双曲线的简单几何性质2视频

学习目标： 1.掌握直线与双曲线的位置关系； 2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等 问题； 3.了解与双曲线有关的应用问题.

复习回顾 1:直线与椭圆的位置关系有那些?如何判定? 2:点与椭圆的位置关系有哪些？如何判断？x2 y2 x2 y2 3 椭圆 + 2=1 和双曲线 2- =1 有共同的焦点， 则实数 34 n n 16 n 的值是( B )A.± B.± C.25 D.9 5 3

4.双曲线 3x2-y2=3 的渐近线方程是( C ) 1 3 A.y=± 3x B.y=± x C.y=± 3x D.y=± x 3 3 2 2 x y 5.如果双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直，则双曲 a b

线的离心率为( A )A. 2

B. 2

C. 3

D. 2 2

探究:1.如何判断点与双曲线的位置关系？ 2.判断下列直线和双曲线 的位置关系 (1)直线L1:x-y+1=0; (2)直线L2:2x+y-1=0; (3)直线L3:2x-y+ =0 通过这道题目的解答你认为解决直线和双曲线的 位置关系与解决直线和椭圆的位置关系有那些 相同点?有那些不同点?

例1: 已知双曲线x2-y2=4

教学内容：双曲线的简单几何性质 【基础知识精讲】

1.双曲线 - ＝1的简单几何性质

(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.

(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称. (3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2 b2.与椭圆不同.

(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝± x，或令双曲线标准方程 -

＝1中的1为零即得渐近线方程.

(5)离心率e＝ ＞1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.

(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝

.

(7)共轭双曲线：方程 - ＝1与 - ＝-1表示的双曲线共轭，有共

同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.

注重：

1.与双曲线 且λ为待定常数)

- ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - ＝λ(λ≠0

2.与椭圆 ＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为 -

＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆， b2＜λ＜a2时为双曲线)

2.双曲线的第二定义

平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝ 的距离之比等于常数e＝ (c

＞a＞0)

2.3.2双曲线的简单几何性质

【学习目标】

会分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；掌握双曲线的渐近线的概念

【预习案】

1、双曲线的简单几何性质

2、等轴双曲线：___________

【小组讨论】

例1、（1）求双曲线9y2-16x2=144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

【课堂检测】

1.已知下列双曲线方程，求它的焦点坐标，离心率和渐近线方程（1）4x2-9y2=36 (2)16x2-9y2= - 144

【课后作业】P53练习1

典例剖析

x2y2［例1］已知双曲线2?2=1(a＞0，b＞0)的焦点坐标是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）

ab是双曲线上的任一点，求证｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是双曲线的离心率.

x2y2【证明】 双曲线2?2=1的两焦点F1(－c,0)、F2(c,0)，

aba2a2相应的准线方程分别是x=－和x=.

cc∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.

∴

PF1x0?ac2?e,PF2x0?ac2?e.

化简得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜.

【点评】 ｜PF1｜、｜PF2｜都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜称作焦半径公式.

［例2］双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=程.

1,求双曲线的方2ca21【解】 ∵=4,=,

c2a∴a=2,c=8,∴b2=82－22=60.

x2y2∴双曲线的方程是=1. ?460【点评】 双曲线的准线总与实轴垂直.

x2y2［例3］在双曲线=1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两?169倍.

【解】

典例剖析

x2y2［例1］已知双曲线2?2=1(a＞0，b＞0)的焦点坐标是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）

ab是双曲线上的任一点，求证｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是双曲线的离心率.

x2y2【证明】 双曲线2?2=1的两焦点F1(－c,0)、F2(c,0)，

aba2a2相应的准线方程分别是x=－和x=.

cc∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.

∴

PF1x0?ac2?e,PF2x0?ac2?e.

化简得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜.

【点评】 ｜PF1｜、｜PF2｜都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜称作焦半径公式.

［例2］双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=程.

1,求双曲线的方2ca21【解】 ∵=4,=,

c2a∴a=2,c=8,∴b2=82－22=60.

x2y2∴双曲线的方程是=1. ?460【点评】 双曲线的准线总与实轴垂直.

x2y2［例3］在双曲线=1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两?169倍.

【解】

典型例题一

x2y2??1共渐近线且过A23，例1 求与双曲线?3点的双曲线方程及离心率． 169??3x2y2??1的渐近线方程为：y??x 解法一：双曲线

4169x2y2（1）设所求双曲线方程为2?2?1

ab∵

3b3?，∴b?a ①

4a4∵A23，?3在双曲线上 ∴

??129?2?1 ② 2ab由①－②，得方程组无解

y2x2（2）设双曲线方程为2?2?1

ab4b3?，∴b?a ③

3a4912∵A23，?3在双曲线上，∴2?2?1 ④

ab922由③④得a?，b?4

4∵

??y2x25??1且离心率e? ∴所求双曲线方程为：9344x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程为：??????0? 解法二：设与双曲线

169169∵点A23，?3在双曲线上，∴????1291??? 1694y2x2x2y21?1． ???，即?∴所求双曲线方程为：

9416944说明：（1）很显然，解法二优于解法一．

x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程??????0?． （2）不难证明

高二文科数学

2.2.2双曲线的 简单几何性质(一)

高二文科数学

双曲线定义及标准方程定义 | |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|) ( )yMM F2

y

图象

F1

o

F2

xF1

x

方程 焦点a.b.c 的关系

x2 y2 2 =1 2 a bF ( ±c, 0)

y2 x2 2 =1 2 a b F(0, ± c)2 2

c =a +b2

高二文科数学

复

习

双曲线的标准方程 形式一： 形式一： x y 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b F1 F 焦点在x轴上，(-c,0)、 2 c,0)) 轴上，( (焦点在x轴上，(-c,0)、 (c,0))2 2

形式二： 形式二： y 2 x2 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a bF1 轴上，( )、(0, )) (焦点在y轴上，( ,-c)、( ,c)) 焦点在 轴上，(0, )、( F2

其中 c 2 = a 2 + b 2

高二文科数学

练习： 练习：1.动点 到点 动点P到点 的距离减去到点N(1,0)的 动点 到点M(-1,0)的距离减去到点 的距离减去到点 的 距离之差为2,则点 轨迹是

典型例题一

x2y2??1共渐近线且过A23，例1 求与双曲线?3点的双曲线方程及离心率． 169??3x2y2??1的渐近线方程为：y??x 解法一：双曲线

4169x2y2（1）设所求双曲线方程为2?2?1

ab∵

3b3?，∴b?a ①

4a4∵A23，?3在双曲线上 ∴

??129?2?1 ② 2ab由①－②，得方程组无解

y2x2（2）设双曲线方程为2?2?1

ab4b3?，∴b?a ③

3a4912∵A23，?3在双曲线上，∴2?2?1 ④

ab922由③④得a?，b?4

4∵

??y2x25??1且离心率e? ∴所求双曲线方程为：9344x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程为：??????0? 解法二：设与双曲线

169169∵点A23，?3在双曲线上，∴????1291??? 1694y2x2x2y21?1． ???，即?∴所求双曲线方程为：

9416944说明：（1）很显然，解法二优于解法一．

x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程??????0?． （2）不难证明

双曲线

双曲的几何线质性2(

双曲线

)曲线双几何的质性方程 x 22y 2 21a b y 2 x 2 2 21a b 图形

范围 对性 称顶 点心率 渐离线近

a,x或 x x轴a y,轴 原点, A 1 a 0 , ,2A a(, 0) ec ( e ) a1b y x a

ya 或y , a 轴,xy , 原轴点 1 A 0, a , 2 (A0 ,a )e c ( e 1 )aa y xb练习1

双曲线

:下求列曲线双的渐线近方 x程2 2y 2 x2y 1) ( 1; ( ) 2 ;1 9 49 4 2 2 2 x2 x yy( )3 4; 4( ) .49 49 4 题 : 问从上以问题,你中可以得出么结什论

双曲线

?一.曲线的渐近线 双 yxx (y) 21 2 ( 0 的)近渐线方程：为 2 2;0a b a xb y22( 2 )双曲与 2 线 2 共1近渐的双曲线系线 a b2 2x y方程为 : 2 2 ( 0 )a 当b 0 , 表时焦示在x轴

例1 已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴大4，两曲线的离心率之比为3:7，求两曲线方程.

解：若焦点在x轴上，设所求椭圆及双曲线方程分别为：

x2y2x2y2 ?2?1 (a1?b1?0）；2?2?1 (a2,b2?0）；2a1b1a2b2离心率分别为e1,e2， 依题意：a1－a2=4且e1:e2=

c1c23：?， a1a27又c1=c2=13, ∴a1=7,a2=3.

2222故b12?a1?c12?36,b2?c2?a2?4.

∴所求椭圆与双曲线方程分别为：

x2y2x2y2??1或??1. 493694当焦点在y轴上时，可得两曲线方程为

y2x2y2x2??1或??1. 493694例2 直线y－ax－1=0和双曲线3x2－y2=1相交于A、B两点，a为何值时，以AB为直径的圆经过原点.

解：如图所示，若以AB为直径的圆经过原点，则有OA⊥OB,设A(x1、y1)、B（x2、y2）,则

y2y1???1 x2x1即x1·x2+y1y2=0 ①

把y=ax+1代入3x2－y2=1得3x2－(ax+1)2=1

化简得 （3－a2）x2－2