第二章随机变量及其分布答案

第二章 随机变量及其分布

习题2.1 P73

2. 一颗骰子抛两次,以X表示两次中所得的最小点数. (1) 试求X的分布列;

(2) 写出X的分布函数, 并作图.

4. 有3个盒子,第一个盒子装有1个白球,4个黑球; 第二个盒子装有2个白球,3个黑球; 第三个盒子装有3个白球,2个黑球. 现任取一个盒子,从中任取3个球. 以X表示所取到的白球数.

(1) 试求X的概率分布列;

(2) 取到的白球数不少于2个的概率是多少?

6. 设随机变量X的分布函数为

?0,x?0;?1/4,0?x?1;??F(x)??1/3,1?x?3;

?1/2,3?x?6;???1,x?6.试求X的概率分布列及P(X<3),P(X≤3),P(X>1),P(X≥1).

11. 如果X的密度函数为

?x,0?x?1?p(x)??2?x,1?x?2

?0,其他?试求P(X≤1.5).

13. 设连续随机变量X的分布函数为

?0,x?0;?F(x)??Ax2,0?x?1;

?1,x?1.?试求 (1) 系数A;

(2) X落在区间(0.3,0.7)内的概率;

(3) X的密度函数.

15. 设随机变量X和Y同分布,X的密度函数为

?32?x,0?x?2; p(x)??8??0,其他.已知事件

第二章随机变量及其分布

一、选择题

1．假设连续函数F(x)是分布函数且F(0)=0，则下列函数可以作为分布函数的是

(A)

(B)

(C)

(D)

2．下列p

n

能成为概率分布的是

(A) ． (B) ．

(C) ． (D) ．

3．设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且满足P{X＜ρ}＞P{X＞σ}，则比值μ/σ

(A) 小于1． (B) 等于1． (C) 大于1． (D) 不确定．

4．假设随机变量X的概率密度f(x)是偶函数，分布函数为F(x)，则

(A) F(x)是偶函数． (B) F(x)是奇函数．

(C) F(x)+F(-x)=1． (D) 2F(x)-F(-x)=1．

5．假设随机变量X的分布函数为F(x)，概率密度函数f(x)=af

1(x)+b

2

(x)，其

中f

1(x)是正态分布N(0，σ2)的密度函数，f

2

(x)是参数为A的指数分布的密度

函数，已知，则

(A) a=1，b=0． (B) ．

(C) ． (D) ．

6．假设随机变量X的密度函数f(x)是偶函数，分布函数为F(x)，则对任意实数a有

(A) (B) ．

(C) F(-a)=F(a)． (D) F(-a)=2F(a)-1．

7．假设F(x)是随机变量X的分布函数，则下列结论不正确的是

(A) 如果F(a)

第二章 随机变量及其分布

一、填空题

1、设随机变量X的分布律为P(X?k)?a?kk!(k?0,1,2?),??0，则a? 。

2、设随机变量X服从参数为1/3的0—1分布，则X的分布函数为= 。 3、设随机变量X~N(1,4),P(X?a)?12，则a? 。

a(k?1,2?N),??0，则a? N4、设随机变量X的分布律为P(X?k)? 。

5、设随机变量X服从(0,1)区间上的均匀分布，则随机变量Y?X2的密度函数为 。

6、随机变量X的密度函数为f(x)?ke7、随机变量X的密度函数为X?(x?1)28 (???x???)，则k? 。

~N(1,4),则Y?2X?1~ 。

8、若P(X?x2)?1??,P(X?x1)??,x1?x2，则P(x1?X?x2)? 。 9、设离散型随机变量X的分布函数为

?0?a F(x)?? ?2?3?a?a?b?且P(X?2)?1，则a? 2x??1

?1?x?2

1?x?2x?2 ，b? 。 的密度函数为

x??2?f(x)??ke??01

学院： 专业： 班级： 学号： 姓名： 第二章 随机变量及其分布

（第三次）

一、选择题（每题4分，共40分） 1.设A,B为随机事件,P(AB)?0,则( ). A.AB??.

B.AB未必是不可能事件

?3x,0?x?11?6.设X的密度函数为f(x)??2，则P{X?}为( ).

4?0,其他?7A. 8 B.

???143xdx 2 C.1??14??3xdx 2 D.

2 37.设随机变量X服从0-1分布，又知X取1的概率为它取0的概率的一半，则P{X?1}?（ ）

A.

C.A与B对立 D.P(A)=0或P(B)=0

2.设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},则P{X?2}的值为( ）. A.e

?21 B.0 C.1 D.1

23

B.1?5 2e C.1?4 2e

D.1?2. 2e?0

学院： 专业： 班级： 学号： 姓名： 第二章 随机变量及其分布

（第三次）

一、选择题（每题4分，共40分） 1.设A,B为随机事件,P(AB)?0,则( ). A.AB??.

B.AB未必是不可能事件

?3x,0?x?11?6.设X的密度函数为f(x)??2，则P{X?}为( ).

4?0,其他?7A. 8 B.

???143xdx 2 C.1??14??3xdx 2 D.

2 37.设随机变量X服从0-1分布，又知X取1的概率为它取0的概率的一半，则P{X?1}?（ ）

A.

C.A与B对立 D.P(A)=0或P(B)=0

2.设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},则P{X?2}的值为( ）. A.e

?21 B.0 C.1 D.1

23

B.1?5 2e C.1?4 2e

D.1?2. 2e?0

概 率 统 计

第二章 随机变量及分布重点难点

一、重点、难点概要复述

随机变量的概率分布及其性质； 随机变量的分布函数的概念及其性质； 连续型随机变量的概率密度及其性质； 常见随机变量的概率分布； 随机变量函数的概率分布. 1．F(x)为随机变量X的分布函数的充分必要条件是 . 2.F(x)为随机变量X的分布函数，则P{a

7. 设X:N(?,?)，则P{a

二、常见问题及解法 （一）分布函数的问题

1.求随机变量的分布函数---定义法

2.判断一些函数是否为分布函数---三个基本性质应用

3.确定分布函数中的参数---分布函数的规范性或右连续性及连续型随机变量分布函数的连续性应用

4.求随机变量落在某区间的概率---用分布函数表示 （二）关于概率律的问题 1.求随机变量的概率的分布律

步骤：①确定随机变量的取值②求随机变量取各值的概率③列概率分布表④检验 2.已知随机变量的分布函数求其概率律

步骤：①由分布函数的间断点确定随机变量的取值②由分布函数求随机变量取各值的概率③列概率分布表④检验.

3.已知随机变量的概率分布求其分布函数---用公式F?x??形.

4.已知概率分布求某事件的概

安徽建筑工业学院数理系

第二章 随机变量及其分布 习 题 课一、重点与难点 二、主要内容

三、典型例题

2012年6月30日主讲:俞能福

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结束

安徽建筑工业学院数理系

一、重点与难点1.重点(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律 正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、 密度函数及有关区间概率的计算

2.难点连续型随机变量的概率密度函数的求法

2012年6月30日主讲:俞能福

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二、主要内容密 度 函 数 连 续 型 随机变量 分 布 函 数 分 布 律 离 散 型 随机变量

随 机 变 量

均 匀 分 布

指 数 分 布

正 态 分 布

随机变量 的函数的 分 布

定 义

两 点 分 布

二 项 分 布

泊 松 分 布

2012年6月30日主讲:俞能福

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结束

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随机变量定义 设 E 是随机试验 , 它的样本空间是 S { e }. 如 ,这 果对于每一个 e S , 有一个实数 X ( e ) 与之对应

样就得到一个定义在 随机变量 .

S 上的单值实值函数

X ( e ), 称

(1)随机变量与普通的函数不同 随机变量是一个函数 ,但它与普通的函数有着 本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而

2．1．1离散型随机变量

教学目标：

知识目标：1.理解随机变量的意义；

2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量 的例子；

3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.

能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力. 情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣. 教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题 教学过程：

一、复习引入：

展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲 某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，?，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，??10这11个数表示；

某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，

2．1．1离散型随机变量

教学目标：

知识目标：1.理解随机变量的意义；

2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量 的例子；

3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.

能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力. 情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣. 教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题 教学过程：

一、复习引入：

展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲 某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，?，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，??10这11个数表示；

某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，

第三章 多维随机变量及其分布

随机向量的定义：

随机试验的样本空间为S={?}，若随机变量X1(?),X2(?),…,Xn(?)定义在S上，则称（X1(?),X2(?),…,Xn(?)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,Xn）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint

2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；

marginal

3．X与Y的相互关系；

4．（X,Y）函数的分布。

§ 3.1 二维随机变量的分布

一．离散型随机变量 1．联合分布律

定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj), i，j=1,2…,取这些值的概率为

pij=P{(X,Y)=(xi,yi)}=p{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,…