全国卷高考立体几何历年真题

2015-2017立体几何高考真题

1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛

2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20?，则r=（ ）

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

18. （2015本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE?平面ABCD， （I）证明：平面AEC?平面BED；

（II）若?ABC?120?，AE?EC, 三棱锥E?ACD的体积为

6，求该三棱锥的侧面积. 3

18、解：

（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.

又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分 （II）设AB=x，在菱形ABCD中，又∠ABC=120 ，可得

oAG=GC=

x3x，GB=GD=.

22因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=3x. 22x. 2由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=

由已知得，三棱锥E-ACD的体积VE?ACD=

11636x?×AC·GD·BE=.

32243故x=2 ……9分 从而可得AE=EC=ED=6. 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为5. 故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.

18. （2015本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE?平面ABCD， （I）证明：平面AEC?平面BED；

（II）若?ABC?120?，AE?EC, 三棱锥E?ACD的体积为

6，求该三棱锥的侧面积. 3

18、解：

（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.

又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分 （II）设AB=x，在菱形ABCD中，又∠ABC=120 ，可得

oAG=GC=

x3x，GB=GD=.

22因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=3x. 22x. 2由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=

由已知得，三棱锥E-ACD的体积VE?ACD=

11636x?×AC·GD·BE=.

32243故x=2 ……9分 从而可得AE=EC=ED=6. 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为5. 故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编

立 体 几 何

一、选择题

【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（ ）

【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是

28π，则它的表面积是（ ） 3A．17π B． 18π C． 20π D． 28π

A，?∥平面CB1D1，??平面ABCD?m， 【2016，11】平面?过正方体ABCD?A1BC11D1的顶点

??平面ABB1A1?n，则m,n所成角的正弦值为（ ）

A．

1323 B． C． D．

3223【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问

题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有(

..

绝密★启用前试卷类型：B 2008年普通高等学校招生全国统一考试

理科综合能力测试

本试卷共12页，满分360分，考试时间150分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条

形码粘巾在答题卡上指定位置。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。

3.非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字夂答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题

卷上无效。

4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

选择题共21小题，第小题6分，共126分。

以下数据可供解题时参考：

相对原子质量（原子量）：H l C 12 O 16 Na 23 K 39

Mn 55 Cu 64 Zn 65 Ag 108 Pb 207

一、选择题（本题共8小题。在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有

多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）14．如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足

A.tanφ=sinθ

B. tanφ=cosθ

C. tanφ=

新课标全国卷2007-2017十年真题分题型汇编——立体几何大题

[2007?海南宁夏理.18] 如图，在三棱锥S?ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，?BAC?90°，O为BC中点． （Ⅰ）证明：SO?平面ABC； （Ⅱ）求二面角A?SC?B的余弦值．

SOB[2008?海南宁夏理.18] 如图，已知点P在正方体ABCD?A1BC11D1的对角线B1D1上，?PDA?60． (1)求DP与CC1所成角的大小； (2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小．

CA

[2009?海南宁夏理.19] 如图，四棱锥S?ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的

倍，P为侧棱

SD上的点． （Ⅰ）求证：AC?SD； （Ⅱ）若SD?平面PAC，求二面角P?AC?D的大小

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC．若存在，求SE:EC的值；若不存在，试说明理由．

[2010?海南宁夏理.18] 如图，已知四棱锥P?ABCD的底面为等腰梯形，AB//CD,AC?BD，垂足为H,PH是四棱锥的高 ，E为AD中点

（Ⅰ）证明：PE?BC （Ⅱ）若?APB??ADB?60，求直线PA与平面PE

湖南历年文科数学高考试卷 立体空间几何部分 （06-14年）

2006年高考文科数学试卷（湖南卷）

4．过半径为12的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是 （ ）

A．π B. 2π C. 3π D. 23?

14. 过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行

的直线共有 条.

P

18.（本小题满分１4分）

如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与

Q-ABCD的高都是2，AB=4. D

C

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

B

A (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

Q 图2

2007年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷（文）

6．如图1，在正四棱柱 ABCD?A1BC11D1中，E、F 分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A．EF与BB1垂直 B. EF与BD垂直 C. EF与CD异面 D. EF与A1C1异面

图1 15.棱长为1的正方形ABCD?A1BC11D1的8个顶点都在球O的表面上，则球

湖南历年文科数学高考试卷 立体空间几何部分 （06-14年）

2006年高考文科数学试卷（湖南卷）

4．过半径为12的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是 （ ）

A．π B. 2π C. 3π D. 23?

14. 过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行

的直线共有 条.

P

18.（本小题满分１4分）

如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与

Q-ABCD的高都是2，AB=4. D

C

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

B

A (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

Q 图2

2007年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷（文）

6．如图1，在正四棱柱 ABCD?A1BC11D1中，E、F 分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A．EF与BB1垂直 B. EF与BD垂直 C. EF与CD异面 D. EF与A1C1异面

图1 15.棱长为1的正方形ABCD?A1BC11D1的8个顶点都在球O的表面上，则球

近三年立体几何高考真题几详解

1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛 【答案】B

116?2?3r?8=r?，所以米堆4311162320320的体积为??3?()?5=，故堆放的米约为

43399【解析】设圆锥底面半径为r，则÷1.62≈22，故选B.

考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20?，则r=（ ）

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8 【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的

06-12江西历年高考数学题------立体几何 2006.11、如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面

体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）

A. S 1

B. S 1>S 2

C. S 1=S 2

D. S 1，S 2的大小关系不能确定

解：连OA 、OB 、OC 、OD 则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －AB E ＋V O －B EFD V A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC 而每个三棱锥的

高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S AB E ＋S B EFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C

15、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1

中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90?，AC ＝6，BC ＝CC 1

，P 是BC 1

上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________

解：连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展