数值方法和解析方法

《数值计算方法》

邹昌文编

2009年10月

上机实验指导书

“数值计算方法”上机实验指导书

实验一 误差分析

实验1.1（病态问题）

实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。

数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。

问题提出：考虑一个高次的代数多项式

p(x) (x 1)(x 2) (x 20) (x k)

k 120

(1.1)

显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动

p(x) x19 0

(1.2)

其中 是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中x19的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。

实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个MATLAB函数：“roots”和“poly”。

u roots(a)

其中若变量a存储n+1维的向量，则该函数的输出u为

油藏数值模拟方法流程（新手上路）

油藏数值模拟

实用方法文字

前言：

油藏数值模拟是随着计算机的发展，而在石油行业中逐步成为一门成熟的技术。追溯油藏数值模拟的发展史，从30年代开始研究渗流力学到50年代在石油工业方面得以应用，到70年代进入商品化阶段，而80年代油藏数值模拟又向完善、配套、大型多功能一体化综合性软件飞跃发展。近十年油藏数值模拟已成为油田开发研究，解决油田开发决策问题的有力工具。在衡量油田开发好坏、预测投资、对比油田开发方案、评价提高采收率方法等方面应用都极为广泛。 油藏数值模拟就是应用数学模型再现实际油田生产动态。具体通过渗流力学方程借用大型计算机，结合地震、地质、测井、油藏工程学等方法在建立的三维地层属性参数场中，对数学方程进行求解，实现再现油田生产历史，解决油田实际问题。

油藏数值模拟是一门综合性很强的科学技术，涉及油田地质、油层物理、油藏工程、采油工程、测井、数学、计算机及系统等学科。而油藏数值模拟工作又以其繁重的前期准备和上机历史拟合运算工作让人望而生畏。

那么如何做好前期资料准备工作和尽快掌握模拟技巧？使得今后的油藏数值模拟工作在作业区顺利开展，便是出此书的目的所在。

本书结合以往工作中

2.1 数值数据的表示方法

2.1.1 数据格式

计算机中数据的小数点并不是用某个二进制数字来表示的，而是用隐含的小数点的位置来表示。根据小数点的位置是否固定，将计算机中的数据表示格式分为两种，即定点格式和浮点格式。一般来说，定点格式所表示的数的范围有限，但运算复杂度和相应的处理硬件都比较简单，而浮点格式所表示的数的范围很大，但运算复杂度和相应的处理硬件都比较复杂。

1. 定点数的表示方法

定点格式----是指在数据表示时，约定机器中所有数据的小数点的位置是固定不变的。

我们把用定点格式表示的数称为定点数。在计算机中，通常将定点数表示成纯小数或纯整数。

对于任意一个n+1位的定点数x，在定点机中可表示成如下格式：

如果数x表示的是纯小数，那么小数点在x0和x1之间，即数符和尾数之间。如果数x表示的是纯整数，那么小数点在x n后面，即数据的最后。定点纯小数和定点纯整数的表示范围与数的机器码表示有关，在后面介绍各种数的机器码表示时，再详细讨论。

2. 浮点数的表示方法

浮点格式----是指在数据表示时，将浮点数的范围和精度分别表示，相当于小数点的位置随比例因子的不同而在一定的范围内可自由浮动。我们把用浮点格式表示的数称为浮点数。

对于一个任意进制数N，均可表示成N=

数值计算方法试题一

一、填空题（每空1分，共17分）

31、如果用二分法求方程x?x?4?0在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

2x?x??(x?2)局部收敛的充分条件是?取值在（ ）k?1kk2、迭代格式。 ?x30?x?1?S(x)??1(x?1)3?a(x?1)2?b(x?1)?c1?x?3??23、已知是三次样条函数，则

a=( )，b=（ ），c=（ ）。

4、l0(x),l1(x),?,ln(x)是以整数点x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基函数，则

?lk?0nk(x)?( )，k?0?xlnkj(xk)?( )，当n?2时k?0?(xn4k2?xk?3)lk(x)?( )。

7425、设f(x)?6x?2x?3x?1和节点xk?k/2,k?0,1,2,?,则f[x0,x1,?,xn]? 7?和f0? 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

????(x)k?0是区间[0,1]上权函数?(x)?x的最高项系数为7、k1的正交多项

数值计算方法思考题

第一章 预篇

1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。

4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？

5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：

（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 （2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。 （3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。 （4）高精度运算可以改善问题的病态性。

（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。

（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题

ax2 + bx + c = 0.

下面的公式是熟知的

?b?b2?4acx?.

2a

与之等价地有

x?

对于

2c?b?b?4ac2.

a = 1, b = -100 000 000 , c

数值计算方法 黄云清编

数值计算方法

Project II solutions:

1.Give the formula of the following methods: Langerange Interpolation、Piecewise Linear Langerange Interpolation and Cubic Spline Interpolation

(1)Langerange Interpolation formula：

Ln(x) yili(x),

i 0n

li(x) (x x0)...(x xi 1)(x xi)...(x xn),i 0,1,...,n(xi x0)...(xi xi 1)(xi xi 1)...(xi xn)

其中基函数满足：

1,i j li(xj) 0,i j,i,j 0,1,...n

Piecewise Linear Langerange Interpolation formula： In yjlj(x),

j 0n

x xj 1,xj 1 x xj x xj 1 j x xj 1lj(x) ,xj x xj 1 xj x 0,x

Cubic Spline Interpolation：

S(x

数值计算方法思考题

第一章 预篇

1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。

4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？

5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：

（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 （2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。 （3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。 （4）高精度运算可以改善问题的病态性。

（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。

（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题

ax2 + bx + c = 0.

下面的公式是熟知的

?b?b2?4acx?.

2a

与之等价地有

x?

对于

2c?b?b?4ac2.

a = 1, b = -100 000 000 , c

学科分类号 110.3420

本 科 毕 业 论 文

题 目 几种常用数值积分方法的比较 姓 名 潘晓祥 学 号 1006020540200 院 （系） 数 学 与 计 算 机 科 学 学 院 专 业 数学与应用数学 年 级 2010 级 指导教师 雍 进 军 职 称 讲 师

二〇一四年五月

贵州师范学院本科毕业论文（设计）诚信声明

本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

本科毕业论文作者签名：

数值计算方法思考题

第一章 预篇

1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。

4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？

5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：

（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 （2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。 （3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。 （4）高精度运算可以改善问题的病态性。

（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。

（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题

ax2 + bx + c = 0.

下面的公式是熟知的

?b?b2?4acx?.

2a

与之等价地有

x?

对于

2c?b?b?4ac2.

a = 1, b = -100 000 000 , c

高等教育出版社 教育电子音像出版社 作者：任玉杰

第一章 误差与范数

第一章 误差与范数

数值分析也称计算方法，它不仅是一种研究并解决数学问题的数值近似解的方法，而且是在计算机上使用的解数学问题的方法.它的计算对象是那些在理论上有解，而无法用手工计算的数学问题.

1.1 误差的来源

在运用计算方法解决实际问题的过程中，会出现各种各样的误差，必须注重误差分析.否则，一种合理的计算也可能得出错误的结果.

例1.1.1 用差商f(a)?'f(a?h)?f(a)h求f(x)?lnx在x?3处导数的近似值.

（1）取h?0.1和h?0.0001，用手工计算，取五位数字计算；

（2）取h?0.1 ，h?0.0001，h=0.000 000 000 000 001和h=0.000 000 000 000 000 1分别用MATLAB软件计算，取十五位数字计算；

（3）比较以上的运算结果，说明是否h越小则计算结果越准确. 解 根据导数定义，可以用差商求f(x)?lnx在x?3处导数的近似值

f(3)?'f(3?h)?f(3)h?ln(3?h