高等数学同济大学第五版第八章答案

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

习题12 1

1. 试说出下列各微分方程的阶数: (1)x(y′)2 2yy′+x=0; 解 一阶. (2)x2y′ xy′+y=0; 解 一阶.

(3)xy′′′+2y′+x2y=0; 解 三阶.

(4)(7x 6y)dx+(x+y)dy=0; 解 一阶.

d2QdQQ

(5)L+R+=0;

dtCdt

解 二阶. (6)

dρ

+ρ=sin2θ. dθ

解 一阶.

2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: (1)xy′=2y, y=5x2; 解 y′=10x.

因为xy′=10x2=2(5x2)=2y, 所以y=5x2是所给微分方程的解. (2)y′+y=0, y=3sin x 4cos x; 解 y′=3cos x+4sin x.

因为y′+y=3cos x+4sin x+3sin x 4cos x=7sin x cos x≠0, 所以y=3sin x 4cos x不是所给微分方程的解. (3)y′′ 2y′+y=0, y=x2ex;

解 y′=2xex+x2ex, y′′=2ex+2xex+

姓名： 学号： 班级： 《高等数学》第八章作业 71

第八章 多元函数微分法及其应用

第 一 节 作 业

一、填空题： 1.函数z?ln(1?x)?2.函数f(x,y,z)?arccos2222y?x?3x?y?1的定义域为的定义域为2zx?y2 .3.设f(x,y)?x?y,?(x)?cosx,?(x)?sinx,则f[?(x),?(x)]?4.limsinxyx?.x?0y?a二、选择题（单选）： 1. 函数

1sinxsiny的所有间断点是:

(A) x=y=2nπ（n=1,2,3,…）； (B) x=y=nπ(n=1,2,3,…)；

(C) x=y=mπ(m=0,±1，±2，…)；

(D) x=nπ,y=mπ(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。

答：（ ）

?sin2(x2?y222,x?y?0?222. 函数f(x,y)??x?y在点（0，0）处：

?22x?y?0?2,（A）无定义； （B

习题9?1

1? 设有一平面薄板(不计其厚度)? 占有xOy面上的闭区域D? 薄板上分布有密度为? ??(x, y)的电荷? 且?(x, y)在D上连续? 试用二重积分表达该板上全部电荷Q?

解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度?(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分?

Q????(x,y)d??

D 2? 设I1???(x2?y2)3d?? 其中D1?{(x? y)|???x?1? ?2?y?2??

D1 又I2???(x2?y2)3d?? 其中D2?{(x? y)|0?x?1? 0?y?2}?

D2试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系?

解 I1表示由曲面z?(x2?y2)3与平面x??1? y??2以及z?0围成的立体V的体积? I2表示由曲面z?(x2?y2)3与平面x?0? x?1? y?0? y?2以及z?0围成的立体V1的体积?

显然立体V关于yOz面、xOz面对称? 因此V 1是V位于第一卦限中的部分? 故 V?4V1? 即I1?4I2? 3? 利用二重积分的定义证明?

习题6?2?

1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为

311. A??(x?x)dx?[2x2?1x2]1?00326 (2)

解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 A??0(e?ex)dx?(ex?ex)|10?1?

解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1? e]? 所求的面积为

e?dy?e?(e?1)?1? A??1lnydy?ylny|1?1ee1 (3)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 A??[(3?x2)?2x]dx?32?

?331 (4)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为

32? A??(2x?3?x2)dx?(x2?3x?1x3)|3??1?1333 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) y?1x2与x2?y2?8(两部分都要计算)?

2 解?

22

习题6?2?

1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为

311. A??(x?x)dx?[2x2?1x2]1?00326 (2)

解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 A??0(e?ex)dx?(ex?ex)|10?1?

解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1? e]? 所求的面积为

e?dy?e?(e?1)?1? A??1lnydy?ylny|1?1ee1 (3)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 A??[(3?x2)?2x]dx?32?

?331 (4)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为

32? A??(2x?3?x2)dx?(x2?3x?1x3)|3??1?1333 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) y?1x2与x2?y2?8(两部分都要计算)?

2 解?

22

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第8章

相量法

本章重点8.1 8.2 8.3 8.4 复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式 首页

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重点： 重点： 正弦量的表示、 1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式

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8.11. 复数的表示形式

复数b 代数式

Im F |F|

F = a + jbF =| F | ejθ

(j = 1 为虚数单位)指数式 o

θa 三角函数式 Re

F =| F | e =| F | (cosθ + j sinθ) = a + jbjθ

F =| F | ejθ =| F | ∠θ

极坐标式返 回 上 页 下 页

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几种表示法的关系： 几种表示法的关系：

Im b |F| F

F = a + jbF =| F | e =| F | ∠θjθ2 2

θo a Re

| F |= a + b b 或 a =| F | cosθ θ = arctan a b =| F | sinθ2. 复数运算 ①加减运算 —— 采用代数式

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若 则 Im F2

F1=a1

第八章 面向对象程序设计8.1 面向对象程序设计概述 8.2 结构

8.3 类和对象8.4 继承和派生 8.5多态性 8.6 程序举例

8.1 面向对象程序设计(OOP)概述Object Oriented Programming

基本概念 对象：现实世界的实体，每个对象都有所属的类 类： 对一组对象共同具有的属性和行为的抽象， 具有封装和隐藏性、还具有继承性。

消息：向某对象请求服务的一种表达方式，是对 象与外界、对象与其它对象之间联系的工具

方法：对某对象接受消息后所采取的操作的描述。

特点封装性C++中，通过类和对象实现对数据的封装，使得程序的修改维 护更方便。是OOP的基础。

继承性连接类与类的层次模型，利用现有类派生出新类的过程称为类 继承,支持代码重用、提供了无限重复利用程序资源的途径、 节省程序开发的时间和资源，是OOP的关键。

多态性发出同样的消息被不同类型的对象接收时导致完全不同的行 为,是OOP的重要补充

8.2 结构C++中的类从C语言中的结构概念演变而来 结构类型说明形式

struct 结构类型标识符 { 说明结 结构成员1; 构类型 结构成员2; 的关键字 ┆ 结构成员n; };

类型可任意

(不能为该结构自身)

如，说明一个结构类型

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第8章

相量法

本章重点8.1 8.2 8.3 8.4 复数 正弦量 相量法的基础

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重点：1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式

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8.11. 复数的表示形式

复数b 代数式

Im F |F|

F a jbF | F | ej

(j 1 为虚数单位)指数式 o

a 三角函数式 Re

F | F | e | F | (cos j sin ) a jbj

F | F | e | F | j

极坐标式返 回 上 页 下 页

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几种表示法的关系：

Im

F a jbF | F | e | F | j 2 2

b |F|

F

o a Re

| F | a b 或 a | F | cos b θ arctan a b | F | sin 2. 复数运算

①加减运算 —— 采用代数式返 回 上 页 下 页

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若 则 Im F2

F1=a1+

《第8章（部分）习题参考答案》

1. 求下列函数的定义域： (1) z=(3) z=

+y (2) z=ln(x+y) R2 x2 y2 z2+x2+y2+z2 r2

解：（1）要使函数有意义，只需x≥0，故该函数的定义域为(x,y)x≥0, ∞<y<+∞；（2）要使函数有意义，只需x+y>0，故该函数的定义域为{(x,y)x+y>0}；

{}

x2+y2≥r2

， （3）要使函数有意义，只需 2

22

x+y≤R

故该函数的定义域为(x,y)r≤x+y≤R2.求下列各极限

{

222

}.

1 xyy（1）lim （2）lim

(x,y)→(0,1)x2+2y2(x,y)→（3）

sinxy (4) lim(x,y)→(x,y)→(0,1)xlim

1 xy1=;

(x,y)→(0,1)x2+2y22limy解：（1）

（2）

(x,y)→lim

=

ln2

=ln2; 1

（3）

sinxyxy

=lim=limy=1;

(x,y)→(0,1)(x,y)→(0,1)x(x,y)→(0,1)xlim

(x,y)→（4）

lim

=lim+1)=2.

(x,y)→(0,0)

3.求下列函数的偏导数： (1) z

=x3+y3 3xy2

第八章 空间解析几何与向量代数

§8.1向量及其线性运算 1.填空题

（1）点(1,1,1)关于xoy面对称的点为（(1,1,?1)），关于yoz面对称的点为（(?1,1,1)），关于xoz面对称的点为（(1,?1,1)）.

（2）点(2,?1,2)关于x轴对称的点为（(2,1,?2)），关于y轴对称的点为（(?2,?1,?2)），关于z轴对称的点为（(?2,1,2)），关于坐标原点对称的点为（(?2,1,?2)）.

2. 已知两点M1(1,1,1)和M2(2,2,1)，计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角.

解：因为M1M2?(1,1,0)，故|M1M2|?2，方向余弦为cos??22，

cos??2，cos??0，方向角为???24，???4， ???2.

3. 在yoz平面上，求与A(1,1,1)、B(2,1,2)、C(3,3,3)等距离的点. 解：设该点为(0,y,z)，则

1?(y?1)2?(z?1)2?4?(y?1)2?(z?2)2?9?(y?3)2?(z?3)2，

即??1?(z?1)2?4?(z?2)2?，?z?3??4?(y?1)2?(z?2)2?9?(y?3)2?(z?3)2解得??y?3，则该点

为(0,3,3).