4种中点常用辅助线

个 性 化 辅 导 教 案 授课时间： 2012年7 月26 日 年级：初二 科目： 数学 课题： 有关中点辅助线专题 备课时间： 2012年7月25 日 学生姓名： 老师姓名 教学 1 掌握有关中点辅助线的题型，并学会如何作有关中点辅助线的题目。 目标 重点 1 1 掌握有关中点辅助线的题型，并学会如何作有关中点辅助线的题目。 难点 由中点想到的辅助线 口诀： 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。 教 学 内 容 （一） 常用辅助线添加方法——倍长中线 A A△ABC中 方式1： 延长AD到E， AD是BC边中线 使DE=AD，

B C

个 性 化 辅 导 教 案 授课时间： 2012年7 月26 日 年级：初二 科目： 数学 课题： 有关中点辅助线专题 备课时间： 2012年7月25 日 学生姓名： 老师姓名 教学 1 掌握有关中点辅助线的题型，并学会如何作有关中点辅助线的题目。 目标 重点 1 1 掌握有关中点辅助线的题型，并学会如何作有关中点辅助线的题目。 难点 由中点想到的辅助线 口诀： 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。 教 学 内 容 （一） 常用辅助线添加方法——倍长中线 A A△ABC中 方式1： 延长AD到E， AD是BC边中线 使DE=AD，

B C

圆中常用辅助线方法讲解

圆中常用辅助线

圆中常用辅助线方法讲解

有关直径问题,常作直径所对圆周角, 利用定理：“直径所对圆周角是直角”.CA

O

B

圆中常用辅助线方法讲解

例1、如图，已知Rt△ABC中，以AB为 直径作一圆交斜边AC于D,DE切圆于点 D,交BC于E.求证：EB=EC。A D B E C

圆中常用辅助线方法讲解

涉及弦长、半径、弦心距的问题，常 作弦心距(或圆心到弦的垂线段),为应 用垂径定理、勾股定理创造条件。C

A

B

O

圆中常用辅助线方法讲解

例2、如图，⊙C经过原点O,且与两坐标轴 分别交与A(0,8)、B,M是劣弧OB上任意 一点(不含O、B),∠BAO=600。(1)求证：AB为圆C的直径；

(2)求∠BMO的大小；

y (3)求圆C的半径及圆心C的坐标。 A CBN

P O x

M

圆中常用辅助线方法讲解

若题中有与半径(或直径)垂直的线 段，如图，圆O中，BD⊥OA于D,经常是： 延长BD交圆O于C,利用垂径定理。B

DO

A

C

圆中常用辅助线方法讲解

例3、如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD 的中点，CE⊥AB于E,BD交CE于点F。

(1)求证：CF=BF;(2)若AD=2,⊙O的半径为3,求BC.D C F O E G

A

B

圆中常用辅助线方法讲解

已知

圆中常用辅助线方法讲解

圆中常用辅助线

圆中常用辅助线方法讲解

有关直径问题,常作直径所对圆周角, 利用定理：“直径所对圆周角是直角”.CA

O

B

圆中常用辅助线方法讲解

例1、如图，已知Rt△ABC中，以AB为 直径作一圆交斜边AC于D,DE切圆于点 D,交BC于E.求证：EB=EC。A D B E C

圆中常用辅助线方法讲解

涉及弦长、半径、弦心距的问题，常 作弦心距(或圆心到弦的垂线段),为应 用垂径定理、勾股定理创造条件。C

A

B

O

圆中常用辅助线方法讲解

例2、如图，⊙C经过原点O,且与两坐标轴 分别交与A(0,8)、B,M是劣弧OB上任意 一点(不含O、B),∠BAO=600。(1)求证：AB为圆C的直径；

(2)求∠BMO的大小；

y (3)求圆C的半径及圆心C的坐标。 A CBN

P O x

M

圆中常用辅助线方法讲解

若题中有与半径(或直径)垂直的线 段，如图，圆O中，BD⊥OA于D,经常是： 延长BD交圆O于C,利用垂径定理。B

DO

A

C

圆中常用辅助线方法讲解

例3、如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD 的中点，CE⊥AB于E,BD交CE于点F。

(1)求证：CF=BF;(2)若AD=2,⊙O的半径为3,求BC.D C F O E G

A

B

圆中常用辅助线方法讲解

已知

初中数学梯形练习复习 梯形添加辅助线常用方法例析

梯形添加辅助线常用方法例析

梯形作为特殊的四边形，在求解时常常需要转化为三角形或平行四边形等来解决。于是，梯形添加辅助线的方法就成为同学们学习时的一个难点。为此，笔者根据教学中的经验，归纳总结了一个梯形添加辅助线方法的口诀，这里介绍给大家并举例说明之。

梯形问题中，转化很重要，

平移对角线，平移梯形腰，

作出梯形高，延长两腰来相交，

中位线要想到，一腰中点等积变。

例1. 如图1，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AC＝BD，求证：AB＝

CD

图1

证明：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E。因为DE//AC，所以 E 1。又因为AD//BC，所以四边形ACED为平行四边形，所以AC＝DE，又因为AC＝BD，所以BD＝DE，所以 2 E，所以 1 2

在 BDC和 ABC中

BD AC

2 1

BC BC

所以 BDC ABC

所以AB＝DC

例2. 如图2，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，求证： B C

图2

证明：过点D作DE//AB，交BC于一点E，因为AB//DE，所以 B 1。又因为AD//BC， 1

初中数学梯形练习复习 梯形添加辅助线常用方法例析

所以四边形ABE

帮你总结梯形中的辅助线

1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．

【例1】 分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转

化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD. 证明：过D作

,交AB于E.∵ AB平行于CD,且

,

∴四边形形.∴

是菱形.∴ 又

, ∴

又 ∴∴

为等边三角.

M 、∴

【例2】解：过E 作EM∥AB ,EN ∥DC ,分别交BC 于N ,∵

, ∴

是直角三角形,∵

,

,∴

. ∵

、

分别是

、 的中点,∴ 为 的中点,∴ .

2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直

角三角形等进一步解决问题．

【例3】分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论． 证明：延长

、

使它们相交于

点∵

,

∴ ∴

. 同理,

∵ 故得 ∴

3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题． 【例4】.分析:过上底向下底作两高,构造Rt△,然后利用两三角形全等解决问题.

帮你总结梯形中的辅助线

常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化，变为△和□;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下:













1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．
【例1】已知：如图2,在梯形ABCD中, .求证： .
分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.
证明：过D作 ,交AB于E.
　　∵ AB平行于CD,且 ,
　　∴四边形 是菱形.
　　∴
　　又
　　∴ 为等边三角形.
　　∴
　　又 ,
　　∴
∴ .
【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若 .AD = 7 ,BC = 15 ,求EF ．
分析：由条件 ,我们通过平移AB 、DC ；构造直角三角形MEN ,使EF 恰好是△MEN 的中线．
　　解：过E 作EM∥AB ,EN ∥DC ,分别交BC 于M

几何辅助线之歌

（一）

人人都说几何难，难就难在辅助线。 辅助线，如何填？把握定理和概念。 还要刻苦和钻研，找出规律凭经验。

图中若有角分线，可向两边作垂线。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两边把线连。 三角形中两中点，连线则成中位线。 三角形中有中线，延长加倍等中线。 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作垂线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面做高线，比例中项一大片。

（二）

半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径相连。 弧有中点圆心连，垂经定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是填上连心线，切线肯定在上面。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。

初中数学辅助线的添加浅谈

人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。

一．添辅助线有二种情况： 1按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：

（1）平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

（2）等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的

三角形中作辅助线的常用方法举例

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

如图1-2， 延长BD交 AC于F，延长CE交BF于G，

在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1） GF＋FC＞GE＋CE（同上） （2） DG＋GE＞DE（同上） （3） 由（1）＋（2）＋（3）得：

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

AE

C

B

图1 2

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。 证法二：连接AD，并延长交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角

∴∠BDF