二次函数与几何综合题

二次函数综合

二次函数

一、选择题

1、（2007天津市）已知二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象如图所示，有下列5个结论：① abc 0；② b a c；③ 4a 2b c 0；④ ⑤ a b m(am b)，（m 1的实数）其中正确的结论有（ ）2c 3b；B

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

2、（2007南充）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）．B （A）②④ （B）①④ （C）②③ （D）①③ 3、（2007广州市）二次函数y x 2x 1与x轴的交点个数是（ ）B A．0 B．1 C．2 D．3 4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数y ax b和二次函数

y ax bx

2

2

的图象可能为（ ）A

A

5、（2007四川资阳）已知二次函数y ax2 bx c(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，

2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )D

A. 当x>0时，函数值y

二次函数综合

二次函数

一、选择题

1、（2007天津市）已知二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象如图所示，有下列5个结论：① abc 0；② b a c；③ 4a 2b c 0；④ ⑤ a b m(am b)，（m 1的实数）其中正确的结论有（ ）2c 3b；B

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

2、（2007南充）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）．B （A）②④ （B）①④ （C）②③ （D）①③ 3、（2007广州市）二次函数y x 2x 1与x轴的交点个数是（ ）B A．0 B．1 C．2 D．3 4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数y ax b和二次函数

y ax bx

2

2

的图象可能为（ ）A

A

5、（2007四川资阳）已知二次函数y ax2 bx c(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，

2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )D

A. 当x>0时，函数值y

二次函数与圆的综合题

1．已知：如图，抛物线y??323x?x?3的图象与x轴分别交于AB，两点，与y33轴交于C点，⊙M经过原点O及点A，C，点D是劣弧OA上一动点（D点与AO，不重合）．

（1）求抛物线的顶点E的坐标； （2）求⊙M的面积；

（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使2FG?，试探究当点D运动到何处时，直线 GA与⊙M相切，并请说明理由．

2.如图，已知二次函数y?mx?(m?3)x?3(m＞0) (1) 求证：它的图象与x轴必有两个不同的交点,

(2) 这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1?x2)，与y轴交于点C，且AB=4，

2

⊙M过A，B，C三点，求扇形MAC的面积S。

(3) 在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，PD⊥x轴于D,使△PBD被直线BC分成面积比为1：2的两部分?若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

3.抛物线y?ax2?bx?c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x?1 B(3,0),C(0,3)

（1）求二次函数y?ax2?bx?c的解析式；

专题四 二次函数之面积、周长最值问题

1、如图，抛物线y=?12x?bx?c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3． 2(1)求抛物线的解析式．

(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

2、如图，已知抛物线y=－x+bx+c与一直线相交于A（－1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M在对称轴上一点，求使MN+MD的值最小时的M的坐标；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

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2

2

3、（2013?自贡）如图，已知抛物线y=ax+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；

4、（2014?德州，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并

二次函数之面积、周长最值问题

1、如图，抛物线y=

12

x bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3． 2

(1)求抛物线的解析式．

(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

2、如图，已知抛物线y=－x+bx+c与一直线相交于A（－1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M在对称轴上一点，求使MN+MD的值最小时的M的坐标；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

2

3、（2013 自贡）如图，已知抛物线y=ax+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；

2

4、（2014 德州，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上． （1）求抛物线的解

二次函数与圆的综合题

1．已知：如图，抛物线y??3223x?x?3的图象与x轴分别交于A，B两点，与y33?上一动点（D点与A，O不重轴交于C点，⊙M经过原点O及点A，C，点D是劣弧OA合）．

（1）求抛物线的顶点E的坐标； （2）求⊙M的面积；

（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG?2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由．

2.如图，已知二次函数y?mx?(m?3)x?3 (m＞0) (1) 求证：它的图象与x轴必有两个不同的交点,

(2) 这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A，B，C三点，求扇形MAC的面积S。

(3) 在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，PD⊥x轴于D,使△PBD被直线BC分成面

积比为1：2的两部分?若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 Y O A

M C

2y E C M F A G O B x

D B X 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y?ax2?bx?c与y轴交于点

第一部分：一次函数

考点归纳：

一次函数：若y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数，特别的，当b=0时，

一次函数就成为y=kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b，这时，y叫做常函数。 ☆A与B成正比例?A=kB(k≠0)

直线位置与k，b的关系：

（1）k＞0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为锐角； （2）k＜0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为钝角； （3）b＞0直线与y轴交点在x轴的上方； （4）b＝0直线过原点；

（5）b＜0直线与y轴交点在x轴的下方；

平移

1x向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。 332， 直线y??x?1向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________ 41，直线y?方法：直线y=kx+b，平移不改变斜率k，则将平移后的点代入解析式求出b即可。

直线y=kx+b向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。

练习：直线m:y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）

在直线n上，则a=________

一次函数、反比例函数、二次函数的综合题

1．抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________．

2．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过（2，-5），请你写出一个同时满足（1）和（2）的

函数_________________

3．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的

长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则

菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关

系式为 ．（不要求写出自变量x 的取值范围）

4．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数

5．函数2y kx =-与k y x =

（k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）

1．点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2的图像上.则有 .

2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ；

与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值

3. 求一次函数(

一次函数几何综合题

1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半

2

轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）． （1）求点D的坐标．

（2）求直线BC的解析式．

（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】 【解析】 试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可； （2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．

2

试题解析：（1）x﹣7x+12=0， 解得x1=3，x2=4， ∵OA＞OB， ∴OA=4，OB=3，

过D作DE⊥

北京中考数学---几何、二次函数综合题压轴题解析汇总

本文主要解析内容摘自菁优网6d59cd27192e45361066f581，并订正了部分错误。

25、（2007?北京）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，

若∠A=60°，∠DCB=∠

EBC=∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形

是等对边四边形；

（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且

∠DCB=∠

EBC=∠A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．

考点：等腰梯形的性质。

专题：压轴题。

分析：（1）本题理解等对边四边形的图形的定义，平行四边形，等腰梯形就是．

（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形；

（3）作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．易证△BCF≌△CBG，进而证明△BDF≌△CEG，所以BD=CE．所以四边形DBCE是等边四边形．

解答：解：（1）