用配方法求解一元二次方程教学设计

第二章第2 节

一元二次方程

用配方法求解一元二次方程(二)

砀山铁中

复习巩固上节课我们学习了配方法解一元二次方程的基本步骤: 例如， x2-6x-40=0 移项，得 x2-6x= 40

方程两边都加上32(一次项系数一半的平方),得 x2-6x+32=40+32 即 开平方，得 (x-3)2=49 x-3 =±7

即所以

x-3=7或x-3=-7x1=10,x2=-4

习题回望将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).

1.x2+2x+________=(x+______)2 2.x2-4x+________=(x-______)2 3.x2+________+36=(x+______)2

抢答！

4.x2+10x+________=(x+______)2 5. x2-x+________=(x-______)2

探究思路请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别

1.x2+6x+8=0

2.3x2+18x+24=0

这两个方程有 什么联系？

总结规律如果方程的二次项系数不是1,我们可以在方 程的两边同时除以二次项系数，这样就可以 利用上节课学过的知识解方程了！ X² +4x+3=0 2x2+8x+6=0----

+2x-3=0 3x2+6

第二章第2节

一元二次方程

用配方法求解一元二次方程(二)

老关中学九年级数学组

复习巩固上节课我们学习了配方法解一元二次方程的基本步骤: 例如， x2-6x-40=0 移项，得 x2-6x= 40

方程两边都加上32(一次项系数一半的平方),得 x2-6x+32=40+32 即 开平方，得 (x-3)2=49 x-3 =±7

即所以

x-3=7或x-3=-7x1=10,x2=-4

习题回望将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答 ). 2 2

1.x +2x+________=(x+______)

2.x2-4x+________=(x-______)2 3.x2+________+36=(x+______)2

抢答！

4.x2+10x+________=(x+______)2 5. x2-x+________=(x-______)2

探究思路请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别

1.x2+6x+8=0

2.3x2+18x+24=0

这两个方程有 什么联系？

总结规律如果方程的系数不是1,我们可以在方程的两 边同时除以二次项系数，这样就可以利用上 节课学过的知识解方程了！

2x2+8x+6=0------x2+4x+3=0

3x2+6x-9=0----

基本信息 课题 作者及工作单 位 用配方法解一元二次方程 李国庆 教材分析一.对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上， 它又是公式法的基础： 同时一元二次方程又是今后学生学习二次函数等知识的基础。 一元二次方 程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过 一元二次方程的学习，可以对已学过的一元二次方程、二次根式、平方根的意义、完全平方式等 知识加以巩固。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，如观察、类 比、转化等，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们想通过一元二次方程来解决实 际问题， 首先就要学会一元二次方程的解法。 解一元二次方程的基本策略是将其转化为一元一次 方程，这就是降次。 二.本节课由简到难展开学习，使学生认识配方法的基本原理并掌握具体解法。

太康县芝麻洼苑寨中学

学情分析1.知识掌握上，九年级学生学习了平方根的意义。即如果如果 X =a,那么 X=± a 。;他 们还学习了完全平方式 X +2Xy+y =(X+y) .这对配方法解一元二次方程奠定了基础。 2.学生学习本节的障碍。学生对配方法怎样配系数是个难点，老师应

第二章 一元二次方程

３．用公式法求解一元二次方程（一）

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.

学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.

二、教学任务分析

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。

回顾：1、一元二次方程的一般形式是怎么样的？ 2、一元二次方程的根的定义？ 3、上节课我们学了用观察或试值的方法寻求一 元二次方程的根，那么，是否用这种方法都能求 出一元二次方程的根呢？是否有更好的方法来解 一元二次方程呢？

问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 d m ,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？

2

设正方体的棱长为 ， xdm 列方程10 6 x 15002

由此可得 x 252

x 5,

这种解法叫做什么? 直接开平方法

即 x1 5, 2 5 x

经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.

把此方程“降次”, 转化为两个一元 一次方程

怎样解方程(2 x 1) 5及2

方程 x 6 x 9 2 ?2

方程 x 6 x 9 2的左边是完全平方形式 ，2 2

这个方程可以化成 x 3 2,进行降次， ( )

x 3 _______, 得 __________ 2

3 2 3 2 x 方程的根为x1 ______, 2 __________ .

如果方程能化成x p或 mx n)

23.2一元二次方程的解法（配方法）

◆随堂检测

1.将一元二次方程x2?6x?5?0化成(x?a)2?b的形式，则b等于_____. A.-4 B. 4 C.-14 D. 14 2. x2?nmx?_____?(x?___).

23. 二次三项式x2?7x?1的最小值为______. 4. 若方程x2?px?q?0可化为(x?1)?2324725. 方程2y2?3?7y配方后得2(y?)=_________.

4，则p=_____，q=______.

◆典例分析

说明不论m为何值时，关于x的方程(m2?8m?17)x2?2mx?1?0都是一元二次方程。 解析：因为m2?8m?17?m2?8m?16?16?17?(m?4)2?1?1>0, 所以不论m为何值，该方程都是一元二次方程。 点评：关键是看二次项系数是否有可能为0。

◆课下作业

●拓展提高

7. 当x=______时，?3x?6x?2有最大值，这个最大值是_______.

8. 如果a、b、c是△ABC的三边，且满足式子a?2b?c?2ab?2bc，请指出△ABC的形状，并给出论证过程.

9. 说明代数式2x?4x

22.2 《一元二次方程配方法》导学案

★★★学习目标

1. 能把一个整式配成完全平方式 2. 知道配方法解一元二次方程的步骤 3. 能利用配方法解一元二次方程

★★★学习过程（阅读课本P31至P34，回答下列问题）

一、把一个整式配成完全平方式

1. 知识回顾，填空

(1)x2?6x?32?(x?__)2

(2)x2?__x?__?(x?2)2 (4)x2?4x?(___)2?(x?2)2

(3)x2?12x?(__)2?(x?6)2 2. 填上适当的数，使下列等式成立：

(1)x2?6x?(__)?(x?___)2

32

(2)x2?8x?(__)?(x?___)2

542222(3)x?x?_____?(x?____) (4)x?x?_____?(x?__)

思考：由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：

_____________________________________________________

二、利用配方法解一元二次方程

1. 解方程x?4x?5?0，完成下面框图：

x2?4x?5?0

2

2. 利用配方法解一元二次方程

（1）x2?6x?7?0

解：移

22.21一.元次二程方的法解——接直开平法方和方法配第一课时

习复回顾 1、求出或 表示下出列各的平方根： (1数25)(2 )00.4( 3) (04) 75()9 16

(6)12

21、求下列各式出的x: 中()1x=429 (2) x29=16 ( )3 x26 =4) (x=2-9【

1】例对照面解上方程的程，过 怎样解方程

:例分题2

析 2 x1

25

x6x 9 2

知识纳归果如方能化程x成2=p或mx(n+)=2(pp0≥的形)式，那 么可x得=p±mx+或=±np

利平用方的定义，根一元把二次程“降方次 为两”个一一元次方程从而求，出程方的 解这，种法方我叫做们接直开平法。方

对针练1习用开方法平解下方程列

(1:2)2-8=0x( 2) x2-5=39 3) (x+()62-9=0 4()3 x-1)2-6(=0 -42x4=+5 6)(92x6x++14=( )5x

思

:这个考程能用直接开平方方法吗？x 6x - 1 6 0

2总

配结方的律

x规 2 x 1 ( x 1)2 22

2

4 xx 4 ( x 2) x 6 x 9 ( x 3 )

学大教育个性化辅导教案

等于 0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. (3)配方法： 例 3

x2 6 x 4 0

解：x 2 6 x 4 x 2 6 x 32 4 32 ( x 3) 2 5 x 3 5 x1 5 3, x2 5 3.就是把一元二次方程转化为可以直接直接开平方的方法。 教师提问三：那同学们又能说说步骤吗？ 用配方法解一元二次方程

ax 2 bx c 0 a 0

的一般步骤是： ①化二次项系数为 1, 即方程两边同时除以二次

项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的 平方；④化原方程为 ( x m) n 的形式；⑤如果 n 0 ,就可以用直接开平方求出方程的解，如果 n<0,则原方2

程无解. (4)公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后公式计算。 一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的求根公式是：2

x

b b 2 4ac 2 (b 4ac 0). 2a

例4 解：

x2 x

第1教时

教学内容： 12.1 用公式解一元二次方程（一） 教学目标：

知识与技能目标：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项

系数、一次项系数及常数项．

过程与方法目标： 1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的

学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．

情感与态度目标：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生

用数学的意识．。

教学重、难点与关键：

重点：一元二次方程的意义及一般形式． 难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”。 教辅工具： 教学程序设计： 程序 教师活动 1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力． 2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角学生活动 学生看投影并思考问题 备注 通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源