合情推理需要证明吗

竞赛数学

2.1.1合情推理

当看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时,我们会得到一个判断：天要下雨了

问题：什么叫推理?

根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理.

一、合情推理

1、归纳推理：

【1】1742年哥德巴赫(Goldbach，1690～1764， 是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家， 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士)观察到：

12 5 7,1000 29 971, 6 3 3,14 7 7,1002 139 863, 8 3 5,16 5 11, 10 5 5, 哥德巴赫猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和.

猜想的过程：具体的材料—————>观察分析——————>猜想出一般性的结论

【2】统计初步中的用样本估计总体

通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验，进而对整体做出推断.

【3】成语“一叶知秋”

意思是从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体形势的变化，由部分推知全体.

【4】对自然数n，考查n n 11是否为质数?

2

2猜想:对所有的自然数n，n n 11都是质数.

【5】三角形的内角和是180 ，凸四边形的内角和是360 ，凸五边形的内角和是540 ……

由此我们

原创教案,精品教案,高二全套,陆续上传,欢迎下载。

推理与证明（1）合情推理

教学目的：

了解推理的一般形式

了解合情推理的两种基本形式

归纳推理理解与运用

教学过程：

一、推理与合情推理：

1．推理：根据一个或几个已知事实（或假设）（前提）得出一个判断（结论），这种思维方式就是推理。

推理一般分为合情推理与演绎推理。

2．合情推理：根据试验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、定理和公理等），推测出某些结果的推理方式。

归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。

二、归纳推理：

1、归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理。

部分 全体 特殊 一般

例1：已知数列 an 为等差数列，首项为a，公差为d， 1

a2 a1 d

a3 a1 2d

a4 a1 3d

...

an a1 (n 1)d

例2：由以下等式，你能作出什么猜想？

4 2 2

6 3 3

8 3 5

10 5 5

12 5 7

14 7 7 311

16 3 1 3 511

...

哥德巴赫猜想：任何一个大于4的偶数均可表示为两个质数之和。

2例3：若f(n) n n 41，试求f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)，并判别它们是否为质

初高中精品文档

2.1.1 合情推理

A级 基础巩固

一、选择题

1．下列推理是归纳推理的是( )

A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

x2y2

C．由圆x＋y＝r的面积πr，猜想出椭圆2＋2＝1的面积S＝πab

ab2

2

2

2

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理． 答案：B

2．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( )

A．白色 C．白色的可能性大

B．黑色

D．黑色的可能性大

解析：由题图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．

答案：A

3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )

解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．

答案：A

12

2.1.1合情推理●归纳推理 合情推理● 合情推理

古时候一个地主有4 古时候一个地主有4个儿 大儿子叫大宝， 子，大儿子叫大宝，二儿子 叫二宝，三儿子叫三宝， 叫二宝，三儿子叫三宝，那 小儿子叫什么名字呢？ 小儿子叫什么名字呢

小宝

问题情境： 问题情境：

当看到天空乌云密布，燕子低飞， 当看到天空乌云密布，燕子低飞， 蚂蚁搬家等现象时， 蚂蚁搬家等现象时，我们会得到一个 天要下雨了。 天要下雨了。 判断： 判断：

已知 判断 前提

新的 判断 结论

是人们思维活动的过程， 推理 是人们思维活动的过程，是根 据一个或几个已知的判断来确定一个新的 判断的思维过程。

铜能导电 铝能导电 金能导电 一切金属都 能导电. 能导电

部分 银能导电。

整 体

个别 三角形内角和为180 三角形内角和为凸四边形内角和为360 凸四边形内角和为 凸五边形内角和为540 凸五边形内角和为

。 。

}

凸n边形内 边形内 一 般 角和为

(n 2) 180o.

统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象 通过从总体中抽取部分对象进 部分对象进 整体做出推断 行观测或试验，进而对整体做出推断. 行观测或试验，进而对整体做出推断.

成语“一叶知秋” 成语“一叶知秋” 意思是从一片树叶

第45讲 合情推理与演绎推理

1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理与类比推理．

2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行简单的演绎推理．

3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异．

知识梳理 1．合情推理

(1)归纳推理：由某类事物的 部分 对象具有某些特征，推出该类事物的 全部 对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出 一般结论 的推理．归纳推理是由部分到整体、由 个别 到 一般 的推理．

(2)类比推理：由两类对象具有 某些类似特征 和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理．

(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察 ， 分析 ， 比较 ， 联想 ，再进行 归纳 ， 类比 ，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

2．演绎推理

(1)从 一般性 的原理出发，推出某个 特殊情况 下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理．

(2)三段论是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提—— 已知的一般原理 ； ②小前提—— 所研究的特殊情况 ；

③结论—— 根据一般

限时规范检测(三十九) 合情推理与演绎推理

(时间：45分钟 分值：69分)

一、选择题(共5个小题，每题5分)

1．推理“①矩形是平行四边形；②正方形是平行四边形；③正方形是矩形”中的小前提是( )

A．① B．② C．③ D．①和②

2．(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，?，则a10＋b10＝( )

A．28 B．76 C．123 D．199

3．(2012·福州质检)将正奇数1,3,5,7，?排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是( )

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列

15 17 31

1 3 5 7 13 11 9

19 21 23 29 27 25 ??

A．第一列 B．第二列 C．第三列 D．第四列 1

4．(2012·临沂模拟)已知x>0，由不等式x＋≥2

x

3xx414xx4

x·＝2，x＋2＝＋＋2≥3

我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

第1讲 合情推理与演绎推理

【2015年高考会这样考】

1．从近年来的新课标高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档题为主．

2．演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题． 【复习指导】

本讲复习时，要注意做好以下两点：一要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题．二由于归纳、类比、演绎推理思维方式贯穿于高中数学的整个知识体系，所以复习时要有意识地培养逻辑分析等方面的训练．

基础梳理

1．合情推理

(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察

我们来推测诸葛亮“先生”的推理过 程: 1.今夜恰有大雾

2.曹操生性多疑 3.弓弩利于远战4.北军不善水战

草船借箭必将成功

已知 判断前提

新的 判断 结论

根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.

合 情 推 理

1.由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，

归 猜想:一切金属都能导电. 纳 2.由三角形内角和为180 ,凸四边形内角和 推 理

为360 ,凸五边形内角和为540 , ( 猜想:凸n边形内角和为 n 2) 180 . 类比 3.地球上有生命，火星具有一些与地球类 推理 猜想:火星上也有生命. 似的特征，

演绎4.因为所有人都会死，苏格拉底是人， 推理 所以苏格拉底会死.

2.1.1合情推理——归纳推理

铜能导电铝能导电 金能导电 银能导电

部分 个别 n 2 180 .

蛇类是用肺呼吸的一切金属 都能导电. 鳄鱼是用肺呼吸的

海龟是用肺呼吸的蜥蜴是用肺呼吸的

整 体

爬行动物都是 用肺呼

吸的

三角形内角和

为 180 和为 360 和为

凸四边形内角

凸五边形内角

540

一 般 第一个数为2凸n边形 内角和为 第二个数为4 第三个数为6 第n个 数为2n.

第四个数为8

由某类事物的部分对象具有某些特征,

第1页 共4页

1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;

2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.

3038

1.已知 0(1,2,

,)i a i n >=，考察下列式子：111()1i a a ?≥；121211()()()4ii a a a a ++≥； 123123

111()()()9iii a a a a a a ++++≥ . 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 .

2. 猜想数列1111,,,,13355779--????的通项公式是 .

二、新课导学

※ 学习探究

鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火

星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，

温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.

新知：类比推理就是由两类对象具有

和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到

的推理.

※ 典型例题

例1 类比实数的加法和乘法，列出它

学案37合情推理与演绎推理

导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．

自主梳理

自我检测

1．(2010·山东)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x) 等于()

A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)

2．(2010·珠海质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d ∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”．其中类比结论正确的个数是()

A．0 B．1 C．2 D