简谐势阱波函数

简谐势阱中中性原子非线性 薛定谔方程的定态解

闫珂柱 谭维翰

给出了非线性定态薛定谔方程(NLSE)数值求解的一般方法，并求解了简谐势阱中中性原子NLSE的基态和激发态解.讨论了NLSE的波函数收敛与归一化问题，并对计算精度进行了分析.

1 引言

近几年来，玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)成为物理学的一个热点，这源于1995年三种碱金属原子(铷(87Rb)，钠(23Na)，锂(7Li))气体凝聚实验的实现［1—3］.它为这样一类体系特性的理论描述并提供了实验检验的基础.Einstein最早提出中性原子的凝聚是指自由中性原子在动量空间的凝聚，而上述三种碱金属原子的凝聚则是通过激光冷却、蒸发冷却磁阱中的原子而观察到的，其中铷与钠的散射长度a为正，当原子靠得很近时，表现出排斥作用，对于实现稳定的凝聚态是有利的，而锂原子的散射长度a为负，不利于实现稳定的凝聚态.有关的实验现象为对在势阱中中性原子实现BEC进行更为广泛而深入的理论探索提供了可能.情形确是如此，几乎与此同时就有关于磁阱中中性原子所满足非线性薛定谔方程

［4］

(NLSE)，即Gross-Pitaevskii方程定态解的研究，稍后不久又有NLSE非定态解的研究［5］，这些本应成为BEC

波函数和薛定谔方程

一、波函数的统计解释、叠加原理和双缝干涉实验

微观粒子具有波粒二象性（德布罗意假设）；

德布罗意关系（将描述粒子和波的物理量联系在一起）

E?h?????h??p?n??k?

物质波（微观粒子—实物粒子）

引入波函数（概率波幅）—描述微观粒子运动状态 对于微观粒子来说，如果不考虑“自旋”一类的“内禀”态，单值波函数是其物理状态的最详尽描述。至少在目前量子力学框架中，我们不能获得比波函数更多的物理信息。

微观粒子的状态用波函数完全描述

——量子力学中的一条基本原理

该原理包含三方面内容：粒子的状态用波函数表示、波函数的统计解释和对波函数性质的要求。

要明确“完全”的含义是什么。按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述体系的量子态，若已知单粒子（不考虑

?自旋）波函数?(r)，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，

而且如动量等粒子的其它力学量的概率分布也均可通过波函数而完全确定。由此可见，只要已知体系的波函数，便可获得该体系的一切物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述。

必须强调指出，波函数给出的有关粒子的“信息”本质上是统计性质的。例如，在适当条件下制备动量为p的

电子自旋和自旋波函数

摘要：运用利力学量算符和波函数的矩阵表示，在Sz表象中讨论了电子自旋算符及其波函数的构造，找出并证明了一些性质。同时对比轨道角动量和自旋角动量就自旋的本质提出新的问题

关键词：自旋；Sz表象；角动量

自旋是量子力学的特有概念，量子力学是随着物理学的发展为了解释微观领域的实验现象，在许多物理学家的共同努力下建立并逐渐完善起来的。其确立促进了实验工作的发展，特别在原子光谱的实验中，先后发现了光谱的精细结构和反常Zeeman效应。如在碱金属钠原子光谱中，起初看到有一条波长为589.3nm的黄线，由于光谱仪的分辨率的提高，后来发现它是两条谱线构成的。它的波长分别喂589.6nm和589.0nm，此即所谓碱金属光谱的双线结构。另外，在弱磁场中，一条光谱线会分裂成偶数条谱线，称为反常Zeeman效应。原有的量子理论已经无法解释这些新的物理现象。

1925年，为了解释，Uhlenbeck和Goudsimt提出了电子具有自旋的假设，稍后由Pauli加以完善。除上述实验现象外，Stern—Gerlach实验也是电子自旋±±的客观存在的重要实验依据，电子具有自旋就像电子具有的质量和电荷一样，电子的自旋也是表征电子固有属性的物理量，

量子阱能级与波函数的MATLAB实现

哈尔滨师范大学

毕 业 论 文

题 目 量子阱能级和波函数的MATLAB实现 学 生 王勇

指导教师 孙文军 教授 年 级 2010级

专 业 物理学（通用技术） 系 别 物理系

学 院 物理与电子工程学院

哈尔滨师范大学

2013年5月

量子阱能级与波函数的MATLAB实现

量子阱能级与波函数的MATLAB实现

王勇

摘 要：在量子力学中，通过对求解一维多量子阱束缚态能级满足的超越方程，我们可以求出量子阱的能级表达式。另外，通过薛定谔方程求出对氢原子波函数满足的方程，在MATLAB中通过程序的编辑，可以方便地绘制量子阱能级和波函数的空间分布图，指出MATLAB软件是解决量子力学可视化的有效工具。 关键词：MATLAB；量子阱能级；波函数

量子力学作为物理类学生必修的一门专业课. 一直以来以教师难教、学生难学而著称，量子力学主要研究微观尺度下粒子的行为与相互作用/，例如量子力学中的许多概念如角动量理论，波函数等抽象难懂. 一些量子力学现象如隧道效应、势垒反射等与宏观现实不相符. 同时这些理论和现象无法直接用肉眼观察，使得这些理论和现象更加晦涩难懂. 因此，在量子力

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第二章 波函数和薛定谔方程b

?? 第二章 波函数和薛定谔方程 § 学习指导 本章主要介绍微观粒子运动状态的描述方法、演化规律以及此带来的新特点，并以一维情况作例子进行具体说明。 根据实验，微观粒子具有波粒二象性。经典波一般用振幅A(r,t)与位相?(r,t)来描述， vvvi?(r它们可以统一写为?(r,t)?A(r,t)e,t)，在量子力学中沿用坐标与时间的复值函数 vvvv?(r,t)来描述微观粒子的运动状态，称为波函数。经典情况下，模方|?(r,t)|2表示波的 强度；量子情况下，|?(r,t)|2表示粒子出现的概率密度，因此需要把波函数归一化。 波函数随时间的变化薛定谔方程确定。按照波函数的演化形式，粒子运动可以分为定态和非定态。在定态中，粒子的概率密度不随时间变化。按照定态波函数的空间形式，粒子运动可以分

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１.原子轨道角度分布图“★★”

波函数的角向部分Yl,m（θ，? ，又称原子轨道的角向部分，若以原子核为坐标原点，引出方向为（θ，?）的直线，连结所有这些线段的端点，在空间可形成一个曲面。这样的图形称为Y的球坐标图，并称它为原子轨道角度分布图。 作图前，必需首先要知道原子轨道角向部分Yl,m（θ，?）的计算式。它由解薛定谔方程求得，也可从有关手册中查得。表５－３列出氢原子若干径向部分和角向部分，供参考。

例如 氢原子

[例5－1] 画出氢原子1s原子轨道角度分布图Y。 解：由解薛定谔方程可知

从上式可知，Y只是一个常数，与θ，角度无关。画出的氢原子1s原子

1s

轨道角度分布图是一个球曲面。半径为（1/4π）

l,m

1/2

。

由于原子轨道的角向部分Y（θ，?）只与量子数l，m有关，而与主量子数n无关。因此，1s，2s，3s原子轨道的角度分布图都是相同的球曲面。p，d，f系列原子轨道同样如此。故在原子轨道角度分布图中，常不标明轨道符号前的主量子数。

[例5－2] 画出2p原子轨道角度分布图。 解：由解薛定谔方程可知

z Yp= (3/4π)cosθ（与无关） 或 Ypz =

19-3

波函数

薛定谔方程薛定谔(Erwin Schrodinger,887~1961) 奥地利物理学家.

1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 动力学,并建立了量子力学的近似方法 .量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间， 两个等价的理论 —— 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学(1928 年，狄拉克): 描述高速运动的粒子的波动方程 .

一、波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。1、自由粒子的波函数

设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运动 (设沿X轴),其动量、能量保持恒定。

E const E h恒定！

P const h p

X

恒定！

从波动观点看来：这种波只能是单色平面波

单色平面简谐波波动方程为：y( x, t ) A cos 2 ( x t )

用指数形式表示：

y( x , t ) Ae其波函数为： 依德布罗 意关系式 波函数：

i 2 (

x

t )

0 e E h , i

i 2 (

x

t )

h p

( r , t ) 0e

( p x Et )

0e

i ( Et p x )

注意：波函数一般要用复数表示！

波函

I.波函数与Schrodinger方程

1. 经典波有波函数吗？ 量子波函数与经典波函数有什么异同？

答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿 轴方向传播的平面单色波，波动动量

对 和 的函数——波函数可写为

，其复指数形式为 ，波函数 给出了传播方向上时刻 在点处的振动

状态。经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝ k 及 E ＝ ω 代入上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 )

.

经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一

小波函数性质及其对小波分析结果的影响

Ξ

何岭松

(华中理工大学机械学院信息所　武汉,430074)摘要　分析了小波变换在图像处理、语音处理领域和设备故障诊断领域的应用特点,指出了两者的不同之处。并进一步讨论了小波函数的性质及其对小波变换结果的影响,指出在用小波变换进行诊断信号分析和特征提取时,小波函数的影响是不容忽视的。

关键词:小波分析;信号分析;故障诊断;滤波器中图分类号:TN 911

图像和语言信号压缩是小波分析最成功的应用领域,其典型的应用过程为:

原始信号→正小波变换→信号压缩→存储、传输→逆小波变换→信号重构

而在设备故障诊断领域,小波变换的主要作用是信号特征提取,其典型的应用过程为:

原始信号→正小波变换→信号特征提取

在图像和语音信号处理中,小波变换是作为一个中间工具,信号压缩和信号重构中正、反小波变换的作用相互抵消。从理论上说小波变换对处理结果没有影响。但在设备故障诊断信号处理中,只进行了正向小波变换,因此分析结果中不可避免地带有小波变换本身性质的影响,而这种影响是不容忽略的。

1　小波函数的性质及其影响

小波变换实质上是用小波函数对信号进行卷积分,小波函数的性质决定了小波变换的性质。在快速算法中,小波函数用一对数字滤波器来表达,相应的小波变换

小波函数性质及其对小波分析结果的影响

Ξ

何岭松

(华中理工大学机械学院信息所　武汉,430074)摘要　分析了小波变换在图像处理、语音处理领域和设备故障诊断领域的应用特点,指出了两者的不同之处。并进一步讨论了小波函数的性质及其对小波变换结果的影响,指出在用小波变换进行诊断信号分析和特征提取时,小波函数的影响是不容忽视的。

关键词:小波分析;信号分析;故障诊断;滤波器中图分类号:TN 911

图像和语言信号压缩是小波分析最成功的应用领域,其典型的应用过程为:

原始信号→正小波变换→信号压缩→存储、传输→逆小波变换→信号重构

而在设备故障诊断领域,小波变换的主要作用是信号特征提取,其典型的应用过程为:

原始信号→正小波变换→信号特征提取

在图像和语音信号处理中,小波变换是作为一个中间工具,信号压缩和信号重构中正、反小波变换的作用相互抵消。从理论上说小波变换对处理结果没有影响。但在设备故障诊断信号处理中,只进行了正向小波变换,因此分析结果中不可避免地带有小波变换本身性质的影响,而这种影响是不容忽略的。

1　小波函数的性质及其影响

小波变换实质上是用小波函数对信号进行卷积分,小波函数的性质决定了小波变换的性质。在快速算法中,小波函数用一对数字滤波器来表达,相应的小波变换