高数第三章一元函数积分学及其应用思维导图

第三章 一元函数积分学及其应用 ................................................................................................. 1

3.1 定积分的概念、性质、可积准则 .................................................................................... 1

3.1.1 定积分问题举例 ..................................................................................................... 1 3.1.2 定积分的概念 ......................................................................................................... 3 3.1.3 定积分的几何意义 .....................................................

第三章 一元函数积分学

3.1 不定积分

一 基本概念

定义1 原函数：如果F?(x)?f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数．

定义2 不定积分： f(x)的所有原函数或带有任意常数项的原函数称为f(x)的不定积分．

二 基本结论

定理1 （原函数存在定理） 连续函数一定存在原函数．

定理2 （原函数个数）如果函数存在原函数，一定有无限多个原函数． 定理3 （原函数差别）同一个函数的任意两个原函数最多相差一个常数． 定理4 (不定积分公式)

（1）?kdx?kx?C； （2）?xdx?（3）?（5）?1xdx?lnx?C； （4）?11?x2?1??1x??1?C；

dx?arctanx?C；

11?x2dx?arcsinx?C； （6）?sinxdx??cosx?C；

（7）?cosxdx?sinx?C； （8）?tanxdx??lncosx?C； （9）?cotxdx?lnsinx?C； （10）?secxdx?lnsecx?tanx?C； （11）?cscxdx?lncscx?cotx?C； （

第三章一元函数积分学

例1 设f(x)为可导函数，则?f?x?dx'为 A.f(x) B.f(x)?c C.f\(x) D.f\(x)?c

??例2 设ex?sinx是f(x)的原函数，则f'(x)?______

例3 初等函数f(x)在其定义区间(a,b)内必定（A，D） A.连续 B.可导 C.可微分 D.存在原函数

3x2?2x?x例4 求?dxxx

例5 求?1dxsin2xcos2x

例6 求?例7 求 ?1dx 22x(1?x)1dx

ex?e?x

例8 求?sin3xdx例9 求?sin2xcos3xdx

例10 求下列不定积分 ex1 （1）（2）?1?exdx ?1?exdx 例11 求?1dxx2?x?6

例12 求?exxdx

例13设f'(x)为连续函数，则?f2(x)df(x)

例14积分?f(x)dx?F(x)?c，则?f(lnx)dx?______ x

例15 已知f'(sin2x)?cos2x?tan2x，求f(x)例16 计算?1dx

2x-1?1例17 求

第三章 一元函数积分学

3.1 不定积分

一 基本概念

定义1 原函数：如果F?(x)?f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数．

定义2 不定积分： f(x)的所有原函数或带有任意常数项的原函数称为f(x)的不定积分．

二 基本结论

定理1 （原函数存在定理） 连续函数一定存在原函数．

定理2 （原函数个数）如果函数存在原函数，一定有无限多个原函数． 定理3 （原函数差别）同一个函数的任意两个原函数最多相差一个常数． 定理4 (不定积分公式)

（1）?kdx?kx?C； （2）?xdx?（3）?（5）?1xdx?lnx?C； （4）?11?x2?1??1x??1?C；

dx?arctanx?C；

11?x2dx?arcsinx?C； （6）?sinxdx??cosx?C；

（7）?cosxdx?sinx?C； （8）?tanxdx??lncosx?C； （9）?cotxdx?lnsinx?C； （10）?secxdx?lnsecx?tanx?C； （11）?cscxdx?lncscx?cotx?C； （

第三章 一元函数积分学

2013考试内容

原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿－莱布尼茨（Newton –Leibniz）公式 不定

积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用

2013考试要求

1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。 2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分与分部积分

法。

3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式。 5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分。

掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

第一节 一元函数积分学之一（原函数）

一、 原函数的概念及其等价描述

1．概念：设有函数f?x?和可导函

第三章 一元函数积分学

2013考试内容

原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿－莱布尼茨（Newton –Leibniz）公式 不定

积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用

2013考试要求

1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。 2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分与分部积分

法。

3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式。 5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分。

掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

第一节 一元函数积分学之一（原函数）

一、 原函数的概念及其等价描述

1．概念：设有函数f?x?和可导函

~

第三章一元函数的导

数和微分【字体：大中小】【打印】

3.1 导数概念

一、问题的提出

1.切线问题

割线的极限位置——切线位置

如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线.

极限位置即

切线MT 的斜率为

2.自由落体运动的瞬时速度问题

~

二、导数的定义

设函数y=f（x ）在点的某个邻域内有定义，当自变量x 在处取得增量Δx （点仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x ）在点处可导，并称这个极限为函数

y=f（x ）在点处的导数，记为

即

其它形式

关于导数的说明：

在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变

化的快慢程度。

如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。

对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）

~ 的导函数，记作

注意：

2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数.

导数定义例题：

例1、115页8

设函数f（x）在点x=a可导，求：

（1）

【答疑编号11030101：针对该题提问】

（2）

【答疑编号11030102：针对该题提问】

~

三、单侧导数

1.左导数：

2.右导

数学

§1 定积分的概念、性质和微积分基本定理

1. 试用定积分表示下列各个极限：

1n3

（1）lim4 k；

n nk 1

1nk

（3）lim ；

22n nk 1n k2. 证明下列不等式： 1

1dx （1） 2dx ；

0261 x315

（2）2 1 x6dx 。

12

3．计算下列导数：

dtan2x

t2dt； （1） dx0

4. 求下列极限： （1）lim

x 0

1nnk

（2）lim 2； 2n nk 1n k

1

（4）limn(n 1)(n 2) (2n)。

n n

dln(1 x)

ln(1 t2)dt。 （2） dx x

x0

sintdt

；

（2）lim

x 0

2

sin2x0

(e 1)dt

t2

xln(1 x)

5. 计算下列定积分：

2

x2sinx

。

（1） 4sin2xdx；

（2）

20

cosx

dx；

1 sinx

（3）

10

xdx x2

；

（4） (1 lnx)dx。

1

e

a 1

6. 设函数f在 ,a 上非负连续（a 0），且 1xf(x)dx 0，证明：

a a

a 1

a

xf(x)dx

1 1

2

a1a

f(x)dx。

7. 设函数f在[ 1,1]上非负连续，且 xf(x)dx 0。证明：

1 1

x2f(x)dx f(x)dx。

1

1

8.

第三章一元函数积分学

2013考试内容

原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿－莱布尼茨（Newton –Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用

2013考试要求

1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。 2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分与分部积分

法。

3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式。 5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分。

掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

第一节一元函数积分学之一（原函数）

一、 原函数的概念及其等价描述

1．概念：设有函数和可导函数，如果对区间上的任何一点，都有，则称为在区间上的一个原函数。构成的全体原函数，叫做的不定积分，记为：。 2．原函数的性质：

●，

《高等数学》（上）“一元函数积分学”复习题

1.求不定积分?3.求不定积分?sinx1?lnxdx. 2.求不定积分?(xlnx)2dx. cos3x(arcsinx)21?x3x?92dx. 4.求不定积分?1(arcsinx)21?x2dx.

5.求不定积分?e7.求不定积分?9.求不定积分?1dx. 6.求不定积分?sin3xdx.

x1?x12dx. 8.求不定积分?x2?9dx. x1?2xxdx. 10.求不定积分?x2lnxdx

111.求定积分?edx. 12.求定积分?0?1xdx. 5?4x13.求定积分?115.定积分?412411?x2. 14.求定积分dx?11?xdx. x2013x?2dx. 16.求定积分?exdx.

02x?1?117.求定积分?2xcosxdx. 18.求定积分?xlnxdx.

1e19.求定积分?2?1. 20.