弹性力学基础程尧舜答案

1

图2.4

习题解答

第二章

2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 解：(1)pi iq qj jk

pq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===; (2)()pqi ijk jk

pj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-; (3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。

2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。

证：20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。

2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：

2[,,]??????=???a a a b a c

b a b b b

c a b c c a c b c c

证：123111

2123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i

弹性力学课后答案

弹性力学课后答案第二章 习题的提示与答案

2－1 是

2－2 是

2－3 按习题2－1分析。

2－4 按习题2－2分析。

2－5 在 的条件中，将出现2、3阶微量。当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。

2－6 同上题。在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。

2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。

2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。

2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。

2－10 参见本章小结。

2－11 参见本章小结。

2－12 参见本章小结。

2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量 必须满足

（1）平衡微分方程，

弹性力学课后答案

（2）相容方程，

（3）应力边界条件（假设 )。

2－14 见教科书。

2－15 2－16 见教科书。 见教科书。

2－17 取

它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和 的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。

2－

习题解答

第二章

2.1计算：(1)?pi?iq?qj?jk，(2)epqieijkAjk，(3)eijpeklpBkiBlj。 解：(1)?pi?iq?qj?jk(2)epqieijkAjk

2.2证明：若aij(3)eijpeklpBkiBlj??pq?qj?jk??pj?jk??pk;

?(?ik?jl??il?jk)BkiBlj?BiiBjj?BjiBij。

?(?pj?qk??pk?qj)Ajk?Apq?Aqp;

?aji，则eijkajk?0。

证：2eijkajk?eijkajk?eikjakj?eijkajk?eijkakj?eijkajk?eijkajk?0。

2.3设a、b和c是三个矢量，试证明：

a?aa?ba?cb?ab?bb?c?[a,b,c]2 c?ac?bc?ca?aa?ba?caiaiaibiaicia1a2a3a1b1c12证：b?ab?bb?c?biaibibibici?b1b2b3a2b2c2?[a,b,c]。

c?ac?bc?cciaicibicicic1c2c3a3b3c3

2.4设a、b、c和d是四个矢量，证明：

(a?b)?(c?d)?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c)

证：(a?

一．填空题

1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件 2.一组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。 二．简答题

1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。 如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。

作用;(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单的分布的面力。

（2）将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。 2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。应用这些方程时，应注意什么问题？

(1).平衡微分方程:决定应力分量的问题是超静定的。 (2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。

(3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。 3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？ 应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。

4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他们的正负号？

由六个分量决定。在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。

5.什么叫平面应力问题和平面应

弹性力学复习指导

一、问答题

1. 试叙述弹性力学的基本假设及这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作用。

（1）连续性，所有的物理量均可以用连续函数，从而可以应用数学分析的工具（2）完全弹性，物体中的应力与应变之间的物理关系可以用胡克定律来表示（3）均匀性，物体的弹性常数等不随位置坐标而变化（4）各向同性，弹性常数等也不随方向而变化（5）小变形假定，简化几何方程，简化平衡微分方程

2. 叙述平面应力问题在结构形状、所受外力和约束有何特点。

答：平面应力问题一般对于等厚度薄板（z方向尺寸远小于板面尺寸的等厚度薄板）。外力平行于板面作用在板边，且沿板厚不变，版面上无面力，z方向的分力为0。约束只作用于板边，其方向平行于中面（x0y面），且沿厚度（z向）不变，只有作用于板边的x，y向的边界约束存在。

3. 叙述平面应变问题在结构形状、所受外力和约束有何特点。

答：平面应变问题一般对于常截面长柱体（z方向尺寸远大于截面尺寸的等截面柱体）。外力垂直柱体轴线，且沿长度方向不变，z方向分力为0。约束只作用于柱面，其方向平行于中面（x0y面），且沿厚度（z向）不变，只有作用于板边的x，y向的边界约束存在。 4．试叙述在大边界上不能应用圣维南原理。

答：圣维

第一章 绪论

1、所谓“完全弹性体”是指（B）。 A、材料应力应变关系满足虎克定律

B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关 C、本构关系为非线性弹性关系 D、应力应变关系满足线性弹性关系 2、关于弹性力学的正确认识是（A ）。

A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要

B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设 C、任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象

D、弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析 3、下列对象不属于弹性力学研究对象的是（D ）。 A、杆件 B、板壳 C、块体 D、质点

4、弹性力学研究物体在外力作用下，处于（弹性）阶段的（应力）、（应变）和（位移） 5、弹性力学可以解决材料力学无法解决的很多问题；并对杆状结果进行精确分析，以及验算材力结果的适用范围和精度。与材料力学相比弹性力学的特点有哪些？ 答：1）研究对象更为普遍； 2）研究方法更为严密； 3）计算结果更为精确； 4）应用范围更为广泛。

6、材料力学研

《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）

一、填空题（每小题4分）

1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， 2截面内的扭矩M 。

4．平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。

5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：

?? D?dxdy?M的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆?ij,j?Xi?0 ，?ij?1(ui,j?uj,i)。

2二、简述题（每小题6分）

1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。

圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。

（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。

HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY

1. DATE: 2001-9-20

1. 设地震震中距你居住的地方直线距离为l，地层的弹性常数E,?和密度?均为已知。假

设你在纵波到达t0秒后惊醒。问你在横波到达之前还有多少时间跑到安全地区？试根据

l?200Km，E?20GPa，??0.3，??2.0?106g/m3，t0?3s来进行具体估算。

2. 假定体积不可压缩，位移u1(x1，x2)与u2(x1，x2)很小，u3?0。在一定区域内已

22知u1?(1?x2) (a?bx1?cx1)，其中a，b，c为常数，且?12?0，求u2(x1，x2)。

3. 给定位移分量

u1?cx1(x2?x3)2，u2?cx2(x1?x3)2，u3?cx3(x1?x2)2，此处c为一个很小的常数。求应变分量?ij及旋转分量Qij。

4. 证明

?i?eijkQjk?eijkuk,j

其中?i为转动矢量。

5. 设位移场为u?a(x1?x3)2e1?a(x2?x3)2e2?ax1x2e3，其中a为远小于1的常数。确定在P (0，2，?1)点的小应变张量分量，转动张量分量和转知矢量分量。

6. 试分析以下应变状态能否存在。

222（1）?1

--

-- 《弹性力学》试题参考答案（答题时间:1０0分钟)

一、填空题（每小题4分)

1.最小势能原理等价于弹性力学基本方程中: 平衡微分方程 ， 应力边界条件

。

2．一组可能的应力分量应满足: 平衡微分方程 ,相容方程(变形协调条件） 。

３.等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2

?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆

截面内的扭矩M 。

4．平面问题的应力函数解法中，A ｉry 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点)到任一点外力的矩 。

5.弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2

1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题

(每小题6分)

1．试简述力学中的圣维南原理,并说明它在弹性力学分析中的作用。

圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同),则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。

作用:(1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等)作分布的面力代替。

(2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

2.图示两楔形体,试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数

HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY

1. DATE: 2001-9-20

1. 设地震震中距你居住的地方直线距离为l，地层的弹性常数E,?和密度?均为已知。假

设你在纵波到达t0秒后惊醒。问你在横波到达之前还有多少时间跑到安全地区？试根据

l?200Km，E?20GPa，??0.3，??2.0?106g/m3，t0?3s来进行具体估算。

2. 假定体积不可压缩，位移u1(x1，x2)与u2(x1，x2)很小，u3?0。在一定区域内已

22知u1?(1?x2) (a?bx1?cx1)，其中a，b，c为常数，且?12?0，求u2(x1，x2)。

3. 给定位移分量

u1?cx1(x2?x3)2，u2?cx2(x1?x3)2，u3?cx3(x1?x2)2，此处c为一个很小的常数。求应变分量?ij及旋转分量Qij。

4. 证明

?i?eijkQjk?eijkuk,j

其中?i为转动矢量。

5. 设位移场为u?a(x1?x3)2e1?a(x2?x3)2e2?ax1x2e3，其中a为远小于1的常数。确定在P (0，2，?1)点的小应变张量分量，转动张量分量和转知矢量分量。

6. 试分析以下应变状态能否存在。

222（1）?1