椭圆双曲线抛物线性质总结

抛物线标准方程与几何性质

一、抛物线定义的理解

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线l为抛物线的准线。

注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M；一定点F（即焦点）；一定直线l（即准线）；一定值1（即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1）

② 定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上。若F在l上，抛物线退化为过F且垂直于l的一条直线

③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0?e?1时，表示椭圆；当e?1时，表示双曲线；当e?1时，表示抛物线。

④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。

二、抛物线标准方程

1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。

2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛

椭圆、双曲线、抛物线(圆锥曲线)综合习题专题学案

椭圆、双曲线、抛物线综合习题专题学案

考点一：圆锥曲线标准方程 1.以

x

2

4

y

2

12

＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为__________________

2.与双曲线2x2 2y2 1有公共焦点,离心率互为倒数的椭圆方程为__________________

x

2

3.方程

k 3x

2

y

2

5 ky

2

1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是________________

方程

m 2

3 m

1表示双曲线，则m的取值范围是________________

4.经过点M(3,－2),N(－23,1)的椭圆的标准方程是 .

x

2

5.与双曲线

5

y

2

3

1有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为__________________

6.过点P( 2,4)的抛物线的标准方程为

7.已知圆x2 y2 6x 7 0与抛物线y2 2px(p 0)的准线相切，则抛物线方程为_________ 考点二：圆锥曲线定义在解题中的运用

1.椭圆16x 25y 400的焦点为F1，F2，直线AB过F1，则 ABF2的周长为 过双曲线点F1的弦AB长为6，则 ABF2（F2为右焦点）的周长为

椭圆、双曲线、抛物线(圆锥曲线)综合习题专题学案

椭圆、双曲线、抛物线综合习题专题学案

考点一：圆锥曲线标准方程 1.以

x

2

4

y

2

12

＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为__________________

2.与双曲线2x2 2y2 1有公共焦点,离心率互为倒数的椭圆方程为__________________

x

2

3.方程

k 3x

2

y

2

5 ky

2

1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是________________

方程

m 2

3 m

1表示双曲线，则m的取值范围是________________

4.经过点M(3,－2),N(－23,1)的椭圆的标准方程是 .

x

2

5.与双曲线

5

y

2

3

1有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为__________________

6.过点P( 2,4)的抛物线的标准方程为

7.已知圆x2 y2 6x 7 0与抛物线y2 2px(p 0)的准线相切，则抛物线方程为_________ 考点二：圆锥曲线定义在解题中的运用

1.椭圆16x 25y 400的焦点为F1，F2，直线AB过F1，则 ABF2的周长为 过双曲线点F1的弦AB长为6，则 ABF2（F2为右焦点）的周长为

课程星级：★★★★★

【椭圆】

一、椭圆的定义 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；

若)(2121

F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

二、椭圆的方程

1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ） （1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122

22=+b

y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； （2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122

22=+b

x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2、两种标准方程可用一般形式表示：22

1x y m n

+= 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以122

22=+b

y a x )0(>>b a 为例） 知能梳理

1、对称性： 对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为

高中数学专题四

《圆锥曲线》知识点小结

椭圆、双曲线、抛物线

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a?|F1F2|表示椭圆；2a?|F1F2|表示线段F1F2；2a?|F1F2|没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

标准方程 中心在原点，焦点在x轴上 x2y2??1(a?b?0) a2b2中心在原点，焦点在y轴上 y2x2??1(a?b?0) a2b2B2 y F2 O F1 B1 A2 x P A1 y B2 O F2 B1 A2 P A1 图 形 x F1 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 A1(?a,0),A2(a,0)B1(0,?b),B2(0,b) A1(?b,0),A2(b,0)B1(0,?a),B2(0,a) x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a F1(?c,0),F2(c,0) F1(0,?c),F2(0,c) |F1F2|?2c(c?0)c2?a2?b2 e?c(0?e?1)（离心率越大，椭圆越扁） a通 径 2b2（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段

高中数学专题四

《圆锥曲线》知识点小结

椭圆、双曲线、抛物线

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a?|F1F2|表示椭圆；2a?|F1F2|表示线段F1F2；2a?|F1F2|没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

标准方程 中心在原点，焦点在x轴上 x2y2??1(a?b?0) a2b2中心在原点，焦点在y轴上 y2x2??1(a?b?0) a2b2B2 y F2 O F1 B1 A2 x P A1 y B2 O F2 B1 A2 P A1 图 形 x F1 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 A1(?a,0),A2(a,0)B1(0,?b),B2(0,b) A1(?b,0),A2(b,0)B1(0,?a),B2(0,a) x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a F1(?c,0),F2(c,0) F1(0,?c),F2(0,c) |F1F2|?2c(c?0)c2?a2?b2 e?c(0?e?1)（离心率越大，椭圆越扁） a通 径 2b2（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段

祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！

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总策划：小柏---武汉中学高三数学组

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抛物线焦点弦性质总结30条 A'A(X1,Y1)C'C(X3,Y3)aOFB'B(X2,Y2) 基础回顾 1. 以AB为直径的圆与准线L相切； 22. x1x2?p4; 3. y1y2??p2;

4. ?AC'B?90; 5. ?A'FB'?90;

6. AB?xp2p1?x2?p?2(x3?2)?sin2?; 7.

1AF?12BF?P; 8. A、O、B'三点共线； 9. B、O、A'三点共线；

SAOB?P210.2sin?；

S211. AOB?(P2)3AB（定值）； 12. AF?P1?cos?；BF?P1?cos?；

13. BC'垂直平分B'F；

14. AC'垂直平分A'F；

15. C'F?AB；

16. AB?2P； 17. CC'?12AB?12(AA'?BB')； 18. KAB=Py； 319. tan?=y2xp;

2-220. A'B'2?4AF?BF; 21.

椭圆与双曲线的对偶性质

椭 圆

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

若Px2y2x0xy0y0(x0,y0)在椭圆a2?b2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是a2?b2?1. 若Px2y20(x0,y0)在椭圆a2?b2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的

直线方程是

x0xa2?y0yb2?1. x2y2椭圆a2?b2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭

圆的焦点角形的面积为S2?F1PF2?btan?2.

椭圆x2y2a2?b2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交

专题14 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质

基础巩固

一、选择题

1．抛物线28y x =-的焦点坐标是（ ）

A ．()0,2-

B ．()2,0-

C ．10,32?

?- ??? D ．1,032??- ???

2．椭圆22

143

x y +=

的右焦点到直线y =的距离是（ ） A ．12 B

C ．1 D

3．已知双曲线2

2

2:1y C x b -=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，2FM =，则双曲线的离心率（ ）

A ．2 B

C

D

4．双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>

） A

．y = B

．y = C ．2y x =± D ．3y x =±

5．已知定点()2,3A ，F 为抛物线26y x =的焦点，P 为抛物线上的动点，则||||PF PA +的最小值为（ ）

A ．5

B ．4.5

C ．3.5

D ．不能确定

6．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在x 轴上，C

的面积为，过点1F 的直线交C 于点A ，B ，且2ABF 的周长为8．则C 的标准方程为（

专题14 椭圆、双曲线、抛物线

【考情解读】

1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．

2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．

【重点知识梳理】

一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质

椭圆 双曲线 ||PF1|－|PF2||＝抛物线 定点F和定直线l，点F不在定义 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) 直线l上，P到l距离为d，|PF|＝d 焦点在x轴正半轴上y2＝2px(p>0) 2a(2a<|F1F2|) 焦点在x轴上 x2y2a2－b2＝1(a>0，b>0) 焦点在x轴上 标准方程 x2y2a2＋b2＝1(a>b>0) 图象 范围 顶点 对称性 几何性质 轴 离心率 准线 通径 长轴长2a，短轴长2b ce＝a＝b21－a2(01) 焦点 |x|≤a，|y|≤b (±a