赋值法求抽象函数值

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赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略

函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x2，y=x1或y=，且x1

例1定义在(﹣1,1)上的函数f(x),对任意的x,y∈(﹣1,1)都有f(x)+f(y)=f().求证：f(x)是奇函数. 解析：在f(x)+f(y)=f()中，令x=y=0有f(0)+f(0)=f(0)，∴f(0)=0， 又令y=﹣x.有f(x)+f(﹣x)=f(0)=0，即f(x)+f(﹣x)=0，∴f(x)是奇函数. 例2已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x+1)=，(f(x)≠0，1)，若f(1)=2，求f(2002)的值. 解析：在f(x+1)=中，将x换为x+1有，f(x+2)==,1﹣)=﹣， 从而f(x+4)=﹣=﹣)=f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数， 故f(2002)=f(4×500+2)=f(2)==﹣3. 例3已知定义域为(0，+∞)的函数f(x)，对于任意的x>0、y>

求复合函数相关定义域

一、已知f(x)的定义域，求复合函数f[g x ]的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为x a,b ，求出f[g(x)]中a g(x) b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。

例1 已知f(x)的定义域为(0，3]，求f(x2 2x)定义域。

解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即

2 x 2，或x 0 x 2x 0 0 x 2x 3 2 3 x 1 x 2x 3

即 3 x 2或0 x 1

故f(x2 2x)的定义域为 3, 2 0,1

【评注】所谓定义域是指函数中自变量x的取值范围，因此我们可以直接将复合函数22中x 2x看成一个整体x，即由0 x 3可得0 x 2x 3，解出x的范围即可。

2 x x 2 （2006年湖北卷）设f x lg，则f f 的定义域为 （B） 2 x 2 x

A. 4,0 0,4 B. 4, 1 1,4

C. 2, 1 1,2

函数

用赋值法求解函数关系

依据函数y=f(x)的限定条件和关系式求函数关系y=f(x)．

一、赋值代换

例1 已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x)不恒为零，对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)=2[f(x1)＋f(x2)]．求证：f(x)是偶函数

分析：若有f(－x)=f(x)(x∈R)，则f(x)为偶函数． 观察条件f(x1＋x2)＋f(x1－x2)=2[f(x1)＋f(x2)]

令x1=0，x2=x则f(x)＋f(－x)=2[f(0)＋f(x)]*

令x2=0，则f(x1)＋f(x1)=2[f(x1)＋f(0)]

∴f(0)=0把f(0)=0代入(＊)有f(x)=f(－x)问题得证． 赋值代换应注意：(1)所赋自变量x之特殊值必须在函数的定义域内；(2)应观察函数式的特点，确定赋什么值．

例2 设f(x)是(0，1)上的实函数，如果满足：1)对于任意x∈(0，1)，f(x)＞0；

分析：∵x，y∈(0，1)，(1－x)，(1－y)∈(0，1)由题设知f(y)＞0，f(1－y)＞0，故有f(x)f(1－y)＋f(y)f(1－

x)≤2f(y)f(1－y)，观察此不等式，如令x=1－y ∈(0，1)，则有： f2(x)－

4数学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第20期

用判别式法求函数值域的几点思考

邱　旭

(成都市第十八中学,四川610072)

(其中a2+d2≠　　形如y=2

dx+ex+f

0)的有理分式函数一般可转化为关于x的

2

一元二次方程(dy-a)x2+(ey-b)x+(fy-c)=0(以下简称方程※,其中将y看作方

≤y≤3且y≠1.3

综上所述,原函数的值域为[,3].

3

思考1　为什么必须讨论二次项系数为4(y-1)2≥0,解得

零的情形呢?

当二次项系数为零时,方程不再是二次方程,更无判别式可言.因此在用判别式法求函数值域时,必须考虑到二次项系数dy-a=0即y=

的情形,而且必须注意此时的yd

程的系数),由方程有实根的条件Δ≥0来求函数值域的方法叫做“判别式法”.在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹.

2例1　求函数y=2的值域.

x-x+1

解　函数式变形为

(y-1)x2+(1-y)x+y=0

(1)

d

值.若不存在这样的x值或存在这样的x值

值是否在函数定义域内有与之相对应的x

当y=1时,方程(1)为1=0,这显然不成立,因此y=1不在函数值域中:

当y≠1时,∵x∈R,

∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0,解得-≤y<1.3

∴函数

4数学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第20期

用判别式法求函数值域的几点思考

邱　旭

(成都市第十八中学,四川610072)

(其中a2+d2≠　　形如y=2

dx+ex+f

0)的有理分式函数一般可转化为关于x的

2

一元二次方程(dy-a)x2+(ey-b)x+(fy-c)=0(以下简称方程※,其中将y看作方

≤y≤3且y≠1.3

综上所述,原函数的值域为[,3].

3

思考1　为什么必须讨论二次项系数为4(y-1)2≥0,解得

零的情形呢?

当二次项系数为零时,方程不再是二次方程,更无判别式可言.因此在用判别式法求函数值域时,必须考虑到二次项系数dy-a=0即y=

的情形,而且必须注意此时的yd

程的系数),由方程有实根的条件Δ≥0来求函数值域的方法叫做“判别式法”.在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹.

2例1　求函数y=2的值域.

x-x+1

解　函数式变形为

(y-1)x2+(1-y)x+y=0

(1)

d

值.若不存在这样的x值或存在这样的x值

值是否在函数定义域内有与之相对应的x

当y=1时,方程(1)为1=0,这显然不成立,因此y=1不在函数值域中:

当y≠1时,∵x∈R,

∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0,解得-≤y<1.3

∴函数

训练例题

1. 若集合S?????y|y???1?x??1,x?R???,T??y|y?log??2??2(x?1),x??1?，则S?T等于

?A．{0} B．{y|y?0} C．S D．T 2. 下列函数中值域是（0，+∞）的函数是（ ）

1A.y?52?x B.y?(12)1?x C.y?1?2x D. y?12x?1 3. 定义在R上的函数y?f(x)的值域为［a，b］,则f(x?1)的值域为（ ）

A.［a,b］ B.［a+1,b+1］ C.［a－1,b－1］ D.无法确定

4. 函数y =

2x?1的定义域是(-?，1)?[2,5]，则其值域是（ ） A.(-?,0)?[112,2] B.(-?,2) C.(-?,2)?[2,+?] D.(0,+?)

5. 函数y?lg[x2?(k?3)x?4]的值域为R，则实数k的取值范围是（ ） A．?7?k?1 B．k??7或k?1 C．?1?k?7 D．k??7或k?1 6. 已知函数f(x)满足2f(x)?f(11x

求函数值域的几种方法

方法1:直接法(观察法)适用于较简单的函数，从解析式观察，利用

x 0, x 0, x 0 等，直接得出它的值域。2

例1、求下列函数的值域。(1) y x 72

(2) y 2 x 1, x 1, 2,3, 4,5 (3) y 3x 2

方法2、配方法适用于二次函数，同时要注意闭区间内的值域。 例2、求下列函数的值域。

(1) f ( x) x 4 x 12

(2) f ( x) x x 1

方法3、换元法对形如 y ax b cx d 型的函数均可用 “换元法”化为二次函数在区间上的值域问题求 解。 例3、求下列函数的值域。

(1) y x 1 x (2) y x x 1

方法4、分离常数法适用于分式型的函数。

例4、求下列函数的值域。

2x 1 (1) y x 3 2 2x 1 (2) y 2 x 1

方法5、判别式法能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零

灵宝三高赛讲教案

已知三角函数值求角（一）

灵宝三高 刘军

教学目标：1、会由已知三角函数值求角；

2、理解反正弦、反余弦的意义，会用反三角符号表示角；

3、培养学生的类比、转化与化归的数学思想；数学的应用意识、逻辑推理能力。

重点：已知三角函数值求角

难点：1、根据［0,2π］范围已知三角函数值求角； 2、对反正弦、反余弦概念及符号的正确认识；

3、用arcsinx、arccosx表示所求角。 新课引入： sin

?4=_______,sin

5?=_______,sin7?=________. 3?=_______,sin444结论：已知角求三角函数值值唯一，这些角都与锐角

?4有关。

已知三角函数值求角则角的个数能确定吗？怎样确定？由三角函数值求角有那些步骤？

新课讲授：（一）典型例题 例1、(1)已知sinx=

2，且x∈[-?，?],求x;

2222，且x∈[0，2?],求x的取值集合。 2???2，可知符合条件的角有且，]上是增函数和sin=4222 (2)已知sinx=

解：（1）由正弦函数在区间[-

?，于是x=?。

442﹥0，所以x是第一或第二象限角。由正弦函数的单调性和sin(π﹣

（2）因为sinx

灵宝三高赛讲教案

已知三角函数值求角（一）

灵宝三高 刘军

教学目标：1、会由已知三角函数值求角；

2、理解反正弦、反余弦的意义，会用反三角符号表示角；

3、培养学生的类比、转化与化归的数学思想；数学的应用意识、逻辑推理能力。

重点：已知三角函数值求角

难点：1、根据［0,2π］范围已知三角函数值求角； 2、对反正弦、反余弦概念及符号的正确认识；

3、用arcsinx、arccosx表示所求角。 新课引入： sin

?4=_______,sin

5?=_______,sin7?=________. 3?=_______,sin444结论：已知角求三角函数值值唯一，这些角都与锐角

?4有关。

已知三角函数值求角则角的个数能确定吗？怎样确定？由三角函数值求角有那些步骤？

新课讲授：（一）典型例题 例1、(1)已知sinx=

2，且x∈[-?，?],求x;

2222，且x∈[0，2?],求x的取值集合。 2???2，可知符合条件的角有且，]上是增函数和sin=4222 (2)已知sinx=

解：（1）由正弦函数在区间[-

?，于是x=?。

442﹥0，所以x是第一或第二象限角。由正弦函数的单调性和sin(π﹣

（2）因为sinx

说明：本套试题为选择题专项（样稿）

共25道试题，每道试题由试题、答案、解析、技巧心得四部分构成，做题老师必须保证解析部分知识点正确无误、能够举一反三、触类旁通、文字工整、符号准确、图片清楚、语言通顺、解析深刻、不能在已有试题上更改，试题完成时间为5天，提前做完可以提前发送至负责人处，等待审核通过后统一发放工资。

1

题型：选择题，难度：容易

标题/来源：2011-2012学年贵州省遵义四中高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】已知函数，则=\（ \）

A．-4 B．4 C．8 D．-8 【答案】B

【解析】本题是对分段函数的考察。做这种题应先对函数的层次性进行分析，认清所求函数是几个层次的。再认清分段域，和所对应函数式。 本题所求函数只有一个层次，变量x为-2，在分段域X＜0中,所对应函数式为x2,则把-2代入,得(-2) 2=4. 2

题型：选择题，难度：较易

标题/来源：2011-2012学年浙江省温州市直六校高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】函数

，且

的定义域为

，则

，且对于定义域内的任意x,y都有的值为（ ）

A．-2 【答案】C

B． C． D．2

【解析】本题关键在于利