多元隐函数偏导数等于0

Lihai--

2010.03.06 Math School, Sichuan University

大学数学Ⅱ: 微积分(2)

数学学院李海

Cell phone: 13550068363email: alihai@

2010-4-23Mathematics II: Calculus (2)

Lihai--2

2010.03.06 Math School, Sichuan University

由方程确定的函数

Lihai--2010.03.06 Math School, Sichuan University

由方程确定的函数关系

Example0: 很多联系两个变量的函数关系往往由二元方程来确定, 例如:

222x+(y－b)=r

表示一个圆, 当r=C时也可以解出函数关系,如:

在绿色区域:y=b±在红色区域:x= 又如: xy=C表示一对双曲线

.

方程参数的影响

Example0+: 方程参数的赋值范围, 往往影

响函数关系的成立区域. 如果方程为:

e

x

++

C=0 则当参数C<0时, 此方程决定一个实函数:

而当参数数. 若在复数域上建立函数关系C>0时, 此方程不能决定一个实函

, 不受限制

.

Lihai--2010.03.0

讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系

祁丽梅

赤峰学院数学与统计学院 ，赤峰 024000

摘要: 本文先是对二元函数连续性、偏导数存在及可微之间的关系就具体实例进行了讨论，然后推广到多元函数由此来总结有关多元函数微分学中关于上述三个概念之间的关系，并通过二元函数具体的实例详细加以证明。

关键词: 二元函数；多元函数；连续；偏导数；存在；可微

一、引言

多元函数微分学是数学学习中的重要内容,是微积分学在多元函数中的具体体现，多元函数的连续性，偏导数存在及可微性之间的关系是学生在数学学习中易发生的概念模糊和难以把握的重要知识点。尽管它与一元函数的微分学有许多共同点，但它们之间也同样有一些差异，这些差异是由“多元”这一特殊性引起的。

二、二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系

1、若二元函数f在其定义域内某点可微，则二元函数f在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。

可微的必要条件：

若二元函数在p0?x0,y0?可微，则二元函数z?f?x,y?在p0?x0,y0?存在两个偏导数，且全微分

dz?A?x?B?y中的A与B分别是A?fx??x0,y0?与B?fy??x0,y0?

其中?x,?y为变量x,y的改变量，则?x?dx,

中南大学,高等数学,微积分,课件

中南大学,高等数学,微积分,课件

一、隐函数的导数定义:由方程所确定的函数 y y( x )称为隐函数 .y f ( x ) 形式称为显函数F ( x, y) 0 y f (x)

.

隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

中南大学,高等数学,微积分,课件

例1 求由方程y 的导数

xy e ex

y

0 所确定的隐函数

dy dx

,

dy dxx 0

.

解

方程两边对

x 求导 ,x

y x

dy dx

ee

e yy

y

dy dx

0

解得 dy dx

dy dx

x

x eex

,

由原方程知

x 0, y 0,

x 0

yy x 0 y 0

x e

1.

中南大学,高等数学,微积分,课件

例2 设曲线 C 的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过 C 上3 3 点 ( , )的切线方程 2 2 线通过原点 .x 求导 ,3 x 3 y y 3 y 3 xy 2 2

, 并证明曲线

C 在该点的法

解

方程两边对

y

3 3 ( , ) 2 2

y x2

2

y x

(

3 3 , ) 2 2

1.

所求切线方程为 y 法线

实验六 多元函数的极值

【实验目的】

1． 多元函数偏导数的求法。 2． 多元函数自由极值的求法 3． 多元函数条件极值的求法.

4． 学习掌握MATLAB软件有关的命令。

【实验内容】

求函数z?x?8xy?2y?3的极值点和极值

42【实验准备】

1．计算多元函数的自由极值

对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:

步骤1.定义多元函数z?f(x,y)

步骤2.求解正规方程fx(x,y)?0,fy(x,y)?0,得到驻点

?2z?2z?2z步骤3.对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数A?,B?,C?2, 2?x?y?x?y步骤4. 对于每一个驻点(x0,y0),计算判别式AC?B,如果AC?B?0,则该驻点是极值点,当A?0为极小值, A?0为极大值;,如果AC?B?0,判别法失效,需进一步判断; 如果AC?B?0,则该驻点不是极值点.

2．计算二元函数在区域D内的最大值和最小值

设函数z?f(x,y)在有界区域D上连续，则f(x,y)在D上必定有最大值和最小值。求f(x,y)在D上的最大值和最小值的一般步骤为：

步骤1. 计算f(x,y)在D内所有驻点处的函数值；

步骤2. 计算f(x,

对数平均温羞会等于最近,

吗

有卜关换热器设计的问题弓起了一番讨论管壳式操热器的温度参数如图所示抉热器两端的温差‘△和△工是相同时

一台逆流式

△

一之一

。

一一。

’

二’

“

△

“

在计算这个换热器的对数平均温差时乙班

,

找们会碰到这样的情况一

,

因为

刀

对数平均温差和一

二

△

。

乞。

△

论

戎们把数值代入二

刀’

一

在。

犷

二

份,

。,尹

人们可能从上述士中得出的第一个结论是勺根本无急义牌可能由于存在着温度交变或者某些衰减情况因此使得换热器的温度议计无法进行不足式足理,,

这两种假设都是不切实的

,

如果我们记住极限数学。。

,

二工七二五七、还有更重要的址。那么换热器的设计则是可能的、有时我们的直觉就是依据换热器的温度推动力应当作为一价近

似渐近值工全兰全竺鱼二,

实际上既然两个△值是相等的就应该是准确的温度推动力从刀这二习现在的问题是个常用设计方程对我们是否不筵编,

,

—一工

二

’

。

呢不

如果我们把对数平均温差毛主班毛巡七

写成极限式一一一

,

便可得到

二

今

组

七

,。一

二

令

华丝。、

用代入会得戴不定式今勺或是无穷或是有限值或是不定的、、

这并不怠味此式叼极限是

运用一些数学定理

,

我们就明

白它的汾式是未定的。,

。。。七定理用简洁的话叔还就是如采刁个函数的极护限值是印勺或今‘把它作为渐近某个数值的变量分别处

7(3)偏导数与全微分

total differentiation

第三节 偏 导 数与全微分partial derivative

偏导数

全微分 连续性与可微性,偏导数 与可微性 小结 思考题 作业第八章 多元函数微分法及其应用1

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

一、偏导数1. 定义 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域

内有定义， 将y固定为y0 , 而x在x0处有增量 x时, 函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量).

x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )如果极限 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) xz lim lim x 0 x x 0 x 存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为2

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

xz f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim lim x 0 x x 0 x

对x的偏导数, 记为 z , f x x0 , , z x 或 f x ( x

7(3)偏导数与全微分

total differentiation

第三节 偏 导 数与全微分partial derivative

偏导数

全微分 连续性与可微性,偏导数 与可微性 小结 思考题 作业第八章 多元函数微分法及其应用1

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

一、偏导数1. 定义 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域

内有定义， 将y固定为y0 , 而x在x0处有增量 x时, 函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量).

x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )如果极限 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) xz lim lim x 0 x x 0 x 存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为2

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

xz f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim lim x 0 x x 0 x

对x的偏导数, 记为 z , f x x0 , , z x 或 f x ( x

《数学分析II》第6讲教案

第6讲 多元函数的偏导数与微分

授课题目 教学内容 教学目的和要求 教学重点及难点 教学方法及教材处理提示 多元函数的偏导数与微分 1. 多元函数偏导数的定义；2. 多元函数可微性与全微分；3. 函数可微的必要条件与充分条件；4. 可微性的几何意义. 通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握多元函数偏导数、可微性与全微分的概念，熟记可微的必要条件与充分条件，了解切平面存在定理及其证明． 教学重点：多元函数偏导数、可微性与全微分的定义； 教学难点：多元函数可微的充分条件的证明. (1) 本节的重点是多元函数偏导数、可微性与全微分的定义，讲授时一方面要讲清它们与一元函数导数和微分的联系，另一方面要讲清它们与一元函数导数和微分的区别． (2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系，并通过一些例题讲授使学生加深理解． (2) 从另一个角度引入曲面S在点P0的切平面概念，强化学生数学建模能力. 作业布置 作业内容：教材 P116:1（4，6，9），2，3，6，8（2），12. 讲授内容

一、偏导数

定义 设函数z?f(x,y),(x,y)?D.若(x0,y0)?D

第三节 多元复合函数微分法

第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx

推广

定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx

u z v x

(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.

2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.

例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx

z

u v w

x

u z v

x y

(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]

定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,

习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）

一．累次极限与重极限

11?xsin?ysin,x?y?0?例.1 f?x,y?=?yx?0,x?y?0?例.2

?3xy?f(x,y)??x2?y2??0x2?y2?0x2?y2?0

x2y2例.3 f(x,y)?22，证明：limlimf?x,y??limlimf?x,y??0，而二重极限2y?0x?0x?0y?0xy?(x?y)limf?x,y?不存在。

x?0y?0

一般结论：

重极限与累次极限没有关系

重极限(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)与累次极限limlimf(x,y),x?x0y?y0y?y0x?x0limlimf(x,y)均存在，则有 (x,y)?(x0,y0)limf(x,y)=limlimf(x,y)?limlimf(x,y) x?x0y?y0y?y0x?x0

x?x0y?y0limlimf(x,y),y?y0x?x0limlimf(x,y)均存在但不等，(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)不存在

二．多元函数的极限与连续，连续函数性质

例.4 求下列极限：

（1）

(x,y)?(1,0)lim(x?y)limx?y?1x?y?1； （