极限存在准则的应用

西南石油大学《高等数学》专升本讲义

极限存在准则 两个重要极限

【教学目的】

1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】

1、夹逼准则；

2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】

重点是应用两个重要极限求极限。

难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】

引入：考虑下面几个数列的极限

10001、limn???i?1n1n?i1n?i221000个0相加，极限等于0。

2、limn???i?1无穷多个“0”相加，极限不能确定。

3、limxn，其中xn=n??3+xn-1，x1=3，极限不能确定。

对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：

一、极限存在准则

1.

第三节

极限运算法则

一、极限四则运算法则定理1. 若limf (x)=A, limg(x)=B存在, 则

(1) lim[f (x) g(x)] = limf (x) limg(x) = A B(2) lim[f (x) g(x)] = limf (x) · limg(x) = A · B

f ( x) lim f ( x) A (3) 若B 0, 则 lim . g ( x) lim g ( x) B

推论: 设limf (x)存在. C为常数, n为自然数. 则

(1) lim[Cf (x)] = C limf (x) (2) lim[f (x)]n = [limf (x)]n

2x x 4 例1. 求 lim x 2 x 63 2

更一般的, 有结论: 若f (x)为初等函数, 且f (x)在点 x0处有定义. 则 lim f ( x ) f ( x0 )x x0

xn 1 例2. 求 lim m , 其中m, n为自然数. x 1 x 1

解: 注意到公式

x n 1 ( x 1)( x n 1 x n 2 1)有( x 1)( x n 1 1

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

一、极限存在准则 二、两个重要极限sin x lim =1 x→0 x1 n lim(1 + ) = e n→∞ n上页 下页 返回

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

一、极限存在准则1.夹逼准则 1.夹逼准则准则Ⅰ 满足下列条件: 准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:

的极限存在, 那么数列 x n 的极限存在, 且 lim x n = a . →∞n

(1) yn ≤ xn ≤ z n ( n = 1,2,3L) ( 2) lim yn = a , lim zn = a , →∞ →∞n→ ∞ n→ ∞

证 Q yn → a ,

zn → a ,

ε > 0, N 1 > 0, N 2 > 0, 使得上页 下页 返回

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

当 n > N 1时恒有 y n a < ε,当 n > N 2时恒有 z n a < ε ,

取 N = max{ N 1 , N 2 }, 即 a ε < y n < a + ε,

上两式同时成立, 上两式同时成立

a ε < z n

第六节 极限存在准则及 两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限

第一章

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结束

一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系 定理1.x x0

lim f ( x) A

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn

x

为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.

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定理1. lim f ( x) Ax x0

xn x0 , f ( xn )有 lim f ( xn ) A.n

有定义, 且

证：“

” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当x x0

有 f ( x) A .

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且对上述 , N , 当 故 时, 有y

于是当 n N 时 f ( xn ) A .n

lim f ( xn ) A

A

“

” 可用反证法证明. (略)

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定理1. li

第六节 极限存在准则及 两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限

第一章

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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系 定理1.x x0

lim f ( x) A

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn

x

为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.

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定理1. lim f ( x) Ax x0

xn x0 , f ( xn )有 lim f ( xn ) A.n

有定义, 且

证：“

” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当x x0

有 f ( x) A .

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且对上述 , N , 当 故 时, 有y

于是当 n N 时 f ( xn ) A .n

lim f ( xn ) A

A

“

” 可用反证法证明. (略)

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第六节 极限存在准则及 两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限

第一章

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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系 (P37 定理4) 定理1x x0

lim f ( x) A

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn

x

为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.

机动

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定理1

x x0

lim f ( x) An

xn x0 , f ( xn )有 lim f ( xn ) A.

有定义, 且

证：“

” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当x x0

有 f ( x) A .

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且对上述 , N , 当 故 时, 有y

于是当 n N 时 f ( xn ) A .n

lim f ( xn ) A

A

“

” 可用反证法证明. (略)机动 目录

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夹逼准则在求极限中的应用

数学学院 数学与应用数学（师范）专业 2008级 敖欢

指导教师 刘学文

摘要：极限的思想方法贯穿于整个数学分析中，一些基本概念如微分、积分的定义都与极限有密不可分的联系。极限是高等数学的理论基础和重要工具。不同形式的极限求解的方式各不相同，解题思路不同所得到的效果也是不一样的。本文主要举例讨论并分析夹逼准则的应用，特别是其在求极限中的应用。

关键词：极限；夹逼准则；函数；数列

Abstract：The thinking method of limit throughout the mathematical analysis, some basic concepts such as differential, integral and limit are inseparable links. Limit of higher mathematics is the theoretical foundation and important tool. Different forms of the solution to the limit the way is also different, different th

第二章 数列极限 §3 数列极限存在的条件 《数学分析》电子教案

§３ 数列极限存在的条件

【教学目的】 使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些

收敛数列的极限；初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。

【教学重点】 单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。 【教学难点】 相关定理的应用。

引言

在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。

本节将重点讨论极限的存在性问题。为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。本节就来介绍两个判断数列收敛的方法。

一、单调数列

定义 若数列?an?的各项满足不等式an?an?1(an?an?1)，则称?an?为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列．

?(?1)n??1?2例如：??为递减数列；?n?为

篇一：学习《准则》《条例》心得体会

【篇一】

学习贯彻《准则》、《条例》，是当前广大党员干部的重大政治任务，我们要以严和实的精神把党纪党规学习好、落实好、执行好，自觉做守纪律、讲规矩的模范，永葆共产党人清正廉洁的政治本色。

要在学深学透上下功夫。作为纪检监察干部要以身作则，率先学习，通过学习自觉增强党章党规党纪意识，使廉洁自律规范内化于心、外化于行。同时要创新学习形式，丰富学习载体，在全市教育系统各级党组织和广大党员干部中掀起学党纪、知党纪、守党纪的热潮。

要在贯彻落实中作示范。教育系统纪检监察干部要带头贯彻落实《准则》、《条例》，严格按照两项法规规范言行举止，自觉接受监督，坚决守住底线。要学思践悟，把党纪党规刻印在心上，作模范践行者，牢固树立忠诚、干净、担当的良好形象。

要在强化执纪上见实效。教育系统纪检监察干部要切实维护党纪权威，强化监督执纪问责，坚持把纪律和规矩挺在前面，在提升执纪理念、转变执纪方式、强化执纪担当上见实效。对教育领域的腐败行为，始终保持零容忍的态度，引导领导干部、教职员工时刻牢记“手莫伸，伸手必被捉”的道理。要进一步在教育系统探索建立不敢腐、不能腐、不想腐的有效机制，把党风廉政建设和反腐败工作引向深入。

【篇二】

贯彻落实《准则》和《

毕业论文

题 目 上、下极限的性质与应用 学生姓名 王丹丹 学号 1109014029 所在学院 数学与计算机科学学院 专业班级 数学与应用数学数教1101班 指导教师 洪 洁 __ ____ _ 完成地点 陕西理工学院 _ __

2015年6月10日

陕西理工学院毕业论文

上、下极限的性质与应用

王丹丹

（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班,陕西 汉中 723000）

指导教师:洪洁

[摘要]本文总结上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质,举例阐

明了上、下极限在数列敛散性、极限运算以及级数论中的作用,并且具体论述了上、下极限在实变函数以及测度论中的应用.

[关键词]上极限; 下极限; 数列;收敛性

1 引言

极限思想是数学分析中重要思想,极限思