线段在圆上最小及和最大问题

①当两点A和B在直线l同侧时，若求直线l上点P.使PA+PB最小值 作点B关于直线l的对称点B’,连结AB’交直线l于点P,此时PA+PB=PA+PB’=AB’

取除此之外的任意一点P’,根据三角形两边之和大于第三边，P’A+P’B=P’A+P’B’ ＞AB’,所以点P满足PA+PB最小值

②当两点A和B在直线l异侧时，作直线AB与直线l的交点为点P ③当两点A和B在直线l同侧时，作直线AB与直线l的交点为点M 此时|AM-BM|是最大值

取除此之外的任意一点N,根据三角形两边之差小于第三边，|NA-NB|﹤AB,而|MA-MB|=AB,所以这时|AM-BM|是最大值

④当两点A和B在直线l异侧时，作点B关于直线l的对称点B’,连结AB’交直线l于点M,此时, |AM-BM|是最大值

送你几道题

（2012福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平

面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得PA?PB的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则OP?OQ＝ ▲ ．

【答案】5。

【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】连接A

抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）

1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

1?x?2?(x?m)?m?0?与x 轴m相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

2. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:y?

抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）

1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

1?x?2?(x?m)?m?0?与x 轴m相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

2. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:y?

抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）

1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

1，（2012湖北恩施8分）

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小。（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x+2x+3），求得线段PQ=﹣x+x+2。由图示以及三角形的面积公式知S?APC法可知△APC的面积的最大值

抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）

1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

1，（2012湖北恩施8分）

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小。（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x+2x+3），求得线段PQ=﹣x+x+2。由图示以及三角形的面积公式知S?APC法可知△APC的面积的最大值

初中数学专题复习：最短距离问题分析

最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。 一、“最值”问题大都归于两类基本模型：

Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函

数的最大或最小值

Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，

大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大

都应用这一模型。

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”

B 几何模型：

A 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA?PB的值最小． l

P 方法：作点A关于直线l的对称点A?，连结A?B交l于点P，

则PA?PB?A?B的值最小（不必证明）．

A?模型应用：

十五、小 学 数 学 奥 数

——最大最小问题

〔简析〕人们碰到的各种优化问题、高傲低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小

学阶段的最大最小问题。最大最小问题涉及到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。

22〔例〕：有甲、乙两个两位数，甲数的等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少？

7322〔解析〕：甲数：乙数＝:?7:3，甲数是7份，乙数是3份。由甲是两位数可知，每份的

37数最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-4）＝56。 答：这两个数的差最多是56。

511、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的恰好等于乙数的，那么甲、乙两数的和最小是多

64少？

2、把14拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？ 3、三个自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。这三个数中最小的数是多少？ 4、有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是286。求所有这样的6个三位数中最小的三数数。

部分答案：

2、这要考虑一些隐售的限制条件，可以这样思考：

<1>要使14拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，但1不应了现，因为1与任何数的积仍为原数。

<2>拆出的加数不要超过4

隐圆求最值

例1（12年武汉中考）在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．

例2（13年武汉中考） 如图, E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点, 满足AE＝DF. 连接CF交BD于G, 连接BE交AG于点H. 若正方形的边长为2, 则线段DH长度的最小值是 .

例3、如图, △ABC中, ∠ABC＝90°, AB＝6, BC＝8, O为AC的中点, 过O作OE⊥OF, OE、OF分别交射线AB、BC于E、F, 则EF的最小值为 .

练习

1、如图, Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠ABC＝30°, AB＝6, 点D在AB边上, 点E是BC边上一点 (不与点B、C重合), 且DA＝DE, 则AD的取值范围是 .

2、如图, 已知边长为2的正△ABC, 两顶点A、B分别在直角∠MON的两边上滑动, 点C在∠MON内部, 则OC的长的最大值为 .

3、如图, ∠xOy＝45°, 一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、

隐圆求最值

例1（12年武汉中考）在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．

例2（13年武汉中考） 如图, E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点, 满足AE＝DF. 连接CF交BD于G, 连接BE交AG于点H. 若正方形的边长为2, 则线段DH长度的最小值是 .

例3、如图, △ABC中, ∠ABC＝90°, AB＝6, BC＝8, O为AC的中点, 过O作OE⊥OF, OE、OF分别交射线AB、BC于E、F, 则EF的最小值为 .

练习

1、如图, Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠ABC＝30°, AB＝6, 点D在AB边上, 点E是BC边上一点 (不与点B、C重合), 且DA＝DE, 则AD的取值范围是 .

2、如图, 已知边长为2的正△ABC, 两顶点A、B分别在直角∠MON的两边上滑动, 点C在∠MON内部, 则OC的长的最大值为 .

3、如图, ∠xOy＝45°, 一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、

初中几何中线段和（差）的最值问题

一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）、已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： A A

mPm

BB（2）点A、B在直线同侧：

A BA

P m B m

A'A、A’ 是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 A m（1）两个点都在直线外侧：

A mP'P Q'Q n n

B

B（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

A mA mPB B Q n nB' A'（3）两个点都在内侧： m mAAP

BBQ n nB'（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n 的nn内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使AABA'B得围成的四边形ADEB周长最短.

D填空：最短周长=________________

mEm变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别

B'上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

n A'nA

Q APm mA\ 1

二）、