分数的裂项拆分教案

《数学思维与能力训练》辅导讲义

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单位分数的拆分

【知识要点】

1、一个单位分数，可以拆分成两个或两个以上单位分数的和或差，其形式为

)(1)(11b a b n b a a n n +++= )(1)(11b a b

n b a a n n ---= (a 、b 均是n 的约数) 2、利用上述公式，可以推出两个特例

① )1(1111+++=n n n n 例如：6

13121+= ②

)1(1111---=n n n n 例如：1321111121-=

【夯实基础】

［例题1］在 ( )中填上不同的数

(1) )

(1)(1)(1)(1)(1)(181+=+=+= (2)

)(1)(1)(1)(181+++= (1) 8的互质数对有1和8、1和4、1和2，11214188838589

+++===???，故有 1111111812241040972

=+=+=+ (2) 8的约数有1、2、4、8，112488815+++=?，故有111118153060120

=+++

［例题2］甲、乙合作加工一批零件，共需要15天，如果单独做，各需要多少个整天？

学会单位分数的拆分，在编拟工程应用时大有用场

∵ 24

11619

分数乘法与分数裂项法

【专题解读】

我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。

分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。

1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。

2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为1。

进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。

【典型例题】——乘法分配律的妙用

4467例1．计算：（1）×37 （2）2004×

4520034444分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与1只相差1个分数单位，如果把写成（1－

454544）的差与37相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。同样，第（2）题中可以把整数2004写成（2003+1）4567的和与相乘，再运用乘法分配律计算比较简便。

20

裂项相消法

数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和

?c?方法称为裂项相消法。适用于类似?（其中?an?是各项不为零的等差数列，?aa?nn?1?c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的

裂项方法： （1）

11111?11?k?1，特别地当时， ??????n?n?1?nn?1n?n?k?k?nn?k?11?n?k?nk（2）?n?k?n，特别地当k?1时?1?n?1?n

n?1?n例1、数列?an?的通项公式为an?解：Sn?a1?a2?a3???an?1?an ?1，求它的前n项和Sn

n(n?1)111????1?22?33?411 ??n?n1nn?????11??11??1??11??11??1 =?1????????????????????

22334n?1nnn?1??????????1n? n?1n?1小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.

?1?针对训练、求数列1111

数列中裂项相消的常见策略

化娟 （甘肃省临泽一中 734000）

裂项相消是数列中常见的求解策略，裂项的本质是把数列中的乘积形式变成2项差的形式.近几年的数学高考试题频频用到此法，本文就解决这类问题的策略结合常见的试题给予概括总结，以供参考.

1 利用分式的通分进行裂项

通分在小学和初中阶段都是常见的内容，而裂项主要是逆用通分，把乘积式转化为2式的差.例如可以利用

1111?(?)进行裂项.

n(n?k)knn?k111?????＿ 1?21?2?31?2?3???n例1 求和1+

分析 因为

121??1??2???，

1?2?3???nn(n?2)nn?1??1111111?2n ??????????22334nn?1?n?1所以 原式=2?1?例2

??已知等差数列?an?满足： a3=7,a5+a7=26, ?an?的前n项和为Sn

（1） 求a4及Sn （2） 令bn?1?(n?N),求数列?bn?的前n项和为Tn. 2an?1分析 （1）略.

2(2)由an?2n?1，得an?1?4n(n?1),

从而 bn?1111?(?),

4n(n?1)4nn?111111111n(1???????)=(1?)=.

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数列裂项求和

一.裂项求和基本问题

1.求和：)

1(1541431321211+++?+?+?+?=n n S n 1

111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 。 2.求和：)12)(12(1971751531311+-++?+?+?+?=

n n S n 1

2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和：)13)(23(11071741411+-++?+?+?=

n n S n 。 )1

31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 1

3)1311(31+=+-=n n n 。 4.求和：)2(1641531421311+++?+?+?+?=

n n S n 。 )1

111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-

计算（裂项、换元与通项归纳）

第一部分 裂项

11111＋2＋3＋4＋……＋20 26122042011111 ＝（1＋2＋3＋……＋20）＋（＋＋＋＋……＋）

26122042011111 ＝210＋（＋＋＋＋……＋）

1?22?33?44?520?21111111111 ＝210＋（1－＋－＋－＋－－ ）

223344520211 ＝210＋（1－ ）

2120 ＝210

21【1】 计算 1

【2】

123－15－17－19－111－113－1111111 ＝＋＋＋＋＋

6?88?1010?1212?142?44?61111111111111 ＝（－＋－＋－＋－＋－＋－）×

244668810101212142111 ＝（－）×

2142613 ＝× ＝

14214＋

12＋

1

2

＋

1

2

＋

12＋

12

365791113【3】计算 ＋＋＋＋＋＋

57612204230361111111111 ＝＋＋（＋）＋（＋）＋（＋） ＋（＋）＋（＋

计算（裂项、换元与通项归纳）

第一部分 裂项

11111＋2＋3＋4＋……＋20 26122042011111 ＝（1＋2＋3＋……＋20）＋（＋＋＋＋……＋）

26122042011111 ＝210＋（＋＋＋＋……＋）

1?22?33?44?520?21111111111 ＝210＋（1－＋－＋－＋－－ ）

223344520211 ＝210＋（1－ ）

2120 ＝210

21【1】 计算 1

【2】

123－15－17－19－111－113－1111111 ＝＋＋＋＋＋

6?88?1010?1212?142?44?61111111111111 ＝（－＋－＋－＋－＋－＋－）×

244668810101212142111 ＝（－）×

2142613 ＝× ＝

14214＋

12＋

1

2

＋

1

2

＋

12＋

12

365791113【3】计算 ＋＋＋＋＋＋

57612204230361111111111 ＝＋＋（＋）＋（＋）＋（＋） ＋（＋）＋（＋

第十三讲分数裂项与分拆

1. “裂差”型运算

2. 裂差型裂项的三大关键特征：

3.复杂整数裂项型运算

4. “裂和”型运算

1.复杂整数裂项的特点及灵活运用

2.分子隐蔽的裂和型运算。

例1：

11111123423453456678978910+++???++???????????????

例2：计算：

57191232348910+++=??????．

例3：12349223234234523410+++++?????????

例4：111111212312100+

+++++++++

例5：22222211111131517191111131

+++++=------.

例6：111

3199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223

231999

+++++?++?+??+

A

1.333 (1234234517181920)

+++?????????

2.计算：5717191155234345891091011?++++????????（

）

3.计算：

3451212452356346710111314

++++????????????

4.234501(12)

(1

2)(123)(123)(1234)

(12349)(12350)++++?++?++++?+++++++?+

10 （8） （ ） 10 10 10 10 10 10 （1） （ ） （2） （ ） 3 （ ） （4） （ ） （5） （ ） （6） （ ）

10 （7） （ ） （ ）+1=10 2+（ ）=10 3+（ ）=10 4+（ ）=10 5+（ ）=10 6+（ ）=10 7+（ ）=10 8+（ ）=10 9+（ ）＝１０

1+（ ）=10 （ ）+2=10 （ ）+3=10 （ ）+4=10 （ ）+5=10 （ ）+6=10 （ ）+7=10 （ ）+8=10 （ ）+9=10

（ ）-1=9 （ ）-2= 8 （ ）-3=7 （ ）-4=6 （ ）-5=5 （ ）-6=4 （ ）-7=3 （ ）-8=2 （ ）-9=1

10-（ ）=1 10-（ ）=2 10-（ ）=3 10-（ ）=4 10-（ ）=5

奥数专题——裂项法（一）

同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。

（一）阅读思考 例如

111??，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，3412把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：

11n?1n???nn?1n(n?1)n(n?1)

n?1?n1??n(n?1)n(n?1) 即

111?? nn?1n(n?1)111??

n(n?1)nn?1 或

下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】

例1. 计算：

1111???……?

1985?19861986?19871987?19881994?1995111??? 1995?19961996?19971997 分析与解答：

111??1985?198619851986111??1986?198719861987111 ??1987?198819871988……111??1994?199519941995- 1 -

111??1995?199619951996

111??1996?199719961997 上面12个式子的右