???......?【核心例题】例1计算： 1?22?33?42006?2007

11111111（?）?（?）?（?）?......?(?) 解 原式=

122334200620071111111? =1??????......?

223342006200712006 =1?=

20072007例2 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点

ABC分别为A、B、C(如右图).化简a?a?b?c?b. aObc 在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数

减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0.

解 由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0

1??1??1???1??1?ghghhh例3 计算：?1?1?1??...???????1???1??

?100??99??98??3??2? 解 原式=

999897211???......??= 100999832100 例4 计算：2-22-23-24-……-218-219+220.

分析 “相互抵消”可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2

1. 配方法

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2. 因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3. 换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4. 判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2 bx c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函

高考抛物线专题做题技巧与方法总结

知识点梳理：

1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (p?0)： 标准方程 图形 y2?2px ▲y2??2px ▲x2?2py ▲x2??2py ▲yyyyxOxOxOxO 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率

2.抛物线的焦半径、焦点弦

F(p,0) 2p 2 F(?p 2 F(0,p) 2 F(0,?p 2p,0) 2p) 2x??x?y??p 2y?x?0,y?R x?0,y?R x?R,y?0 x?R,y?0 x轴 y轴 （0，0） e?1 ①y2?2px(p?0)的焦半径PF?x?P;x2?2py(p?0)的焦半径PF?y?P；

22② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.

p2③ AB为抛物线y?2px的焦点弦，则xAxB? ，yAyB??p2，

42|AB|=xA?xB?p

?x?2pt2?x?2pt3. y?2px的参数方程为?（t为参数），x2?2py的参数方程为?（t2y?2pty?2pt??2为参数）. 重难点突破

重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能

通过方程研究抛物线的几

2014年高考抛物线专题做题技巧与方法总结

知识点梳理：

1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (p?0)： 标准方程 图形 y2?2px ▲y2??2px ▲x2?2py ▲x2??2py ▲yyyyxOxOxOxO 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率

2.抛物线的焦半径、焦点弦

F(p,0) 2p 2 F(?p,0) 2F(0,p) 2 F(0,?p 2 p) 2x??x?p 2y??p 2y?x?0,y?R x?0,y?R x?R,y?0 x?R,y?0 x轴 y轴 （0，0） e?1 ①y2?2px(p?0)的焦半径PF?x?P;x2?2py(p?0)的焦半径PF?y?P；

22② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. ③ AB为抛物线y2p2 ，yAyB??p2，?2px的焦点弦，则xAxB? 4|AB|=xA?xB?p

?x?2pt2?x?2pt3. y?2px的参数方程为?（t为参数），x2?2py的参数方程为?（t2y?2pty?2pt??2为参数）. 重难点突破

重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能

通过方程研究

1. 配方法

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2. 因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3. 换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4. 判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2 bx c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函

江夏一中2013届文科数学一轮复习专题讲座

抛物线焦点弦问题

抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一.弦长问题：

2

例1 斜率为1的直线经过抛物线y 4x的焦点，与抛物线相交AB两点，求线段AB的长。

二.通径最短问题：

2

例2：已知抛物线的标准方程为y 2px，直线l过焦点，和抛物线交与A.B两点，求AB的最小值并

求直线方程。

三．两个定值问题：

2

例3：过抛物线y 2px的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为x1、x2、y1、y2，

p22

求证：x1y1 ，y1y2 p。

4

四．一个特殊直角问题：

2

例4：过抛物线y 2px(P 0)的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点，若点A、B在抛物线的准

线上的射影分别是A1，B1求证： A1FB1 90。

五．线段AB为定长中点到y轴的最小距离问题

2

例5：定长为3的线段AB的两端点在抛物线y x上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y 轴

的最小距离。

六．一条特殊的平行线

例6：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。

七．一个特殊圆

例7：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

八．