吉林大学离散数学大作业

2014-2015学年第二学期期末《离散数学》大作业

一、简要回答下列问题：（每小题3分，共30分）

1．请给出集合运算的等幂率。 答：等幂律 A?A=A，A?A=A

2．请给出一个集合A，并给出A上既具有对称性，又具有反对称性的关系。 答：设A={1,2,3}, R={（1，1），（2，2），（3，3）} 既对称又反对称。

3．设A={1，2，3}，问全域关系是否具有自反性，对称性 ？ 答：是，全域关系具有自反性、对称性

4．设A={1，2，3，4，5，6}，R是A上的整除关系，M={4,3}，求M的上界，下界。 答：上界 无 下界 1

5．关于P，Q，R请给出使极小项m1，m7为真的解释。

答：P=0,Q=0,R=1, ?P∧?Q∧R，记为m1 取1值，为真； P=1,Q=1,R=1，P∧Q∧R 记为m7 取1值，为真。

6．什么是图中的回路，请举一例。

设G=(P,L)是图，(v0 ,v1, …, vn)是G中从v0 到vn的路，称此路为简单路，如果 （1） v0 , …, vn-1互不相同 （2） v1 , …, vn互不相同

显然，一条简单路(v0 ,v1, …, vn)，除v0与 vn可以相同外，其他任意

一、简答题（共50分）

1. （4分）设集合G={a,b,c}，试定义G上的“· ”运算，使得(G，·)构成一个群（给出运算表）。并指出(G，·)中的单位元和每个元素的逆元素。 2. （2分）n（n>1）元有限群中，一共存在多少个幂等元？

3. （2分）设?=(1 3 2 4)，?=(1 3 4)，请把??写成若干对换乘积的形式。 4. （2分）设G是3次对称群，H={I, (2 3)}是G的子群，求H的所有左陪集。 5. （2分）在4次对称群中，请写出由（1 3 4）生成的子群。

6. （2分）设S={1, 2, 3, 4, 5,6},?是模7乘法运算，请指出群(S, ?)中每个元素的逆元素。

7. （2分）设群G中的元素a的周期为8，则a6的周期是多少？ 8. （2分）写出模12剩余环中所有的零因子。

9. （2分）在整数环Z中，包含主理想（21）的极大理想有哪些？ 10. （2分）若子群H在群G中指数是2，则H一定是G的正规子群吗？ 11. （2分）在12元循环群(a)中，求子群（a3）的所有陪集。

12. （2分）设G是由a生成的6元循环群，设σ（n）=an是整数加法群（Z，+）到G内的映射，则σ是同态映射吗？如果是，求出σ的同态核。

第二章 命题逻辑

§2.2 主要解题方法

2.2.1 证明命题公式恒真或恒假

主要有如下方法：

方法一. 真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每

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一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。

真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。

例2.2.1 说明 G= (P?Q?R)?(P?Q)?(P?R)是恒真、恒假还是可满足。

解：该公式的真值表如下：

P Q R P?QP?(P?QP?R G ?R Q ?R)?(P?Q) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 表2.2.1

由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故

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1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 G恒真。

方法二. 以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。

例2.2.2

2014-2015学年第一学期期末《离散数学》大作业

一、简要回答下列问题：（每小题3分，共30分）

1．请给出集合的结合率。

答：结合律(AUB)UC=AU(BUC)x∈(AUB)UC，即 x∈AUB 或 x∈C即 x∈A 或 x∈B 或 x∈C即 x∈A 或 x∈B∪C即 x∈AU(BUC)说明 (AUB)UC包含于AU(BUC)同理可证AU(BUC)包含于(AUB)UC所以(AUB)UC=AU(BUC)

2．请给出一个集合A，并给出A上既不具有自反性，又不具有反自反性的关系。

3．设A={1，2}，问A上共有多少个不同的对称关系？ 答：不同的对称关系有：8种 R = Φ R = {<1,1>} R = {<2,2>}

R = {<1,1>,<2,2>} R = {<1,2>,<2,1>}

R = {<1,1>,<1,2>,<2,1>} R = {<1,2>,<2,1>,<2,2>}

R = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}

4．设A={1，2，3，4，5，6}，R是A上的整除关系，M={2,3}，求M的上界，下界。

5．关于P，Q，R请给出使极小项m0，m4为真的解释。 答：m0= ┐p∧┐q∧┐r m4 = p∧┐q∧┐r

6．什么是图中的简单路？请举一例。

答：图的通路中，所有边e1,e2,…,ek互不相同，称为简单通路。

7．什么是交换群，请举一例。

一、简答题（共20小题，每小题2分，共40分，不必证明，直接给出答案即可）

1. 设S={a,b,c,d}，定义ρ(S)上的二元运算“－”，使对于任意A、B ρ(S)，A－B={x|x A且x B}，问：该运算满足消去律吗？ρ(S)上存在幂等元吗？

2. 所有的4元群都同构吗？所有的7元群都同构吗？

3. 整区中是否存在零因子？整区中所有非零元素的乘法周期都相等吗？

4. 设循环群G=(a)，|G|=24，则G中是否存在周期为5的元素？是否存在8元子群？

5. 设a GF(27)且a≠0，求6a和a26。

6. 在R13求2

4-4。

7. 设（G，·）是群，请给出满足方程a·b·x·c =1的解x，其中：1是G的单位元，a、b、c G。

8. 设G={e,a,b,c,d,f,g},（G，·）是群，e是G的单位元，计算a·b·c·d·f·g等于多少？

9. 设循环群G=(a)，H是G子群，则H是正规子群吗？

10. 写出模12剩余环的一个极大理想。

11. 域F上的非0多项式f(x)有k（k为非负整数）重根，则f(x)一定可约吗？

12. 给出多项式x5+5x4+2x3

一、简答题（共20小题，每小题2分，共40分，不必证明，直接给出答案即可）

1. 设S={a,b,c,d}，定义ρ(S)上的二元运算“－”，使对于任意A、B?ρ(S)，A－B={x|x?A且x?B}，问：该运算满足消去律吗？ρ(S)上存在幂等元吗？ 2. 所有的4元群都同构吗？所有的7元群都同构吗？

3. 整区中是否存在零因子？整区中所有非零元素的乘法周期都相等吗？

4. 设循环群G=(a)，|G|=24，则G中是否存在周期为5的元素？是否存在8元子群？

5. 设a?GF(27)且a≠0，求6a和a26。 6. 在R13求

24-4。

7. 设（G，·）是群，请给出满足方程a·b·x·c =1的解x，其中：1是G的单位元，a、b、c?G。

8. 设G={e,a,b,c,d,f,g},（G，·）是群，e是G的单位元，计算a·b·c·d·f·g等于多少？

9. 设循环群G=(a)，H是G子群，则H是正规子群吗？ 10. 写出模12剩余环的一个极大理想。

11. 域F上的非0多项式f(x)有k（k为非负整数）重根，则f(x)一定可约吗？ 12. 给出多项式x5+5x4+2x3+3x+1的一个有理根。

13. 在R2上给出两个多项式f(x)和g(x)，

离散数学标准化作业纸 专业班级 学号 姓名 第一章 命题逻辑的基本概念

一、判断下列语句是否是命题，若是命题是复合命题则请将其符号化 （1）中国有四大发明。 （2）2是有理数。 （3）“请进！”

（4）刘红和魏新是同学。 （5）a+b

（6）你去图书馆吗？

（7）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。

（8）侈而惰者贫，而力而俭者富。（韩非：《韩非子?显学》） （9）火星上有生命。 （10）这朵玫瑰花多美丽啊！

二、将下列命题符号化，其中p:2<1,q:3<2 （1）只要2<1，就有3<2。 （2）如果2<1，则3?2。 （3）只有2<1，才有3?2。 （4）除非2<1，才有3?2。 （5）除非2<1，否则3?2。 （6）2<1仅当3<2。 三、将下列命题符号化

(1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨。 (2)王栋生于1992年或1993年。

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离散数学标准化作业纸 专业班级 学号 姓名 四、设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r) （2）（p?r）

-离散数学 专业班级 学号 姓名 第一章 命题逻辑的基本概念

一、单项选择题

1．下列语句中不是命题的有（ ）.

A 9+5?12 B. 1+3=5 C. 我用的电脑CPU主频是1G吗？D.我要努力学习。 2. 下列语句是真命题为( )．

A. 1+2=5当且仅当2是偶数 B. 如果1+2=3，则2是奇数 C. 如果1+2=5，则2是奇数 D. 你上网了吗？ 3. 设命题公式?p( )

?(q?r),则使公式取真值为1的p，q，r赋值分别是

(B)0,0,1(C)0,1,0(D)1,0,0

(A)0,0,04. 命题公式(p?q)?q为 ( )

(A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式 5. 设p:我将去市里,q：我有时间．

命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为为( )

(A)q?p(B)p?q(C)p?q(D)?p??q 6．设P：我听课,Q：我看小说. “我不能一边听课，一边看小说”的符号为（ ） A. P??Q ； B. ?P?Q； C. ?Q

承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。 华东交通大学2009—2010学年第二学期考试卷 专业 班级 学号 学生签名： 试卷编号： （ ）卷 离散数学 课程 课程类别：必 开卷(范围)（ ）： 考试日期： 题号 一 二 三 四 五 六 七 题分 得分 总分 累分人100 签名 考生注意事项：1、本试卷共 页，总分 分，考试时间100分钟。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。 一、选择题 1．下列选项中错误的是____________。 A．Φ?Φ B．Φ?Φ C．Φ ?{Φ} D．Φ?{Φ} 2．下列语句中，___________是假命题。 A．如果时间流逝不止，你可以长生不老； B．伦敦是英国的首都； C．太阳是地球的行星吗？ D

波普分析

一、简答：

1：色散型光谱仪主要有哪些部分组成？

答：由光源、分光系统、检测器三部分组成。

2：在质谱中亚稳离子是如何产生的以及在碎片离子解析过程中的作用是什么？

答：离子m1在离子源主缝至分离器电场边界之间发生裂解，丢失中性碎片，得到新的离子m2。这个m2与在电离室中产生的m2具有相同的质量，但受到同m1一样的加速电压，运动速度与m1相同，在分离器中按m2偏转，因而质谱中记录的位置在m*处，m*是亚稳离子的表观质量，这样就产生了亚稳离子。

由于m*＝m221，用m*来确定m1与m2间的关系，是确定开裂途经最直接有效的方法。

3：在32的氢核磁共振谱图中可观察到其中有四重峰及三重峰各一组．(1)说明这些峰的产生原因;(2)哪一组峰处于较低场?为什么

答：（１）由于, 位质子之间的自旋偶合现象，根据（1)规律，3-质子核磁共振峰被亚甲基质子裂分为三重峰，同样，亚甲基质子被邻近的甲基质子裂分为四重峰．

（２）由于位质子受到羧基的诱导作用比质子强，所以亚甲基质子峰在低场出峰（四重峰）．

4：红外光谱产生必须具备的两个条件；

答：一是红外辐射的能量应与振动能级差相匹配，即E光＝△Eν，二是分子在振动过程中偶极矩的变化必须不为零。

5：在质谱中亚稳离子是如何产生的