一元三次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式

(第1课时)

【目标导航】

通过本课的学习，让学生在知识上了解掌握根的判别式．在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情况；根据根的情况，探求所需的条件．

【预习引领】

解下列一元二次方程.

(1)x2－1=0 (2)x2 －2x =－1

(3)(x+1)2－24=0 (4)x2 +2x+2=0

问题：(1)为什么会出现无解？

(2) 回顾用配方法解方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的过程.

【要点梳理】

１．一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的判别式是2－4ac．

2．判别一元二次方程根的情况：

（1）当b2－4ac＞0时，___________ _____;

（2）当b2－4ac＝0时，__________________;

（3）当b2－4ac＜0时，________ _______．

例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2＋3x－4＝0；

（2）16y2＋9＝24y；

（3）5(x2+1)－7x＝0．

【课堂操练】

不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）3x2+4x－2=0；

（2）2y2+5=6y；

（3）4p(p－1)－3＝0；

（4）(x－2)2＋2(x－2)－8＝0；

（5

2

专题三 一元二次方程根的判别式[学生用书B14]__

(教材P39作业题第5题)

已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数满足ac<0，判别方程根的情况，并说明理由．

解：Δ＝b2－4ac>0，

所以原方程有两个不相等的实数根．

【思想方法】 一元二次方程根的判别式可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数．常常有以下的应用．

一 判断一元二次方程根的情况

[2013·福州]下列一元二次方程有两个相等实数根的是 ( C )

A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＝0 C．(x＋1)2＝0 D．(x＋3)(x－1)＝0

[2013·潍坊]已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确

的是

( C )

A．当k＝0时，方程无解 B．当k＝1时，方程有一个实数解

C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解 D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

[2013·滨州]对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k

－1＝0的根的情况为

( C )

A．有两个相等的实数根 B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

[2012·孝感]已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.

一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系练习题

1、方程kx2?3x?2?0有两个相等的实数根，则

k 。

2、若关于x的方程kx2?4x?3?0有实数根，则k的非负整数值是 。

3、关于x的方程mx2?2?3m?1?x?9m?1?0有

两个实数根，则m的范围是 。

4、已知k>0且方程3kx2?12x?k??1有两个相等的实数根，则k= 。

5、当 k

不小于?14时，方程

?k?2?x2??2k?1?x?k?0根的情况是 。

6

、

如

果

关

于

x

的

方

程

?m?2?x2?2?m?1?x?m?0只有一个实数根，那么

方程mx2??m?2?x??4?m??0的根的情况

是 。

7、如果关于x的方程mx2?2?m?2?x?m?5?0没有实数根，那么关于x的方程?m?5?x2?2?m?2?x?m?0的

实

根

个

数

是 。

8、如果方程2x2?mx?4?0的两根为x1,x2，且

1x?1?2，求实数 m的值。 1x2

9、已知方程x2??2k?1?x?k2?2?0的两实根

的平方和等于11，求k的值。

10、m取什么值时，方程?m?2?x2?2x?1?0有

初三第一轮复习课之《一元二次方程根的判别式及根与系数关系》

执教：阳光学校 吴春丽

一、 教学目标

1、 通过复习，学生重新认知知识的由来，熟练掌握一元二次方程根的判别式、

根与系数的关系。

2、 学生能灵活运用知识，解答基本基础题，及一些简单综合题。

3、 培养学生数学的严谨性及阅读审题能力，进一步提高学生的解题能力及思维

的严密性。

二、 教学重点与难点

重点：认清知识的本质，灵活运用这两个知识。

难点：认真审题，分析题意，正确选择解决问题的途径。

三、 教学方法：启发、讨论

四、 教学过程

（一） 课前基础训练

1、不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况:

222（1）x＋3x+3=0; （2）x-4x-3=0; （3）4x-4x+1=0

2、不解方程，请说出下列一元二次方程的两根的和与两根的积:

22（1）x-4x-3=0; （2）4x-4x+1=0；

通过很简单的基本训练，教师对学生今天所要复习的内容的认知情况做一个了解。

（二）课本回顾，知识重现

提问1：同学们能否告知老师刚才在做练习时，你用了什么数学知识吗？（生答） 提问2：有没有同学能够告诉大家，这两个知识又是如何研究得到的呢？ 揭示课题

重现根的判别式以及根与系数关系的由来（课本内容）

22一元

一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系

【知识点1】一元二次方程的根的判别式

概念：一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0)的根的判别式为2=b2－4ac 一元二次方程ax＋bx＋c=0 (a≠0)的根的情况是：

①当△＞0时，有两个不相等的实数根。 ②当△=0时，有两个相等的实数根。 ③当△＜0时，没有实数根 注：当△≧0时，方程有实数根。

【例1】已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ） A． 没有实数根

B．可能有且只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根

有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）

C.＜

D.

且

2

2

C．有两个相等的实数根

【例2】如果关于x的一元二次方程A.＞

B ＞

且

【例3】已知关于的一元二次方程

2

有两个不相同的实数根，则的取值范围是

【例4】.已知关于x的二次方程(1 2k)x 2kx 1 0有实数根，则k的取值范围是。 【例5】已知a，b是关于x的方程x (2k 1)x k(k 1) 0的两个实数根，则a b的最小值是【例6】关于x的一元二次方程(a b)x2 bx

2

22

a c

0有两个相等的实数根,那么以a、b、c为三边的三角形是

根与判别式含参数一元二次方程专项练习60题(有答案)ok

一元二次方程专项练习60题

1．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．

（1）求实数m的取值范围；

（2）当时，求m的值．

2．关于x的方程2x2﹣（a2﹣4）x﹣a+1=0，

（1）若方程的一根为0，求实数a的值；

（2）若方程的两根互为相反数，求实数a的值．

3．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求k的值？

4．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3=0．

（1）请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根；

（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况．

5．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值．

（1）方程有两个相等的实数根；

（2）方程有两个相反的实数根；

（3）方程的一个根为0．

6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，求m的值．

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根与判别式含参数一元二次方程专项练习60题(有答案)ok

7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两

一元二次方程根的判别式应用探讨

一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax+bx+c=0（a≠0）。在系数a≠0的情况下，Δ=b－4ac>0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b－4ac <0时，方程无实数根。反之，若方程有2个不相等的实数根，则Δ=b－4ac>0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b－4ac =0；若无实数根，则Δ=b－4ac

根的判别式b-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。

一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。

2

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2

一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况：

2例1：（20

围场卉原初中初三数学导学案N0２2. 编制人：李建利 刘海龙 鲁秀峰 霍志科 孙松峰 审核： 包科组长签字： 时间：2010. 姓名： 层次: 评价区：

一元二次方程的根的判别式练习学案

教学目标：1、了解一元二次方程的根的判别式的产生过程；

2、能运用根的判别式判别方程根的情况，会进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；

4、激情投入,阳光展示。

一、导学部分

1、一般地，式子 2、若 则 ，方程有两个不相等的实数根 若，则方程有两个相等的实数根 若，则方程没有实数根。 二、学习新知

例1：不解方程判别下列方程根的情况

1 2x2 3x 4 0 2 16y2 9 24y 3 5 x2 1 7x 0

4 x2 k2 0

例2：求证关于x的方程 m2 1 x2 2mx m2 4 0没有实数根

三、巩固提高 （一）、选择题

1. （2009年台湾）若a、b为方程式x2

4(x 1)=1的两根，且a＞b，则a=（ ）

A．－5 B．－

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课时10．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

【课前热身】

1．一元二次方程x?2x?1?0的根的情况为（ ）

Ａ．有两个相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根

2

2Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｄ．没有实数根

2. 若方程kx－6x＋1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 . 3．设x1、x2是方程3x＋4x－5＝0的两根,则

2

22

11?? ，.x12＋x22＝ . x1x24．关于x的方程2x＋(m－9)x＋m＋1＝0，当m＝ 时，两根互为倒数； 当m＝ 时，两根互为相反数.

2

5．若x1 =3?2是二次方程x＋ax＋1＝0的一个根,则a＝ ，该方程的另一个根x2 = .

【考点链接】

1. 一元二次方程根的判别式：

关于x的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的根的判别式为 . 22（1）b?4ac>0?一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?有两个 实数根，即

2x1,2? . （2）b?4ac=0?一元二次方程有 相等的实数根，即x1?x2?

初中数学

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初中数学 1 17.3 一元二次方程的根的判别式

各位评委老师你们好！今天我说课的题目是八年级下册第17章第三节的《一元二次方程的根的判别式》。

教材地位分析：

本课是沪科版八年级下册第17章中的一节重要内容一元二次方程根的判别式 , 是判断一元二次方程根的重要依据，且在研究不等式，二次三项式，二次函数、二次曲线及求某些函数的值域或极值方面都有广泛的应用，在中学数学中具有重要的地位。本节课是在学生已经学过根的判别式，并会判断方程的根的基础上，来进一步研究它的应用，它是前面知识的深化与总结。一元二次方程根的判别式，在毕业考试及升学考试中是一个不可少的考试知识点，所以必须让学生切实掌握好这个基础知识。因此本节内容不仅在本章中，而且对于本册教材整个代数部分来讲都用着承上启下、至关重要的作用。

教材的处理：

一、教学目标：

1．熟练运用判别式判别一元二次方程极的情况。

2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明。

3．培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性。

4．培养学生的推理论证能力。

5．通过例题教学，渗透分类的思想。

二、教学重点难点：

1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围。