双曲线的第二定义 焦半径公式

双曲线的第二定义：

到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e?c?c?a?0?的点的轨a迹是双曲线，其中，定点F叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。 1、离心率：

（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e?（2）范围：e?1；

（3）双曲线形状与e的关系：

2cc?，叫做双曲线的离心率； 2aaybc2?a2c2k????1?e2?1； 2aaaF1A1OA2F2x因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：

x2y2a2对于2?2?1来说，相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??，

caba2相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2:x?；

ca2b2?0，焦点到准线的距离p?位置关系：x?a?（也叫焦参数）； ccy2x2a2对于2?2?1来说，相对于下焦点F1(0,?c)对应着下准线l1:y??；相

caba2对于上焦点F2(0,c)对应着上准线l2:y?。

cyyF2A2F1A1OA2F2xOx

双曲线的第二定义：

到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e?c?c?a?0?的点的轨a迹是双曲线，其中，定点F叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。 1、离心率：

（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e?（2）范围：e?1；

（3）双曲线形状与e的关系：

2cc?，叫做双曲线的离心率； 2aaybc2?a2c2k????1?e2?1； 2aaaF1A1OA2F2x因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：

x2y2a2对于2?2?1来说，相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??，

caba2相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2:x?；

ca2b2?0，焦点到准线的距离p?位置关系：x?a?（也叫焦参数）； ccy2x2a2对于2?2?1来说，相对于下焦点F1(0,?c)对应着下准线l1:y??；相

caba2对于上焦点F2(0,c)对应着上准线l2:y?。

cyyF2A2F1A1OA2F2xOx

圆锥曲线的极坐标方程

知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．

ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： ??.

1?ecos? 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆；

当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

ep

1+ecos?则0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线

ep（2 ）若??

1-esin?当 0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线

当 e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线

ep（3）??

1+esin?当 0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口

圆锥曲线的极坐标方程

知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．

ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： ??.

1?ecos? 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆；

当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

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ep（2 ）若??

1-esin?当 0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线

当 e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线

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1+esin?当 0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口

抛物线标准方程与几何性质

一、抛物线定义的理解

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线l为抛物线的准线。

注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M；一定点F（即焦点）；一定直线l（即准线）；一定值1（即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1）

② 定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上。若F在l上，抛物线退化为过F且垂直于l的一条直线

③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0?e?1时，表示椭圆；当e?1时，表示双曲线；当e?1时，表示抛物线。

④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。

二、抛物线标准方程

1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。

2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛

双曲线的几何性质 适用学科 适用区域 知识点 教学目标 高中数学 人教版 双曲线的几何性质及其应用 知识与技能：掌握双曲线的范围，对称性，顶点，离心率，渐近线等几何性质； 过程与方法：通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察力以及联想类比能力； 情感态度与价值观：让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。 适用年级 课时时长（分钟） 高中二年级 60 教学重点 教学难点 双曲线的渐近线及其得出过程 渐近线几何意义的证明 1

教学过程

一、课堂导入

前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？ 今天我们以双曲线的标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。

2

二、复习预习

双曲线的定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线。 当2a<2c时，轨迹是双曲线 当2a=2c时，轨迹是两条射线 当2a>2c时，轨迹不存在

如果双曲线的焦点在x轴上，即?Fx2y2F1?c,0?,2?c,0?，则双曲线的标准方程为a2?b2?1；

如果双曲线的焦点在y轴上，即F?0,c?,Fy2x212?0,?c?，则双曲线的

§8.3.2双曲线及其标准方程

班级 学号 姓名

一、课堂目标：⑴进一步理解标准方程的定位条件与定形条件

⑵会用双曲线的定义解题.

二、要点回顾：

1.方程Ax2 By2 C表示双曲线的充要条件是 ； 表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是 ； 表示焦点在y轴上的双曲线的充要条件是 。

2.定义的理解：

集合MMF1 MF2 2a,0 2a F1F2表示； 集合MMF1 MF2 2a,0 2a F1F2表示 集合MMF1 MF2 2a,2a F1F2表示

三、目标训练：

1.已知F1( 8,3),F2(2,3),动点P满足PF1 PF2 2a,当a 3和5时,P点的轨迹是( )

A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线

C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线

x2

y2 1的两个焦点,点P在双曲线上,且 F1PF2 90 ,则

教学内容：双曲线的简单几何性质 【基础知识精讲】

1.双曲线 - ＝1的简单几何性质

(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.

(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称. (3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2 b2.与椭圆不同.

(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝± x，或令双曲线标准方程 -

＝1中的1为零即得渐近线方程.

(5)离心率e＝ ＞1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.

(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝

.

(7)共轭双曲线：方程 - ＝1与 - ＝-1表示的双曲线共轭，有共

同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.

注重：

1.与双曲线 且λ为待定常数)

- ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - ＝λ(λ≠0

2.与椭圆 ＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为 -

＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆， b2＜λ＜a2时为双曲线)

2.双曲线的第二定义

平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝ 的距离之比等于常数e＝ (c

＞a＞0)

§8.3.2双曲线及其标准方程

班级 学号 姓名

一、课堂目标：⑴进一步理解标准方程的定位条件与定形条件

⑵会用双曲线的定义解题.

二、要点回顾：

1.方程Ax2 By2 C表示双曲线的充要条件是 ； 表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是 ； 表示焦点在y轴上的双曲线的充要条件是 。

2.定义的理解：

集合MMF1 MF2 2a,0 2a F1F2表示； 集合MMF1 MF2 2a,0 2a F1F2表示 集合MMF1 MF2 2a,2a F1F2表示

三、目标训练：

1.已知F1( 8,3),F2(2,3),动点P满足PF1 PF2 2a,当a 3和5时,P点的轨迹是( )

A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线

C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线

x2

y2 1的两个焦点,点P在双曲线上,且 F1PF2 90 ,则

高二数学双曲线同步测试(总分：50分)

班级 姓名 座号 得分 每小题5分

1、已知F 1 (-8，0)，F 2 (8，0)，动点P 满足|PF 1 |—|PF 2 |=16，则点P 的轨迹为( ) A 双曲线 B 双曲线的一支 C 直线 D 一射线

x2y22．双曲线的方程是??1，则它的两个焦点坐标为（ ）

106A.(?2,0) B.(?4,0) C.(0,?2) D.(0,?4)

x2y2??1上的点P到点(5,0)的距离为15,则P到点(—5，0)的距离是( ) 3．双曲线

169 A.7 B.23 C.25或7 D.7或23

22xy4．过双曲线??1左焦点F1的AB长为6，则?ABF2的周长是（ ） 169A. 28 B. 22 C. 14 D. 12

x2y2??1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) 5、已知方程

1?k1?kA -11 C k≥0 D k>1 或k

x2y2