随机变量的分布列

莱阳市第九中学 数学组

学习目标：1. 理解离散型随机变量及其分布列的概念与性 质 2. 会求出某些简单的离散型随机的分布列

3、理解两点分布何超几何分布及其推导过程， 并能简单的应用

一、讨论及要求(约10分钟) (一)重点讨论的问题：1、任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？随机 变量的定义? 2、随机变量与函数有何区别与联系？ 3、什么是离散型随机变量？ 4、什么是离散型随机变量的分布列？ 求分布列的步骤？ 3、两种特殊的分布？

(二)讨论要求： (1)小组内先集中讨论，再组内一对一讨论，小 组长注意控制讨论节奏，及时安排展示与点评。 (2)力争全部达成目标，且多拓展,注重方法总结， 力争全部掌握.

引例：(1)抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？ 探究一：能否把 (2)姚明罚球 2次有可能得到的分数有几种情况？ 掷硬币的结果也 正面向上， X =1,表 0 分 ， 1 分 ， 2 分 用数字来表示呢？ 示反面向上”可以，用“X=0,表示

1,2,3,4,5,6

(3)抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？

正面向上，反面向上思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一 种情况吗？ 分析：不行，虽然我们能够事先知道随机试验可能出现 的所有结果

2.离1散型随机量变 其分及布列()2

对于

一随机试验个，仅知道试验仅的可结能果是 够不，的要能还把每一个握果结发的生概.率引例抛 掷一骰子，枚得所点数的有X哪值？些每个取值概的率是少多 ？ :X解取的有值、21、3、4、、6151 件 事X= 的概率i为( =1, 2,i , 6 )记作P : =Xi 66 i=(, 21 ,,6

列)表成Xi=

11 6

216 3

16 416

51

66 6

的1式形P X=i 该表仅不列了随机出变量的所有X值取.而 且出了列的每X个一取的概值率

.分列布

离型散机变量的随布列分：般地一，离散型若随机量X变 能取的不同可值：为x1 x,,…2x,i…,,xnX取每 一x个 i(=1i2,,…,)n概率P的(Xx=)i=pi则，称表： X P1 p1 x2xp 2… …ix ip …… 为散离型随机变量的X率概分布列，简称为的分X布. 有时列为了达表单简也，用式等 P(X=xi)p=ii 1=,2…,, n来示表X的分列布

离散型随机变量分布列的应意注问题：X

P

1Px12xP

2…

x…Pii

…

…1、分布列构成的 ：()列出了离散1型机随变量X的有所取值 (;2求出)了的每X个取一的概率值；

第三章 多维随机变量及其分布

随机向量的定义：

随机试验的样本空间为S={?}，若随机变量X1(?),X2(?),…,Xn(?)定义在S上，则称（X1(?),X2(?),…,Xn(?)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,Xn）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint

2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；

marginal

3．X与Y的相互关系；

4．（X,Y）函数的分布。

§ 3.1 二维随机变量的分布

一．离散型随机变量 1．联合分布律

定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj), i，j=1,2…,取这些值的概率为

pij=P{(X,Y)=(xi,yi)}=p{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,…

离散型随机变量及其分布列测试题

一、选择题：

1、如果X是一个离散型随机变量，则假命题是( )

A. X取每一个可能值的概率都是非负数；B. X取所有可能值的概率之和为1； C. X取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；

D. X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 2、甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为?，若甲先投，则P(??k)?

A.0.6?0.4 B.0.24?0.76 C.0.4?0.6 D.0.76?0.24

3、设随机变量X等可能取1、2、3...n值，如果p(X?4)?0.4,则n值为（ ）

A. 4 B. 6 C. 10 D. 无法确定

4、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X?4表示的随机实验结果是（ ）

A. 一枚是3点，一枚是1点 B. 两枚都是2点

C. 两枚都是4点 D. 一枚是3点，一枚是1

1-7-2 随机变量分布列、期望、方差

1．在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示：

学生 数学(x分) 物理(y分) A1 89 87 A2 91 89 A3 93 89 A4 95 92 A5 97 93 (1)根据表中数据，求物理分y对数学分x的回归方程； (2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．

n

?xi－x??yi－y?^^^^^i∑^－＝1附：回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝y－bx，其中x，y为样本平n∑ ?xi－x?2＝

i1

均数．

2．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1,2,3三个问题，每位参赛者按问题1,2,3的顺序做答，竞赛规则如下：

①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1,2,3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；

②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．

311

已知甲同学回答1,2,3三个问题正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

《概率论与数理统计》内容提要及习题详解 第三章 多维随机变量及其概率分布 第 17 页 共 13 页

第三章 多维随机变量及其概率分布

【内容提要】

一、二维随机变量及其分布函数

【定义】设X?X(?),Y?Y(?)是定义于随机试验E的样本空间?上的两个随机变量，则称(X,Y)

为二维随机变量，称F(x,y)?P?X(?)?x,Y(?)?y?为其联合分布函数，而称:

F1(x)?P?X(?)?x?及F2(y)?P?Y(?)?y?分别为X,Y的边缘分布函数。

二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)具有如下性质: ⑴．非负性: ?x,y?R，有0?F(x,y)?1；

⑵．规范性: ?x,y?R，有F(x,??)?F(??,y)?0,F(??,??)?1； ⑶．单调性: 当x(或y)固定不变时，F(x,y)是y(或x)的单增函数； ⑷．右连续性: ?x,y?R，有F(x?0,y?0)?F(x,y)；

⑸．相容性: ?x,y?R，有F(x,??)?F1(x),F(??,y)?F2(y)； ⑹．特殊概率: 若x1?x2,y1?y2，则

P(x1?X?x2,y1?Y?y2)?F(x2,y2)?F(x1,y2)?F(x2,y

2013版高考数学一轮复习精品学案：第十一章 计数原理、概

率、随机变量及其分布 11.3随机变量及其分布

【高考新动向】

一、离散型随机变量及其分布列 1．考纲点击

（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；

（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 2．热点提示

（1）高考中对本节考查的重点是分布列的概念及其求法以及期望和方差的有关内容； （2）多以选择、填空的形式考查分布列的特点、服从超几何分布的随机变量的概率。 二、二项分布及其应用 1．考纲点击

（1）了解条件概率和两个事件相互独立的概念； （2）理解n次独立重复试验的模型及二项分布； （3）能解决一些简单的实际问题。 2．热点提示

（1）在选择、填空中考查条件概率、相互独立事件及n次独立重复试验的概率； （2）在解答题中考查这些概率，或者综合考查分布列、均值与方差等。 三、离散型随机变量的均值与方差 1．考纲点击

（1）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念；

（2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 2．热点提示

（1）以选择、填空题的形式考查离散型随机变量均值与方差的概念和计算； （

2．1．1离散型随机变量

教学目标：

知识目标：1.理解随机变量的意义；

2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量 的例子；

3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.

能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力. 情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣. 教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题 教学过程：

一、复习引入：

展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲 某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，?，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，??10这11个数表示；

某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，