多元高斯分布公式

多元高斯分布计算

Multivariate Gaussian Distribution

2009-04-28

该程序实现多元高斯分布计算。高斯分布，也称正态分布，又称常态分布。对于随机变量X，其概率密度函数如图所示。称其分布为高斯分布或正态分布，记为N（μ，σ2），其中为分布的参数，分别为高斯分布的期望和方差。当有确定值时，p(x)也就确定了，特别当μ=0，σ2=1时，X的分布为标准正态分布。μ正态分布最早由棣莫佛于1730年在求二项分布的渐近公式时得到；后拉普拉斯于1812年研究极限定理时也被引入；高斯（Gauss）则于1809年在研究误差理论时也导出了它。高斯分布的函数图象是一条位于x轴上方呈钟形的曲线，称为高斯分布曲线，简称高斯曲线。 Calculates samples from a multivariate Gaussian distribution.

基于多高斯分布的背景生成算法

Background Generation Algorithm Based on Gaussian Distributions

邵叶秦 任明武 杨静宇

提出一种基于序列图像的改进的多高斯分布背景生成算法。该算法在用多高斯分布背景中每个像素建模的基础上，

多元高斯分布计算

Multivariate Gaussian Distribution

2009-04-28

该程序实现多元高斯分布计算。高斯分布，也称正态分布，又称常态分布。对于随机变量X，其概率密度函数如图所示。称其分布为高斯分布或正态分布，记为N（μ，σ2），其中为分布的参数，分别为高斯分布的期望和方差。当有确定值时，p(x)也就确定了，特别当μ=0，σ2=1时，X的分布为标准正态分布。μ正态分布最早由棣莫佛于1730年在求二项分布的渐近公式时得到；后拉普拉斯于1812年研究极限定理时也被引入；高斯（Gauss）则于1809年在研究误差理论时也导出了它。高斯分布的函数图象是一条位于x轴上方呈钟形的曲线，称为高斯分布曲线，简称高斯曲线。 Calculates samples from a multivariate Gaussian distribution.

基于多高斯分布的背景生成算法

Background Generation Algorithm Based on Gaussian Distributions

邵叶秦 任明武 杨静宇

提出一种基于序列图像的改进的多高斯分布背景生成算法。该算法在用多高斯分布背景中每个像素建模的基础上，

高斯投影坐标正反算

一、基本思想：

高斯投影正算公式就是由大地坐标（L，B）求解高斯平面坐标（x，y），而高斯投影反算公式则是由高斯平面坐标（x，y）求解大地坐标（L，B）。

二、计算模型：

基本椭球参数： 椭球长半轴a 椭球扁率f

椭球短半轴：b?a(1?f)

a2?b2椭球第一偏心率 ：e?

aa2?b2椭球第二偏心率 ：e?? b高斯投影正算公式：此公式换算的精度为0.001m

x?X??NN2??sinBcosB?l?simBcos3B(5?t2?9?2?4?4)l??4242???24???

N5246??sinBcosB(61?58t?t)l720???6y?NN3223??cosB?l???cosB(1?t??)l???6???3N5242225???cosB(5?18t?t?14??58?t)l120???5

其中：角度都为弧度

B为点的纬度，l???L?L0，L为点的经度，L0为中央子午线经度；

N为子午圈曲率半径，N?a(1?esinB)； t?tanB；

22?12?2?e?2cos2B

????180??3600

其中X为子午线弧长：

1616??X?a0B?sinBcosB?(a2?a4?a6)?(2a4?a6)sin

高斯投影坐标正反算

一、相关概念

大地坐标系由大地基准面和地图投影确定，由地图投影到特定椭圆柱面后在南北两极剪开展开而成，是对地球表面的逼近，各国或地区有各自的大地基准面，我国目前主要采用的基准面为：

1.WGS84基准面，为GPS基准面，17届国际大地测量协会上推荐，椭圆柱长半轴a=6378137m，短半轴b=6356752.3142451m；

2.西安80坐标系，1975年国际大地测量协会上推荐，椭圆柱长半轴a=6378140m，短半轴b=6356755.2881575m;

3.北京54坐标系，参照前苏联克拉索夫斯基椭球体建立,椭圆柱长半轴a=6378245m, 短半轴b=6356863.018773m;

通常所说的高斯投影有三种，即投影后：

a) 角度不变（正角投影），投影后经线和纬线仍然垂直； b) 长度不变； c) 面积不变；

大地坐标一般采用高斯正角投影，即在地球球心放一点光源，地图投影到过与中央经线相切的椭圆柱面上而成；可分带投影，按中央经线经度值分带，有每6度一带或每3度一带两种(起始带中央经线经度为均为3度，即：6度带1带位置0-6度，3度带1带位置1.5-4.5 度)，即所谓的高斯-克吕格投影。

图表 11高斯投影和分带

§8.3高斯投影坐标正反算公式

任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R偏微分方程），还有它本身的特殊条件。 8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l x,y

高斯投影必须满足以下三个条件：

①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x为l的偶函数，y为l的奇函数；l 30

30 ，即l /

1/20，如展开为l的级数，收敛。

x m24

6

0 m2l m4l m6l y m3

5

（8-33）

1l m3l m5l

式中

m0,m1, 是待定系数，它们都是纬度B的函数。

由第三个条件知：

xx y

q

y l, l q

(8-33)式分别对l和q求偏导数并代入上式

m1 3m24

dm0dm22

dm44

3l 5m5l

dq

dql dql 2ml3

6m5

6l

dm1 (8-34)

dq

l

dm355

2l 4m4dq

l3

dmdq

l

上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l前的系数应相等，即

mdm01

dq

m 1dm1

22

dq

(8-35)

m1dm2

3 3

§8.3高斯投影坐标正反算公式

任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R偏微分方程），还有它本身的特殊条件。 8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l x,y

高斯投影必须满足以下三个条件：

①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x为l的偶函数，y为l的奇函数；l 3030 ，即l / 1/20，如展开为l的级数，收敛。

x m0 m2l2 m4l4 m6l6 y m1l m3l3 m5l5

（8-33）

式中m0,m1, 是待定系数，它们都是纬度B的函数。 由第三个条件知：

x y x y

, q l l q

(8-33)式分别对l和q求偏导数并代入上式

dm0dm22dm44

m1 3m3l 5m5l l l

dqdqdq

(8-34) dm33dm55dm135

2m2l 4m4l 6m6l l l l

dqdqdq

2

4

上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l前的系数应相等，即

61

dm0

m1

dq

1dm1

m2

2dq

1dm2

Green公式、Stokes公式、Gauss公式在专业学科中

的应用

摘要

格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公式和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。它们建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，除了在数学上应用于计算多元函数积分，在其他领域也有很多重要的应用。本文将主要从这三个公式与物理学之间的联系展开介绍它们的其他应用，其中包括应用于GPS面积测量仪，确定外部扰动重力场，应用于保守场以及推证阿基米德定律和高斯定理等，帮助人们加深对格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解，从而能够更准确地应用此三个公式。

关键词：格林公式斯托克斯公式高斯公式散度旋度应用

目录

一、引言 ......................................... 1 二、格林（Green）公式的应用 ...................... 1

（一）格林公式的定义 .............................. 1 1、单连通区域的概念 ..................

第七节 Gauss公式与Stokes公式

一Gauss公式

Green公式建立了沿平面封闭曲线的线积分与二重积分的关系. 类似地,沿空间闭曲面的第二类曲面积分和三重积分之间也有类似的关系. 下面的Gauss公式建立了这种关系.

定理13.3(Gauss公式) 设空间区域?由分片光滑的双侧封闭曲面?所围成. 若函数

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在?上连续, 且有一阶连续偏导数, 则

???(??P?Q?R??)dv??x?y?z??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

?或

???(??P?Q?R??)dv??x?y?z??(Pcos??Qcos??Rcos?)dS

?其中?是整个边界曲面的外侧, cos?,cos?,cos?是?上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.

证明 设闭曲面?在面xoy上的投影区域为Dxy.

?由?1,?2,?3三部分组成?1:z?z1(x,y), ?2:z?z2(x,y), ?3:是以Dxy的边界曲线为准线而

母线平行于z轴的驻面上的一部分，取外侧.

根据三重积分的计算法可得

z?2?3?1o?yz2(x,y)?R?Rdv???{?dz}dxdy ???z1(x,y)?z?z?DxyDx

数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某

城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个， 则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。

也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。

可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。

各种数学分布的方差是：

1、 2、

一个完全符合分布的样本 这个样本的方差

概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是

80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最

第一章 多元正态分布的参数估计

一、填空题

1.设X、Y为两个随机向量，对一切的u、v，有 ，则称X与Y相互独立。

2.多元分析处理的数据一般都属于 数据。

3．多元正态向量X X1, ,Xp 的协方差阵 是，则X的各分量是相

互独立的随机变量。

4．一个p元函数f x1,x2, ,xp 能作为Rp中某个随机向量的密度函数的主要条件是 和 。

5．若p个随机变量X1，X2， ，Xp的联合分布等于则称X1，X2， ，Xp是相互独立的。

6.多元正态分布的任何边缘分布为 。

7.若X~Np , ，A为s p阶常数阵，d为s维常数向量，则AX d~。

8.多元正态向量X的任何一个分量子集的分布称为X的 。

9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。

10.多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。

1S具11.多元正态总体均值向量 和协差阵 的