平面及其方程的求法

高数

一、平面的点法式方程 z如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量.x

nM

M0oy

法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量. 已知 n { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z0 ),

设平面上的任一点为 M ( x , y , z )

必有 M 0 M n M 0 M n 0

高数

M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 } A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0平面的点法式方程 其中法向量 n { A, B , C }, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).

平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形.

高数

例 1 求过三点 A( 2, 1,4) 、B( 1,3, 2) 和

C (0,2,3)的平面方程.解

AB { 3, 4, 6} AC { 2, 3, 1}

取 n AB AC {14, 9, 1},所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0, 化简得

网址：www.zs960.com 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功！ 点到平面的距离的几种求法

求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离’的几种基本方法．

例：已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离． 一、直接通过该点求点到平面的距离 １．直接作出所求之距离，求其长． 解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ， 连 结GM，作BN⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于 是BQ是点B到平面EFG的

距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝，由BQ·PN＝PB·BN，得BQ＝

．

图1 图2 ２．不直接作出所求之距离，间接求之． （１）利用二面角的平面角．

递归方程解的渐近阶的求法

递归算法在最坏情况下的时间复杂性渐近阶的分析，都转化为求相应的一个递归方程的解的渐近阶。因此，求递归方程的解的渐近阶是对递归算法进行分析的关键步骤。

递归方程的形式多种多样，求其解的渐近阶的方法也多种多样。这里只介绍比较实用的五种方法。

1. 代入法 这个方法的基本步骤是先推测递归方程的显式解，然后用数学归纳法证明这

一推测的正确性。那么，显式解的渐近阶即为所求。

2. 迭代法 这个方法的基本步骤是通过反复迭代，将递归方程的右端变换成一个级数，

然后求级数的和，再估计和的渐近阶；或者，不求级数的和而直接估计级数的渐近阶，从而达到对递归方程解的渐近阶的估计。

3. 套用公式法 这个方法针对形如：T (n)=aT (n / b)+f (n) 的递归方程，给出三种情况

下方程解的渐近阶的三个相应估计公式供套用。

4. 差分方程法 有些递归方程可以看成一个差分方程，因而可以用解差分方程(初值问

题)的方法来解递归方程。然后对得到的解作渐近阶的估计。 5. 母函数法 这是一个有广泛适用性的方法。它不仅可以用来求解线性常系数高阶齐次

和非齐次的递归方程，而且可以用来求解线性变系数高阶齐次和非齐次的递归方程，甚至可以用来求解

数学选修1-2第一章课件

数学选修1-2第一章课件

必修3(第二章 统计)知识结构收集数据(随机抽样)整理、分析数据 估计、推断 用样本估计总体 变量间的相关关系

简 单 随 机 抽 样

分 层 抽 样

系 统 抽 样

用样本 的频率 分布估 计总体 分布

用样本 数字特 征估计 总体数 字特征

线 性 回 归 分 析

数学选修1-2第一章课件

统计的基本思想实际 抽 样

样本

y = f(x)模 分 析 拟

y = f(x)

y = f(x)

数学选修1-2第一章课件

回顾变量之间的两种关系问题1:正方形的面积y与正方形的边长x之间 的函数关系是 确定性关系 y = x2 问题2:某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 -------有一个确定性的关系？ 例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田 上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到 如下所示的一组数据：施化肥量x 15

20

25

30

35

40

45

水稻产量y 330 345 365

405 445

450 455

数学选修1-2第一章课件

1、定义： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一

定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。注 1):相关关系是一种不确定性关系； 2):对具有相关关系的两个变量进行

统计分析的方法叫回归分析。

ertertert

圆的切点弦方程的解法探究
在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：
1、在标准方程 下过圆上一点 的切线方程为： ；
在一般方程 （ ） 下过圆上一点 的切线方程为：
。
2、两相交圆 （ ）与 （ ） 的公共弦所在的直线方程为： 。
3、过圆 （ ）外一点 作圆的切线，其切线长公式为： 。
4、过圆 （ ）外一点 作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为： （在圆的标准方程下的形式）； （在圆的一般方程下的形式）。
二、题目 已知圆 外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。
三、解法
解法一：用判别式法求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为 （当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：
即
由 消去 并整理得
①
令 ②
解②得 或
将 或 分别代入①解得 、
从而可得 A( , )、B(1,-1

讨论Jordan标准形及其过渡矩阵的求法

摘要：本文较系统的总结了Jordan标准形及其过渡矩阵的通用的求法。

关键字：Jordan标准形，特征向量，过渡矩阵

一、求解Jordan标准形

1、通过??矩阵求Jordan标准形

定义1：P是一个数域，?是一个文字，作多项式环P[?]。一个矩阵，若它的元素是?的多项式，称其为??矩阵，用A(?),B(?),?表示。

定义2：设??矩阵A(?)的秩为r，对于正整数k,1?k?r，A(?)中必有非零的k级子式，A(?)中全部k级子式的首相系数为1的最大公因式Dk(?)称为A(?)的k级行列式因子。

定义3：??矩阵的初等变换：P(i,j)、P(i(c))、P(i,j(?))。若A(?)经过有限次初等变换变为B(?)，称A(?)与B(?)等价。

在初等变换过程中，行列式因子是不变的，也就是说等价的??矩阵具有相同的行列式因子。对任意一个非零的s?n的??矩阵A(?)进行有限次适当的初等变换总能将其化为以下形式的??矩阵

1

?d1(?)???d(?)2???????d(?)r??

??0??????0???其中r?1,di(?)(i?1,2,?r)是首项系数为1的多项式，且di(

郑州航空工业管理学院

毕 业 论 文（设 计）

2011 届 数学与应用数学 专业 0 班级

题 目 数列极限的求法及其应用

二О一一年 五 月 二十 日

内 容 提 要

数列极限可用??N语言和A?N语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.

最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.

关键词

??N定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限

On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit

Name: Yang NO. 07

The guidance of teachers: Dong Titles: Lecture

高三数学学案第01周第01－03次课题名称：曲线的轨迹方程的求法（3课时总003课时） 备课时间：2017年02月06日主备课人：检查人：上课时间：年月日

三维目标：

知识与技能：使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法：直接法、定义

法、相关点法、参数法、点差法

过程与方法：通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳，培养学生综合运用各方面知识的能力 情感、态度与价值观：培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行

辩证唯物主义思想教育

重点难点：轨迹方程的求法－直接法、定义法、相关点法、参数法、点差法

1、求曲线轨迹方程的一般步骤：（_________________）

2、求轨迹方程的实质是：求曲线线上任一点的横坐标___________________________ 题型一、利用直接法求轨迹方程

探究1、平面内有两定点F1,F2,且F1F2?2,若动点M满足KF1M?KF2M??2,求动点M的轨迹方程。

练习1、已知M（4，0），N（1，0）若动点P满足MN?MP?6PN，求动点P的轨迹方程

2、动点p与定点A(－1，0)，B(1，0)的连线的斜率之积为－1，则p点的轨迹方程是（

平面其表及法示

一平面.的概念 ：滑的桌面光平静的、湖面都是等我们 熟的悉面形象，平学中数的面平念概 是实现面平加抽象的结果以。

二.平的特征面:面平有没大小厚、薄宽和，窄面平空 在间无限是延的。伸

.三平的面法画:1)水(平置的放面平：()2垂放直置的面：平

ßa通常把表平示面平行四的边的形角锐画成 40

53)(在画图时，果如形的一图分部被一另部分 住，遮以可把住部遮分成虚线，也 可画以不画。

四.平面表的方示： 法平面以用希可腊母表字示，可也以代用表表示平 的面行四边平形四的顶个或点对相两的顶 点个母字示表。D C

BA如平：面α平，面，平面AβCBD,平A面 平面CD等B。

五.

用数学符来表示点、号、线之面的位间置系：(1)关点与直线的置关位系:点在A线a上直 记：:A∈a为点B不在直线上a :为：记Ba ∈()点2与面的平置位系： 点关在平面α上： 记A:A为α∈ 为：B∈ α记 B点在平面不上：α AαA

a

BB

()直线与平3面位置的关：系 线直上a的有点都所平面α上在称，线a 在直面α内，或称平平面α过通线直.记为：a a α直 线与平a面α只有一公共点A个时称， 线a直与平α面相交。 记：a∩α为A= 直线a平与α面没公有

直线斜率的求法

直线的斜率是反映直线倾斜程度的特征量，在解决有关直线的方程问题中占据着重要的地位.下面例析直线斜率的几种常见求法，以期帮助同学们掌握斜率这一重要知识点.

一、 已知倾斜角定义求

例1 如图，菱形ABCD中， ADC 1200，分别求出BC、CD、AC、BD所在直线的斜率.

分析：准确的找出（或求出）所求直线的倾斜角是关键. 每一条直线都有唯一的倾斜角，直线与横坐标轴正半轴方向的夹角即为该直线的倾斜角.

解：因为在菱形ABCD中， ADC 1200，

所以， BAD 600， ABC 1200，

故kBC tan(1800

1200)=tan60 ；

因为CDPABPx轴，所以直线CD倾斜角为0，故kCD tan00 0; 00

又因为菱形的对角线是相应角的角平分线，

所以 BAC 300， DBA 600，

所以 DBx 1800 DBA 1200，

所以，kAC tan300

kBD tan1200 点评：由直线的倾斜角求斜率，必须正确利用直线的倾斜角与斜率的

000关系：k tan （其中 0,180 且 90）.要注意斜率k随着倾斜角

的变化而变化的趋势：当 00时，k 0；当00 900时，k为正且随着 的增大而增大；当 90