微积分圆锥体积公式的推导

推导

第十课时

教学目标：

知识与能力：使学生理解求圆锥体积的计算公式．

过程与方法：会运用公式计算圆锥的体积．

情感态度和价值观：：培养学生初步的空间观念和思维能力；让学生认识“转化”的思考方法。

教学重点

圆锥体体积计算公式的推导过程．

教学难点

正确理解圆锥体积计算公式．

教学过程：

一、铺垫孕伏

1、提问：

（1）圆柱的体积公式是什么？

（2）投影出示圆锥体的图形，学生指图说出圆锥的底面、侧面和高．

2、导入：同学们，前面我们已经认识了圆锥，掌握了它的特征，那么圆锥的体积怎样计算呢？这节课我们就来研究这个问题．（板书：圆锥的体积）

二、探究新知

（一）指导探究圆锥体积的计算公式．

1、教师谈话：

下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法．老师给每组同学都准备了两个圆锥体容器，两个圆柱体容器和一些沙土．实验时，先往圆柱体（或圆锥体）容器里装满沙土（用直尺将多余的沙土刮掉），倒人圆锥体（或圆柱体）容器里．倒的时候要注意，把两个容器比一比、量一量，看它们之间有什么关系，并想一想，通过实验你发现了什么？

2、学生分组实验

学生汇报实验结果

①圆柱和圆锥的底面积相等，高不相等，圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒，倒了一次，又倒了一些，才装满．

推导

②圆柱和圆锥的底面积不相等，高相等，

推导

第十课时

教学目标：

知识与能力：使学生理解求圆锥体积的计算公式．

过程与方法：会运用公式计算圆锥的体积．

情感态度和价值观：：培养学生初步的空间观念和思维能力；让学生认识“转化”的思考方法。

教学重点

圆锥体体积计算公式的推导过程．

教学难点

正确理解圆锥体积计算公式．

教学过程：

一、铺垫孕伏

1、提问：

（1）圆柱的体积公式是什么？

（2）投影出示圆锥体的图形，学生指图说出圆锥的底面、侧面和高．

2、导入：同学们，前面我们已经认识了圆锥，掌握了它的特征，那么圆锥的体积怎样计算呢？这节课我们就来研究这个问题．（板书：圆锥的体积）

二、探究新知

（一）指导探究圆锥体积的计算公式．

1、教师谈话：

下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法．老师给每组同学都准备了两个圆锥体容器，两个圆柱体容器和一些沙土．实验时，先往圆柱体（或圆锥体）容器里装满沙土（用直尺将多余的沙土刮掉），倒人圆锥体（或圆柱体）容器里．倒的时候要注意，把两个容器比一比、量一量，看它们之间有什么关系，并想一想，通过实验你发现了什么？

2、学生分组实验

学生汇报实验结果

①圆柱和圆锥的底面积相等，高不相等，圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒，倒了一次，又倒了一些，才装满．

推导

②圆柱和圆锥的底面积不相等，高相等，

篇一：圆锥体体积公式的证明

圆锥体体积公式的证明

证明需要几个步骤来解决：

1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。

所以, 只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知题目所求正确。

2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：

(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。 )

现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3.

证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。

3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。

注释：祖暅原理

祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖暅(gèng)首先提出来的。

祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发

圆柱圆锥体积专项培优

典型例题剖析

1、一个圆柱形铁皮盒，底面半径2分米，高5分米。

（1）沿着这个铁皮盒的侧面贴一圈商标纸，至少需要多少平方分米的纸？ （2）某工厂做这样的铁皮盒100个，至少需要多少平方米的铁皮？ （3）如果用这个铁皮盒盛食品，每个最多能盛多少升？

2、一个圆锥形沙堆，底面直径8米，高3米，这个沙堆占地多少平方米？如果每立方米沙重1.5千克，这堆沙一共重多少千克？

3、一个圆柱形蓄水池，底面周长25.12米，高4米，沿着这个蓄水池的四周及底部抹水泥。

（1）如果平方米用水泥20千克，一共需多少千克水泥？

（2）这个蓄水池中现有水150.72立方米，水池中水的高度是多少米?

4、一个圆锥形钢块，量得它的体积是157立方厘米，底面直径是5厘米。 （1）它的高是多少厘米？

（2）有一个圆柱和它体积、底面积都相等，这个圆柱的高是多少厘米？

5、一个圆柱形钢块，底面半径和高都是6分米，把它熔铸成一个等高的圆锥，这个圆锥的底面积是多少平方分米？

1

6、一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是50.24立方分米，如果圆柱的底面半径是2分米，这个圆柱的高是多少分米？

授课教师 罗纯 授课科目 机械制图 2013年月日 （第10周课次） 课程性质 专业理论课 授课班级 13高二十四 13高二十五 授课时间 13高二十六 专 业 模具 计划课时 90分钟 实用课时 90分钟 所用教材 《机械制图》 课 题 画切割圆锥体的三视图 知识目标 掌握圆锥被切割的方法 教学目的 能力目标 掌握圆锥被切割的截交线的形状及性质。能正确绘制切割圆锥体的三视图 情感目标 通过讲解、画图演示，让学生学会切割圆锥体的绘制，并且能够为其标注尺寸 教学重点 教学难点 教学方法 掌握圆锥被切割的方法 绘制切割圆锥体的三视图 通过讲授法以及演示法，让学生学会切割圆锥体三视图的绘制 教案、三角板、圆规、多媒体等 教学教具 组织教学 创设情景 分组讨论 新课讲解 总结延伸 解答疑问 布置作业 教学过程 包括复习导

圆锥和圆锥体积

教学目标：

1.通过观察、实验等活动，经历认识圆锥和探索圆锥体积计算公式的过程。 2.认识圆锥，掌握圆锥的体积公式，会用公式计算圆锥的体积。

3.积极参加数学活动，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学结论的确定性。 课前准备：

铅锤、课件、圆锥形冰激凌、锥形草帽、纸圆锥模型、圆柱形杯子，与杯子等底等高的圆锥形容器、沙子、尺子。 教学方案：

教学环节 设计意图 教学预设 一、认识圆锥 1.教师拿出几种圆锥体物品，让学生说出它们的名字，并观察、交流它们的共同特点，引出圆锥。

在观察物品，发现共同特征的背景下引出圆锥，有利于学生初步建立圆锥的表象。 师：我们已经认识了长方体、正方体，还有圆柱体，现实生活中还有一些形状相似的物品，今天我们一起来认识一下。 逐一拿出圆锥冰激凌，锥形草帽，钻锤等物品，让学生说出它们的名字。 师：请同学们观察这些物品，你发现他们有什么共同特点？ 学生可能会说到： ●这些物体上都有一个尖，表面都是一个圆。 师：像这样的物品，也有一个共同的名字，叫圆锥。 板书：圆锥。 1

教学环节 设计意图 教学预设 2．让学生用手摸一在观察、触摸、师：大家看，老师这里有一个圆锥，请同摸圆锥

温岭市太平高级职业中学公开课教案纸

任务七 圆锥体的表达和识读授课教案（第一课时）

开课目的 课题 1、探讨中职《机械识图》课堂教学改革理念————“做中学 学中做” 2、探讨任务驱动、小组合作为主要特征的开放式课堂教学模式 3、探讨中职《机械识图》“快乐课堂”的建构 圆锥体的表达和识读 1、了解圆锥体 2、学会分析圆锥体空间形状 3、理解圆锥体三视图的形成及各组成的投影在视图中的对应位置 4、掌握圆锥体三视图的画法 5、具备一定的空间思维和空间想象能力 圆锥体三视图的形成及画法 圆锥体各组成投影在视图中的对应 CAI、任务驱动法、小组合作法、自主探究法、尝试法 多媒体课件 陀螺实物 圆锥木模 教学内容 圆柱体 陀螺 教师活动 图示、提问 播放录象 导入 陀螺如何表达？ 圆锥表面的组成 任务一 讲授新课 圆锥面的形成 轮廓素线 主视图 任务二 任务三 练习 俯视图 左视图 Φ20圆锥画法 陀螺测绘 ★画圆锥截割体 学生谈收获和期望 教师赠言 作业 1、请同学们根据日常生活中的实物，画出其三视图 2、机械制图习题集 P53 1、2、3 提问 播放动画 讲解 抛出问题、适时点拨、动画验证 教师点拨、动画验证 学生活动 观察图片并

圆柱圆锥体积专项练习

2、 一个圆柱，侧面展开后是一个边长9.42分米的正方形。这个圆柱的底面直径是多少分米？

3、一个圆柱铁皮油桶内装有半捅汽油，现在倒出汽油的 35 后，还剩12升汽油。如果这个油桶的内底面积是10平方分米，油桶的高是多少分米？

4、有两个底面半径相等的圆柱，高的比是2：5。第二个圆柱的体积是175立方厘米，第二个圆柱的体积比第一个圆柱多多少立方厘米？

5、一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差6.28立方分米。圆柱和圆锥的体积各是多少？

7、一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径是30厘米，高是50厘米。做这样一个水桶，至少需用铁皮多少平方厘米？最多能盛水多少升？（得数保留整数）

8、把一个底面直径是16厘米、高是25厘米的圆柱形木块沿底面直径切开，分成形状、大小完全相同的两部分，它们的表面积比原来增加了多少平方厘米 10、一堆小麦的体积为150立方米，将这堆小麦装入一个长方体仓库里这个仓库的底面为边 长5米的正方形。小麦所占空间与仓库剩余容积的比3：1，求这个仓库内部的高？

11、一个圆锥与一个圆柱的底面积相等。已知圆锥与圆柱的体积的比是 16 ，圆锥的高是4。8厘米，圆柱的高是

各种积分公式,公式大概分为四类,

北京理工大学

微积分-积分定理集锦

常用积分公式 定理

程功 2010/12/22

各种积分公式,公式大概分为四类,

定理

1.积分存在定理

1）当函数f(x)在区间 a,b 上连续时，称f(x)在区间 a,b 上可积.

2）设函数f(x)在区间 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则f x 在区间 a,b 上可积。

2.性质：1 [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx（此性质可以推广到有限多个函数求和的

a

a

a

bbb

情况）。

性质2. kf(x)dx k f(x)dx k为常数

a

a

bb

假设a c b，性质3： f(x)dx f(x)dx f(x)dx（定积分对于积分区间具有可加性）

a

a

c

bcb

性质4: 1 dx badx b a

a

b

性质5：如果在区间 a,b 上f(x) 0,则 f(x)dx 0 (a b)

a

b

推论（1）：如果在区间[a,b]上，f(x) g x 则 f(x)dx g(x)dx(a b)

a

a

bb

推论（2）：

b

a

f()xdx fx a b

a

b

性质6：设M及m分别是函数f x 上的最大值与最小值，则

m(b a) f(x)dx M(b a)

a

b

3.定积分中值定理

如果函数f x

所有微积分公式《全》

·两角和与差的三角函数

　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

　　·和差化积公式：

　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　·积化和差公式：

　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

　　cosα·cosβ