夜雨教你数学竞赛讲义

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初中数学竞赛辅导讲义（初三）

第一讲 分式的运算

[知识点击]

1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]

111 + + 222x?3x?2x?5x?6x?7x?12111解：原式= + +

(x?1)(x?2)(x?2)(x?3)(x?3)(x?4)111111= - + - + - x?1x?2x?2x?3x?3x?43 =

(x?1)(x?4)x?y?z(x?y)(y?z)(z?x)x?y?z?x?y?z例2． 已知 = = ，且xyz?0，求分式的值。

yxyzzx例1．化简

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.. ?x?y?kz(1)x?zx?yy?z?解：易知： = = =ｋ 则?x?z?ky(2) （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0

yzx?y?z?kx(3)?若ｋ=2则原式= k = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k =

第五章 数列

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.

定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=

n(a1?an)n(n?1)?na1?d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，

22则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn. 定义3 等比数列，

奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编

数学竞赛讲义之行程问题(Ⅲ)

§5、多车相遇

例72、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？

例题求解：我们知道，一辆车走完全程需要15分钟，所以一辆车刚发出时，

途中有15÷5－1＝2辆车

所以当某人骑车出发，而甲站恰发车时，在途中有两辆车子，可以相遇， 所以共相遇10辆车，于是又发车8辆相遇， 恰到达时，又发车，于是发车9辆时，甲到达， 即有8个时间间隔，时间为5×8＝40分钟。 所以某人骑完全程时间为40分钟。

例73、某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔。 例题求解：

-1-

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我们知道两辆电车的间隔相等，两次相遇期间，共行走了[(行人+电车)×4]，所以两辆电车

(行人＋电车)的间隔为[(行人+电车)×4]，于是两辆

高等数学（数学分析）竞赛辅导讲稿

一、 函数

函数，主要考察考生对函数的概念及性质的理解和掌握。包括函数的连续性。闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理），并会应用这些性质。

问题1 试证不存在?1上的连续函数f，使得f在无理数集上是一一映射，在有理数集上不是一一映射。

证 若不然，则存在a,b??，使得f(a)?[a,b]上的最大值和最小值分别为Mf(b)?L且a?b。设f(x)在

和m。若f在[a,b]上取常值，则f在

?L无理数集上不是一一映射。于是Ma?c?b或m?L。不妨设L?M?f(c)，

，则由f(?)可数、开区间(L,M)不可数知(L,M)?f(?)??。

任取某个h?(L,M)?f(?)，分别在?a,c?和?c,b?上应用介值性定理

必有s和t使得a?s?c?t?b且f(s)?t都是无理数，这与f因h?(f(t)?h。LM,)f?()?，故s和

在无理数集上是一一映射矛盾。

问题2 若一族开区间{I?|???}覆盖了闭区间[0,1]，则必存在一个正数??0，使得[0,1]中的任意两点x1,x2满足x1?x2??时，

x1,x2必属于某个开区间I??{I?}。

证 不妨设每个开区间都是有限区间。

数学建模竞赛介绍

哈尔滨理工大学

2013年6月

简要提纲I. 数学建模竞赛及发展 II. 本校区数学建模情况 III. 如何开展数学建模活动 IV. 数学建模教学的促进作用 V. 数学建模能解决哪些问题？ VI.竞赛中常用的数学软件 VI. 数学建模论文写作 VII. 数学建模案例

I. 数学建模竞赛及发展

数学建模竞赛(MCM )简介 Mathematical Contest in Modeling 美国大学生数学建模竞赛(MCM) 中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)

竞赛内容与形式简介Mathematical Modeling

实际问题

数学

美国大学生数学建模竞赛(MCM) 1985年开始举办，每年一次(2月);现有人称作“国际竞赛” 1999年起又同时推出交叉学科竞赛 (Interdisciplinary Contest in Modeling – ICM)

我国大学生1989年(清华等)开始每年都参加，用英文答卷 1996年起，复旦/中国科大/华东理工/清华/浙大/国防科大/北大 /东华大学/东南大学/电子科大等先后获最高奖(Outstanding) 奖励：获奖证书 每年赛题和优秀答卷刊登于同年 UMAP杂志

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第十二章 立体几何

一、基础知识

公理1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内．则这条直线在这个平面内，记作：a a．

公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。

公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面． 推论l 直线与直线外一点确定一个平面．

推论2 两条相交直线确定一个平面．

推论3 两条平行直线确定一个平面．

公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．

定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．

定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．

定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直． 定理1 如果一条直线与平

深圳第二实验学校高二数学竞赛专题讲义

高斯函数(1) [知识点金]

1. 有关概念

对于任意实数x,?x?为不超过x的最大整数,,y??x?称为取整函数或叫高斯函数,并将y??x??x??x?称为小数部分函数,表示x的小数部分.

2. 重要性质

(1) y??x?的定义域是R,值域为Z; (2) 如果x?R,n?Z,则有?n?x??n??x?; (3) 对任意x?R,有?x??x??x??1,x?1??x??x; (4) 当x?y时,有?x???y?,即y??x?是不减函数; (5) 对于x,y?R,有?x???y???x?y???x???y??1; (6) 如果n?N?,x?R,则?nx??n?x?; ?x???x??(7) 如果n?N,x?R,则?????.

nn?????3. 常用方法

(1) 定义法 (2) 讨论 (3) 分组法 (4) 去整法 (5) 构造法

[例题精析]

例1 求方程3

例2 解方程 8?3x??5?2x??3.

例3 求方程lgx??lgx??2?0的实数根的个数.

22x???10?3x?1???32x???10?3x?1??82??80的解的个数

高2015级数学竞赛讲义LIULIANG 解析几何——椭圆 一、椭圆知识点 1、椭圆的定义 （1）第一定义： 平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1?PF2?2a?F1F2) ,这个动点P的轨迹叫椭圆.定点F1、F2叫椭圆的焦点，两焦点的距离F1F2叫作椭圆的焦距. 注意：若(PF1?PF2?F1F2)，则动点P的轨迹为线段F1F2； 若(PF1?PF2?F1F2)，则动点P的轨迹无图形. （2）第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数 e?ca(0?e?1)的动点M的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 2、椭圆的标准方程，图形及几何性质。 标准方程 x2?y2y2a2b2?1 (a?b?0) a2?x2b2?1 (a?b?0) 图形 焦点 F1(?c,0)，F2(c,0) F1(0,?c)，F2(0,c) 焦距 FFc性质 12?2 F1F2?2c 范围 x?a，y?b x?b，y?a 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 (?a,0)，(0,?b) (0,?a)，(?b,0) 轴长 长轴长=2a，短轴长=2b 离心率 e?

高三物理竞赛辅导

磁场与电磁感应第一讲 磁场

主讲：孙琦

一、毕奥——萨伐尔定律与磁力矩 1．毕奥——萨伐尔定律

如图所示，设ΔL为导线的一段微元，其电流强度为I，则在真空中距该“线微元”为r的P处，此通电线微元产生的磁感应强度为：?B??7?0I?Lsin?，式中?为电流方向24?r与r之间的夹角，?0?4??10T?m/A，?B的方向可由右手定则得。

⑷细长密绕通电螺线管内的磁感应强度为:B??0nI,n是螺线管单位长度上线圈的匝数,此式表示的是匀强磁场 2．磁力矩

匀强磁场对通电线圈作用力的磁力矩的计算式为：M?NBIScos? 式中的N为线圈匝数，I为线圈中通过的电流强度，θ为线圈平面与磁场方向所夹的角，S为线圈的面积，而不管线圈是否是矩形，且磁力矩的大小与转轴的位置无关。

例1.如图所示，将均匀细导线做成的环上的任意两点A和B与固定电源相连接起来，计算由环上电流引起的环中心的磁感应强度。

例2.一个质量均匀分布的细圆环，其半径为r，质量为m，令此环均匀带正电，总电量为Q。现将此环放在绝缘的光滑水平面上，如图所示，并处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下，当此环绕通过其中心的竖直轴以

第二部分 空间与图形

20、线段与角

思考练习

1、已知线段AB＝16，C为AB上的一点，且AC∶CB＝3∶5，M、N分别为AC、AB的中点，求MN的长．

A

M

C N

B

2、在直线l上取A、B两点，使AB＝10cm，再在l上取一点C，使AC＝2cm， M、N分别为AB、AC的中点，求MN的长．

3、在一条直线形流水线上，依次在A1、A2、A3、A4、A5处有5个具有同样性能的机器人在工作，每隔一定时间，它们要去取零件，将零件箱放在何处，才能使机器人取零件花费的总时间最少？

P

100m 200m A区

B区

C区

A1 A2 A3 A4 A5

4、某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示，公司的班车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路线总和最少，那么停靠点的位置应在何处?

5、如图，已知?AOE和?COG都等于90?，

G F E

D C B O A ?BOC??FOG，则图中以O为顶点的锐角共有_____个．

6、时钟在12点25分时分针与时针之间的夹角度数为______． 7、若一个角的补角等于这