常微分方程教程丁同仁答案第五章

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

习题 2-1

判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １．(3x2 1)dx+(2x+1)dy=0

解：P(x,y)=3x2 1，Q(x,y)=2x+1， 则

２．(x+2y)dx+(2x+y)dy=0

解：P(x,y)=x+2y, Q(x,y)=2x y,

Q P P Q

即，原方程不是恰当方程． =2，所以 =0，≠

x y y x

则

Q P P Q

，即 原方程为恰当方程 =2, 所以=2,=

x y y x

则xdx+(2ydx+2xdy) ydy=0,

x2y2

两边积分得：+2xy =C.

22

3．(ax+by)dx+(bx+cy)dy=0 (a,b和c为常数)．

解：P(x,y)=ax+by, Q(x,y)=bx+cy,

则

Q P P Q

，即 原方程为恰当方程 =b, 所以=b,=

x y y x

则axdx+（）bydx+bxdy+cydy=0,

ax2cy2

两边积分得：+bxy+=C.

22

4．(ax by)dx+(bx cy)dy=0

(b≠0)

解：P(x,y)=ax by, Q(x,y)=bx cy,

则

Q P Q P

，即，原方程不为恰当方程 =b, 因为 b≠0, 所以≠= b,

x

第五章 线性微分方程组

[教学目标]

1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解

的性质与结构，

2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。 3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，

4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。 5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。 [教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时

[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。 [考核目标]

1.线性微分方程组解的性质与结构。 2.能够求解常系数线性微分方程组。

§5.1 存在唯一性定理

5.1.1记号和定义 考察形如

??a11(t)x1?a12(t)x2???a1n(t)xn?f1(t)?x1?x??a(t)x?a(t)x???a(t)x?f(t)?22112222nn2

数值分析第五章课件

第5章 常微分方程数值解法§5.1 引言 u( x1 , , xn ) y ' x y y包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微 ( x) : 2 2 u u y (0) 1 2 0 2 , x1 自变量的 xn 分的方程称为微分方程.在微分方程中 个数只有一个, 称为常微分方程.自变量的个数为 两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程.微分方 程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方

程的阶数.如果未知函数y及其各阶导数

y , y , , y

( n)

都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的.

数值分析第五章课件

在《常微分方程》中，对于常微分方程的求解，给出了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分

离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等.但能求解的常微分方程仍 然是有限的，大多数的常微分方程是不可能给出解 析解. 譬如

y x y2

2

这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积分来 表达它的解.

数值分析第五章课件

再如，方程

y y y (0) 1的解 y e x ,虽然有表可查,但对于表上没 有给出 e x 的值,仍

常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案xxxeee, 则证明:?y,x(dx，c),y,dx，c，x,,,xxx习题 1-1

xxxeeex,?dxcx ，，,x(dx，c),xexxy,y,,,1.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解: xxx

2x,2x,,y,4y,0.(,) y,ce，ce,2,12()x,c1,x',,,,,,,c1(,) ,||.y2x,2x4,y？证明: 则y,ce，

ce,,12yx0,,,,,,cc122x,2x,,2y=2ce,2ce,,()x,12c2x,,,,，,,c242x,2x,,,,,y,4y ,0.y,4ce，4ce,? ,,,,x证明: (1)当时，12c1sinx2,y,,(,) ( xy，

y,cosxx()x,,c1'c1,y=,==. ||y,yx42

sinx其他情况类似. xcosx,sinxy,,,证明:? 则 y,2,(求下列初值问题的解: xx

,,,,,,y(0),a,(,) ( y(0),a,y(0),ay,x,012xcosx,sinxsinx

,xy，y,，,cosx 12,,,,,,,y,x，c,解:? ? ?y(0),a，?c,a， y,x,xx12122 x1e3x,,y

同济大学五版高等数学学习资料

第六章 常微分方程

一． 求解下列微分方程： 1. y' ex y

+ex=0.

解.

dydx=ex(e y 1), dye y 1

=exdx ln1 ey

=ex, 1 ey=cee xc

y=ln(1 ce

e x

).

2. dy dx

=(1 y2

)tanx

y(0)=2

解.

dy

1 y

2

=tanxdx

11+12lncy1 y= lncosx, y(0) = 2, 2lnc1+21 2=0, ln

1+y13+cos2x

3(1 y)=lncos2x, y=3 cos2x

二. 求解下列微分方程：

1. x x

1+ey 1 x

dx+ey

y dy=0 xey

x

1 解. dx y dy

=x

. 1+ey

令

x

y

=u,x=yu.(将y看成自变量) dxdy=u+ydudy

, 所以 u+ydudy=eu(u 1)

1+eu duueu euudy1+eu u= +eu

y=1+eu

c= 1

3

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u+eu 1dyd(u+eu)dy1+eu

ln= ln=ln= , = , ydu c yu+euyyu+eu

x

cc1u+euy

《常微分方程教程》第二版(丁同仁 李承治)课后习题答案 高等教育出版社

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《常微分

常 微 分 方 程

试卷（一至十） 试 卷（一）

一、填空题（3′×10＝30′）

1、以y1＝e2x，y2=exsinx，y3=excosx为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。

2、微分方程4x3y3dx+3x4y2dy=0的通积分是 。 3、柯西问题

dy?x，y（0）=1的解是 。 dx4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。

5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。 6、微分方程F(x，y，p)=0若有奇解y=? (x)，则y=? (x) 满足的P-判别式是 。 7、线性微分方程组

dY，Y2（x）…，Yn（x）?A(x)Y的解组Y1（x）

dx在某区间上线性无头的充分必要条件是 。 8、设A＝

1 0 1 0 0 -1 0 0 2 ，则矩阵指数函数exA＝ 。

9、方程y???y??y?0的通解是 。

10、由方程y????3ay???3ay??y?0的通解是 。 二、解下列各方程（7′×4＝28） 1、求方程

dyx?y?1?的通解： dxx?y?32、 (1+x2)y

第二章 微分方程方法

在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.

利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.

2.1 微分方程的一般理论

2.1.1微分方程简介

所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程?若未知函数是一元函数的微分方程? 叫常微分方程?而未知函数是多元函数的微分方程? 叫偏微分方程? 例如

y?4??4y'''?10y''?12y'?5y?sin2x （2.1.1） x2y''?12xy'?5y?0 (y')2?xy?0

南京理工大学《常微分方程》期末试卷

姓名 共 ----- 页

学号 南京理工大学 专业应用数学、统计 使用教材 （通编、讲义、自编） 修读性质 初修 、 重期末考试分数占总分数的百分比 % 考试方法 （闭、开）卷 考试时间 判卷人 讲授总学时 学分 教研室主任 密封线题人 题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 核分人 一． 求下列一阶微分方程的通解：（28分）

1．

dy?1?x?y2?xy2 dx

2. (x3?xy2)dx?(x2y?y3)dy?0dy?dy?3. ???x?y?0

dx?dx?dyyy2??2 4．

dxxx二. 设连续函数f(x)满足：三. 利用逐次逼近法求方程

2?x0（10分） f(t)dt?x??tf(x?t)dt，求函数f(x)。

0xdy?y2?x2满足初值条件y(0)?1的近似解： dx（8分） ?0(x),?1(x

第八章

常微分方程数值解法

摘要：对显式Euler方法来说,当解二阶连续可导时,其局部...(3.10)有解但解不唯一.不论如何选择这八个参数,不可能...算法8.1 经典Runge-Kutta方法本算法用经典Runge-... 关键词：导,论,算法 类别：专题技术

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常微分方程数值解法

教学目的 1. 掌握解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法；2. 掌握解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；3. 了解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步法的稳定性。

教学重点及难点 重点是解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；难点是理