数列前n项和的求法教案

数列前n项和的求法Revised on November 25, 2020

专题二： 数列前n 项和的求法

一、倒序相加法求数列的前n 项和 如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 例1：设等差数列{a n }，公差为d ，求证：{a n }的前n 项和S n =n(a 1+a n )/2 例2：求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

二、用公式法求数列的前n 项和

对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

例3：求数列

的前n 项和S n ： 例4：已知3

log 1log 23-=x ，求n x x x x +???+++32的前n 项和. 例5：设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=

n n S n S n f 的最大值. 点拨：这道题只要经过简单整理，就

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求数列{an}的前n项和的方法

（1）倒序相加法 此种方法主要针对类似等差数列中 （2）公式法 此种方法是针对于有公式可套的数列，如an?a1?an?1?a2???,具有这样特点的等差、等比数列，关键是观察数列的特点，找数列． 例：等差数列求和 出对应的公式． 公式： ①等差数列： Sn?a1?a2???an ?a1?(a1?d)???[a1?(n?1)d] ① 把项的次序反过来，则： n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22n(n?1)d ?nan?2Sn? Sm?n?Sm?Sn?mnd Sn?an?(an?d)???[an?(n?1)d]② ①+②得： n个???????????????2Sn??a1?an??(a1?an)???(a1?an) SnSn?m?Sm?(n?2m,m,n?N*) nn?2m②等比数列： ?n(a1?an) n(a1?an)Sn? 2 （3）错位相减法 此种方法主要用于数列{anbn}的求和，其中{an}为等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，只需用Sn?qSn便可转化为

《等差数列前n项和》教案

（高一年级第一册·第三章第三节）

一、教材分析

●教学内容

《等差数列前n项和》人教版高中教材第三章第三节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用

●地位与作用

高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1.从特殊到一般的研究方法；2.逆序相加求和。不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。

·

等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

二、学情分析

●知识基础：高一年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。

●认知水平与能力：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。

●任教班级学生特点：我所任教的班级是普通班级，学生基础知识不是很扎实，处理抽象问题的能力还有待进一步提高.

三、目标分析

1、教学目标

依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标．

^

●知识与技能目标

掌握等差数列前n项

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课 题：等差数列的前n 项和

教学目的：

知识目标：能模仿教师所讲例子利用等差数列的前n 项和公式解决问题；由()12n n n a a S +=、()112

n n n S na d -=+两个公式中，共5个量，已知其中任意三个量，能求解出另外两个量。

能力目标:

等差数列前N 项和公式的应用。

情感目标：

让同学们获得发现的成就感，寓学于乐。 教学重点：等差数列n 项和公式的理解、推导及应

教学难点：让同学们动脑猜想、归纳公式及其推导思路。

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：三角板

内容分析：

本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和 等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法

教学过程：

一、复习引入：

首先回忆一下前几节课所学主要内容：

1．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）

2．等差数列的通项公式：

d n a a n )1(1-+= (=n

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课 题：等差数列的前n 项和

教学目的：

知识目标：能模仿教师所讲例子利用等差数列的前n 项和公式解决问题；由()12n n n a a S +=、()112

n n n S na d -=+两个公式中，共5个量，已知其中任意三个量，能求解出另外两个量。

能力目标:

等差数列前N 项和公式的应用。

情感目标：

让同学们获得发现的成就感，寓学于乐。 教学重点：等差数列n 项和公式的理解、推导及应

教学难点：让同学们动脑猜想、归纳公式及其推导思路。

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：三角板

内容分析：

本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和 等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法

教学过程：

一、复习引入：

首先回忆一下前几节课所学主要内容：

1．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）

2．等差数列的通项公式：

d n a a n )1(1-+= (=n

《等差数列前n项和》教案

（高一年级第一册·第三章第三节）

一、教材分析

●教学内容

《等差数列前n项和》人教版高中教材第三章第三节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用

●地位与作用

高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1.从特殊到一般的研究方法；2.逆序相加求和。不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。

·

等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

二、学情分析

●知识基础：高一年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。

●认知水平与能力：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。

●任教班级学生特点：我所任教的班级是普通班级，学生基础知识不是很扎实，处理抽象问题的能力还有待进一步提高.

三、目标分析

1、教学目标

依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标．

^

●知识与技能目标

掌握等差数列前n项

数列系列

等比数列前n项和

一、思维导图

?na1,q?1??出现高次幂?公式化简?n 等比数列前n项和Sn??a1(1?q)?,q?1出现S,a式子?消去S?nnn?1?q?出现新数列?求首项和公比???

二、例题精析

1、（2018榆林四模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且

S327a?,则5?__________ S628a3[解析]：当q?1时，S3?3a1,S6?6a1,此时，

S31?,不符合题意，故q?1， S62S327a52811a1(1?q3)a1(1?q6)32 ??,?1?q?,?q?,??q?S3?,S6?,S628273a391?q1?q

2、（2018全国一模）已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1?2S5?3S3,则{an}的公比等于__________

[解析]：S1?2S5?3S3?2(S5?S3)?S3?S1,?2(a5?a4)?a3?a2,?

3、（2018大连模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n?N),且S1,S2,S3成等差数列，则数列{an}的公比q?__________

[解析]：知S1,S2,S3成等差数列，有2S2?S1?S3,?2(a1?a1q)?2a1

等差数列的前n项和说课稿

高一数学组 孔德华

一 教学目标

1.掌握等差数列前N项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.

（1）了解等差数列前N项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；

（2）用方程思想认识等差数列前N项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前N项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；

2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.

3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.

4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.

二 教学重难点

教学重点：等差数列前N项和公式的推导和应用

教学难点：公式推导的思路．

推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要．等差数列前 项和公式有

等比数列的前n项和（第一课时）

许昌二高 张莉

一、教材分析

本节内容在全书及章节的地位：《等比数列前n项和》（第一课时）是新人教版必修5第2章第5节。《等比数列的前n项和》（第一课时）是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

二、教学目标

知识与技能目标：理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．

过程与方法目标 ：通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．

情感、态度与价值目标：通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.

三、教学重点、难点

重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． 难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．

四、学情教法

《等比数列的前n项和》说课稿

数学组 等待三天

一、教材分析

教学内容

《等比数列的前n项和》是高中数学必修五第二章第五节的内容，本节计划授课2课时，今天我的说课为第一课时.

地位与作用

本节是数列这章中的一个重要内容,在现实生活中有着广泛的实际应用，另外公式推导过程中所渗透的数学思想方法,是学生今后学习和工作的必备数学素养． 二、学情分析

知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和、等比数列的定义、通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.

任教班级学生特点：我班学生是普通班学生，但思维较活跃.

依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我将突破如下重难点： 教学重点、难点

重点：等比数列的前n项和公式的推导和公式的简单应用． 难点：：错位相减法的生成和等比数列前项和公式的运用 三、教学模式与教法、学法

教学模式 ：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导． 学生的学法：突出探究、发现与交流． 四、【教学过程分析】 1．创设情境、提出问题 在这个环节，我分两个部分来完成.首先复习旧知,铺垫新知.接着用多媒体向学生讲述西游记猪八戒向孙悟空借钱（