概率论95%置信区间的计算公式

关于区间构造的经典

第三章 估计理论 Page 58 of 79

nxn 1

，若0≤x≤θ ，d n 1

f(n)(x)=F(n)(x)=n[F(x)]f(x)= θn

dx 0 ，若不然 ．

∞

θ

所以 EX(n)=

∞

∫xf(n)(x)dx=∫x

nxn 1

θn

dx=

n

θ． n+1

n+1

这样，θ =X(n)是θ的有偏估计量．显然，θ的无偏估计量为X(n)．

n

．利(2) 求端点θ的0.95置信区间．选统计量T=X(n)（枢轴量，其分布与参数θ无关）用X(n)的分布函数F(n)(x)，确定两个常数λ1和λ2，使之满足下列关系式：

α

21

n

=P{T≤λ1}=P{

X(n)≤λθ λ1=1}=F(n)(λθ1)=λ1，

；

α

2

=P{T<λ2}=P{

X(n)<λ2θ}=F(n)(λ2θ)=λ2n，λ2=，

α

2

=P{T≥λ2}=P{

X(n)≥λ2θ} ；

X XP<θ<=P{λ1<T<λ2}=1 α ．从而，端点θ的1 α置信区间为

X(n)X(n)

． ,

关于区间构造的经典

第三章 估计理论 Page 58 of 79

nxn 1

，若0≤x≤θ ，d n 1

f(n)(x)=F(n)(x)=n[F(x)]f(x)= θn

dx 0 ，若不然 ．

∞

θ

所以 EX(n)=

∞

∫xf(n)(x)dx=∫x

nxn 1

θn

dx=

n

θ． n+1

n+1

这样，θ =X(n)是θ的有偏估计量．显然，θ的无偏估计量为X(n)．

n

．利(2) 求端点θ的0.95置信区间．选统计量T=X(n)（枢轴量，其分布与参数θ无关）用X(n)的分布函数F(n)(x)，确定两个常数λ1和λ2，使之满足下列关系式：

α

21

n

=P{T≤λ1}=P{

X(n)≤λθ λ1=1}=F(n)(λθ1)=λ1，

；

α

2

=P{T<λ2}=P{

X(n)<λ2θ}=F(n)(λ2θ)=λ2n，λ2=，

α

2

=P{T≥λ2}=P{

X(n)≥λ2θ} ；

X XP<θ<=P{λ1<T<λ2}=1 α ．从而，端点θ的1 α置信区间为

X(n)X(n)

． ,

版权所有严禁侵犯不得用于商业用途

统计学专用程序

---基于MATLAB 7.0开发---置信区间与假设检验

2013年8月1日

版权所有严禁侵犯不得用于商业用途

置信区间与假设检验程序

【开发目的】众所周知，统计工作面对的数据量繁琐而且庞大，在统计的过程中和计算中容易出错，并统计决定着国民经济的命脉，开发此软件就是为了进行验证统计的准确性以及理论可行性，减少统计工作中的错误，使统计工作者更好地进行工作与学习；所以特意开发此程序来检验统计中的参数估计和假设检验。

【开发特色】本软件基于matlab7.0进行运算，对于样本的输入采用行矩阵的形式，并且开发了样本频数输入，对于多样本的输入可以减缓工作量，对于显著性水平本程序自带正态分布函数，t分布函数，F分布函数，2 分布函数的计算公式，不用再为查表和计算而苦恼，只需输入显著性水平即可，大大的简化了计算量。

【关键技术】矩阵输入进行频数判断条件循环语句的使用等

【程序界面】

第1 页共2 页

版权所有 严禁侵犯 不得用于商业用途

第 2 页 共 3 页

版权所有严禁侵犯不得用于商业用途

【程序代码】此程序采用多文件结构，在建立文件时不能改变文件名；以下是各个文件的代码：（Zhucaidan.m)：

clc;

disp('统计学

第四节 正态总体的置信区间

与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t分布、?2分布、F分布以及标准正态分布N(0,1)扮演了重要角色.

本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间;

4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;

5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间; 6. 双正态总体方差比的置信区间.

注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为1??的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的.

内容分布图示

★ 引言

★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间

★ 例1 ★ 例2

★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4

★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ *双正态总体均值差（方差未知）的置信区间

★ 例7 ★ 例8

实训三置信区间估计与假设检验应用实训

一、实训目的

掌握Excel软件中假设检验方法（单样本t检验）及置信区间应用

二、实训内容

在正常生产情况下，某厂生产的一种无缝钢管服从正态分布。从某日生产的钢管中随机抽取10根，测得其内径分别为：

53.8、54.0、55.1、54.2、52.1、54.2、55.0、55.8、55.4、55.5（单位：mm）

（一）区间估计

请建立该批无缝钢管平均内径95%的置信区间？

解：虽然总体方差未知，但总体服从正态分布，所以样本均值x的抽样分布服从正态分布。根据抽样结果计算得：

x=

n??=1????

??

=(53.8+54.0+55.1+54.2+52.1+54.2+55.0+55.8+55.4+55.5)/10 =54.51(mm)

已知，n=10,1-α=95%，所以α=0.05，??α 2(9)=??0.025(9)=2.262 s=

2 n??=1(??????? )

???1

= 10?1=1.094887(mm) 10.789

x±??α 2??=54.61±2.262×??=54.61±0.783181

10 ??即(53.82682，55.39318)，该批无缝钢管平均内径95%的置信区间为

第四节 正态总体的置信区间

与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t分布、?2分布、F分布以及标准正态分布N(0,1)扮演了重要角色.

本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间;

4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;

5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间; 6. 双正态总体方差比的置信区间.

注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为1??的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的.

内容分布图示

★ 引言

★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间

★ 例1 ★ 例2

★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4

★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ *双正态总体均值差（方差未知）的置信区间

★ 例7 ★ 例8

概率论与数理统计

第1章 随机事件及其概率

加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B) 乘法公式：P(AB)?P(A)P(B/A) 更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 减法公式 乘法公式 P(A1A2…An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An?1)。 ①两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A)?0，则有 独立性 P(B|A)?P(AB)P(A)P(B)??P(B)P(A)P(A) 全概公式 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C） P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)。 P(B

概率论公式

1．随机事件及其概率

吸收律：A

AB A A A A =?=??Ω

=Ω?)( A

B A A A A A =???=??=Ω?)( )(AB A B A B A -==-

反演律：B A B A =? B A AB ?= n i i n i i A A 11=== n

i i

n i i A A 11===

2．概率的定义及其计算

)(1)(A P A P -=

若B A ? )()()(A P B P A B P -=-?

对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-

加法公式：对任意两个事件A , B , 有

)()()()(AB P B P A P B A P -+=?

)()()(B P A P B A P +≤?

)()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-

=∑∑∑

3．条件概率

()=A B P

)

()(A P AB P

乘法公式 ())

0)(()()(>=A P A B P A P AB P

()()

)

0)(()()(12112112121

马鞍山师专数学教研室（韩海燕） 概率论与数理统计的起源和发展

概率论起源于15世纪中叶.尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外乎是社会生产、科学技术自身发展的推动,然而概率论的产生,却肇于所谓的“赌金分配问题”.1494年意大利数学家帕西奥尼(1445－1509)出版了一本有关算术技术的书.书中叙述了这样的一个问题.在这以后100多年中,先后有多位数学家研究过这个问题,但均未得到过正确的答案.

直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”,引起了这位法国天才数学家的兴趣,并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信,他们一起研究了默勒提出的关于骰子赌博的问题，于是，一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台。

三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。

在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变

量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论

锅炉燃烧氮氧化物排放量

燃料燃烧生成的氮氧化物量可用下式核算：

GNOx＝1.63B（β·n+10－6Vy·CNOx）

式中：GNOx ~燃料燃烧生成的氮氧化物（以NO2计）量（kg）； B ~煤或重油消耗量（kg）；

β ~燃烧氮向燃料型NO的转变率（%），与燃料含氮量n有关。普通燃烧条件下，燃煤层燃炉为25~50%（n≥0.4%），燃油锅炉为32~40%，煤粉炉取20~25%； n ~燃料中氮的含量（%）；

Vy ~燃料生成的烟气量（Nm3／kg）；

CNOx ~温度型NO浓度（mg／Nm3），通常取70ppm，即93.8mg／Nm3。 固定污染源监测质量保证与质量控制技术规范（试行）（HJ/T 373-2007）中 5.3.5 核定氮氧化物排放量

核定氮氧化物排放量时，可现场测算氮氧化物排放量，与实测氮氧化物浓度对比，若两

者相差大于±50%，应立即现场复核，查找原因。 燃料燃烧过程中氮氧化物排放量可参考公式（8）计算。

氮氧化物排放量（千克）=燃料消耗量（吨）×排放系数（千克/吨） （8） 计算燃烧过程中氮氧化物排放量时，可参考表5 系数。

生产工艺过程产生的氮氧化物排放量可按公式（9）计算