第二章导数与微分测试题

第二章 导数与微分总结

一、导数与微分概念 1．导数的定义

设函数y?f?x?在点x0的某领域内有定义，自变量x在x0处有增量?x，相应地函数增量?y?f?x0??x??f?x0?。如果极限 limf?x0??x??f?x0??y ?lim?x?0?x?x?0?x，

存在，则称此极限值为函数f?x?在x0处的导数（也称微商），记作f??x0?，或y?x?x0dydf?x?，等，并称函数y?f?x?在点x0处可导。如果上面的极限不存在，

dxx?x0dxx?x0则称函数y?f?x?在点x0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x?x0??x，?x?x?x0，则

f??x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?xf?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?x 我们也引进单侧导数概念。 右导数：f???x0??lim?x?x0 左导数：f???x0??lim?x?x0 则有

f?x?在点x0处可导?f?x?在点x0

第二章 导数与微分

重点：导数与微分的概念、关系、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。

难点：隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数、对数求导法、一阶微分形式的不变性。

第一节 导数概念

1．填空题.

2??x, x?0（1） 已知f?x???，则 f?(0)= 0 .

2???x, x?01及x2?3的两点，作过这两点的割线，则抛物（2） 在抛物线y?x2上取横坐标为x1?`线y?x2上在点 (2, 4) 处的切线平行于这条割线.

（3） 已知f'(3)?2，则limh?0f?3??f?3?h?? 1 . 2h?x2, x?1b? -1 . （4）欲使函数使f?x??? 在x?1处可导，则 a? 2 ，?ax?b, x?12．选择题. （1）设y?f(x)在x?a处可导，则

x?0 lim'f?a?x??f?a?x??（ B ）

x''A. f(a)； B. 2f(a) ； C. 0 ； D. f(2a). （2）设 f(x)为可导

第二章 导数与微分

重点：导数与微分的概念、关系、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。

难点：隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数、对数求导法、一阶微分形式的不变性。

第一节 导数概念

1．填空题.

2??x, x?0（1） 已知f?x???，则 f?(0)= 0 .

2???x, x?01及x2?3的两点，作过这两点的割线，则抛物（2） 在抛物线y?x2上取横坐标为x1?`线y?x2上在点 (2, 4) 处的切线平行于这条割线.

（3） 已知f'(3)?2，则limh?0f?3??f?3?h?? 1 . 2h?x2, x?1b? -1 . （4）欲使函数使f?x??? 在x?1处可导，则 a? 2 ，?ax?b, x?12．选择题. （1）设y?f(x)在x?a处可导，则

x?0 lim'f?a?x??f?a?x??（ B ）

x''A. f(a)； B. 2f(a) ； C. 0 ； D. f(2a). （2）设 f(x)为可导

第一节 导数概念

1、填空题

2

（1）f (0) （2）4x 12x 9 （3）16 （4）y 2x 1 （5）e

2、选择题

（1）C （2）B （3）D （4）D （5）B 3、a 2,b 1

4、y f (x) nxn 1，k f'(1) n，切线方程为y 1 n(x 1) 由于切线过点( n,0)，故0 1 n( n 1)，解之得 n 1

limf( n) lim(1

n

1n

，从而f( n) (1

1n

)，即

n

1n

n

) 1x1x

n

1e

1x

5、x 0，f (x) 2xsin

x 0，f (x) 2xcos

cos

2

1x (

1x

) 2xcos2

1x sin

1x

xsin

x 0，按左右导数来求

f(x) f(0)

x 0f(x) f(0)

x

xsin lim

x 0

22

1 0 1 0

f (0) lim

x 0

xxcos

f (0) lim

x 0

lim

x 0

x

11

2xsin cos,x 0 xx

x 0所以f(x) 0

11

2xcos sin,x 0

xx

6、f (0) lim

f( x) f(0)

x

1

( x)sin

lim

x 0

1

x 0

x

lim( x)

x

第一节 导数概念

1、填空题

2

（1）f (0) （2）4x 12x 9 （3）16 （4）y 2x 1 （5）e

2、选择题

（1）C （2）B （3）D （4）D （5）B 3、a 2,b 1

4、y f (x) nxn 1，k f'(1) n，切线方程为y 1 n(x 1) 由于切线过点( n,0)，故0 1 n( n 1)，解之得 n 1

limf( n) lim(1

n

1n

，从而f( n) (1

1n

)，即

n

1n

n

) 1x1x

n

1e

1x

5、x 0，f (x) 2xsin

x 0，f (x) 2xcos

cos

2

1x (

1x

) 2xcos2

1x sin

1x

xsin

x 0，按左右导数来求

f(x) f(0)

x 0f(x) f(0)

x

xsin lim

x 0

22

1 0 1 0

f (0) lim

x 0

xxcos

f (0) lim

x 0

lim

x 0

x

11

2xsin cos,x 0 xx

x 0所以f(x) 0

11

2xcos sin,x 0

xx

6、f (0) lim

f( x) f(0)

x

1

( x)sin

lim

x 0

1

x 0

x

lim( x)

x

第二章 导数与微分

内容概要 名称 主要内容 导数的定义f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0) ?x?0?xf(x0?h)?f(x0)f?(x0)?lim h?0h 函数的求导法则f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0) x?x0(1) 导数的四则运算法则 i.[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x) ??ii.[u(x)?v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x) iii.[u(x)u?(x)v(x)?u(x)v?(x)]??(v(x)?0) 2v(x)v(x) (2) 复合函数的求导法则(链式法则) dydydu?? dxdudx(1)求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y隐函数的导数 的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dy dx(2)对数求导法:对幂指函数y?u(x)v(x),可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即 反函数的导数 f?(x)?1,其中x??(y)为y?f(x)的反函数 ??(y) (1) 直接法:利用基本求导公式及导数的运算

第二章 导数与微分

【考试要求】

1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．

2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．

3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．

4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．

5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数．

6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．

【考试内容】

一、导数

（一）导数的相关概念

1．函数在一点处的导数的定义

设函数y当自变量x在x0处取得增量?x（点?f(x)在点x0的某个邻域内有定义，

x0??x仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)；如果

?y与?x之比当?x?0时的极限存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并称这

个极限为函数y?f(x)在点x0处的导数，记为f?(x0)，即

f(x0??x)?f(x0)?y， f?(x0)?lim?lim?x?0?x?x?0?x也可记作y?x?x0，

dydxx?x0或

df(x)dxx?x0．

说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有

f(x0?

第二章 导数与微分测试题

一、填空题

1.设一质点按s t sin2 wt 作直线运动，则质点在时刻t的速度v t =__________，加速度a t =__________________． 2.若f (xx0 h) f(x0 h)

0)

12

，则lim

f(h

．

h 0

3.若f(x) x(x 1)(x 2) (x 2012)，则f (0) ． 4.若f(x)

x(x 1)(x 2) (x 2012)，求f (0) ．

(x 1)(x 2) (x 2012)

5.设函数f(x) xex，则f (0) ．

6.曲线y x2 2x 8上点x轴，点x轴正向的交角为

4

．7.d e xdx．

8.设f(x) x2x，则f (x) ． 9.设y 3x ln2，则y ．

10.设f(x) exsinx，则它的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为 二、选择题

1.在x 0处，连续但不可导的函数是 1

A.y x B.y (x 1)3 C.y lnx 1 D.y arctanx 2

范文 范例 指导 参考

第二章 导数与微分

一、判断题

,其中x0是函数f(x)定义域内的一个点。 （ ） 1. f'(x0)??f(x0)?'

2. 若f(x)在x0处可导，则f(x)在x0处连续。

（ ）

3. 因为f(x)?x在x?0处连续，所以f(x)在x?0处可导。 （ ）

4. 因为f(x)?x在x?0处的左、右导数都存在，所以f(x)在x?0处可导。（ ） 5. f(x)在x0处可导的充要条件左、右导数存在且相等。 6. 若曲线y?f(x)在x0处存在切线，则f'(x0)必存在。

（ ） （ ）

7. 若f(x)在点x0处可导，则曲线f(x)在点x0处切线的斜率为f??x0?。（ ）

?cosx?sinx???sinx??????cotx。 8. ?tanx????cosx?sinx???cosx?? （ ）

??sinx??cosx??cosx??sinxsinx???9. ?tanx????sec2x。 ??2cosx?cosx?（ ）

10. 若f(x)，g(x)在x处均可导，则?f(x)g(x)???f(x)?g(x)?。 （

高等数学教案

第二章 导数与微分

教学目的：

1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、 会求分段函数的导数。

5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点：

1、导数和微分的概念与微分的关系；

2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数；

6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点：

1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数

4、隐函数和由参数方程确定的导数。

§2. 1 导数概念 一、引例

1．直线运动的速度